Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1) Разработана модификация модели управления социально-экономической системой в условиях массового заболевания с учетом социально-биологических (количество лиц, соблюдающих ограничительные меры; количество лиц, потенциально подверженных заражению; количество лиц, у которых заболевание находится в инкубационной стадии; количество заболевших; количество госпитализированных лиц; количество выздоровевших; количество умерших) и экономических факторов (количество койко-мест; доход экономической системы; объем трудовых ресурсов; объем производственных средств). Управление в модели: выбор информационного воздействия на население, ввод и отмена ограничительных мер, распределение средств, направленных на переоборудование койко-мест, строительство специализированных медицинских учреждений. Предлагаемая модификация модели заключается в одновременном использовании двух критериев качества для оценки стратегий управления. Один критерий оценивает социальный фактор (количество заболевших), другой критерий экономический фактор (доход/прибыль экономической системы в условиях массового заболевания). Для одновременного учета обоих критериев были предложены два подхода. Один из подходов основан на приведении критериев к общим единицам измерения за счёт использования такого показателя, как ценность статистической жизни. Таким образом социальный фактор оценивался в денежных единицах, что позволило социальный и экономический фактор свести к оценке относительной прибыли. Второй подход заключался в нормализации критериев. Каждый из критериев сводился к безразмерным величинам делением на значение показателя в базовый период. Затем проводилась свертка полученных критериев с весовыми значениями. Модель представляет собой задачу оптимального управления с запаздыванием по фазовым переменным. На основе разработанной модели проведены вычислительные эксперименты с использованием обеих модификаций модели; в частности, для второго подхода выполнена серия вычислений с различными комбинациями значимости критериев. В экспериментах использовались значения параметров модели, оцененные на основе статистических данных о пандемии COVID-19 в Российской Федерации и Ульяновской области. Проведен анализ результатов моделирования, сделаны выводы об определении оптимальной стратегии для управления экономической системой в условиях массового заболевания. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.49.16 2) Разработана модель управления социально-экономической системой в условиях массового заболевания с учетом социально-биологических и экономических факторов, а также вакцинации. Фазовые переменные модели, связанные с компартментализацией населения, дополнены вакцинированный частью населения. Вектор управления расширяется затратами на вакцинацию. Модель допускает возможность одновременного использования нескольких видов вакцин с учетом стоимости, эффективности, длительности действия каждой вакцины. С математической точки зрения полученная модель представляет собой задачу оптимального управления с запаздыванием по фазовым переменным и по управлению. На основе статистических данных о вакцинировании населения РФ в период борьбы с COVID-19 были оценены параметры модели: количество видов вакцин, цена вакцины каждого вида, эффективность вакцин, сроки действия вакцин. Для полученной модели проведен ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих соответствие модельных и реальных данных. https://www.elibrary.ru/download/elibrary_68637187_85459267.pdf https://www.elibrary.ru/download/elibrary_71692243_79485452.pdf https://www.elibrary.ru/download/elibrary_67234607_93935220.pdf 3) Выполнено обобщение метода параметризации на задачи оптимального управления, содержащие точечное и распределенное запаздывание по фазовым переменным, запаздывание по управлению, разрыв траекторий фазовых переменных. Построены алгоритмы и выведены формулы, позволяющие находить производные первого порядка в задаче нелинейного программирования, порожденной параметризацией управления в соответствующих задачах оптимального управления. https://math.isu.ru/export/sites/math/ru/conference/2024/.galleries/docs/materials_DYSC_2024.pdf https://journal.svmo.ru/archive/article?id=1801 4) Предложен единый подход к решению задач оптимального управления (ОУ) без запаздывания и с запаздыванием, включая как точечное, так и распределенное запаздывание. Этот подход определил архитектуру программного комплекса, набор функций и требования к алгоритмической реализации математических формул метода. Второй фактор, определяющий архитектуру комплекса, – учет в архитектуре различных роли разработчика (исследователя) модели и роли конечного пользователя модели. На текущем этапе работа была сосредоточена на разработке «инструмента исследователя», который разрабатывается как автономное приложение с графическим пользовательским интерфейсом под платформу «.NET». Для разработки базовых алгоритмов метода параметризации выбран язык С. В отличие большинства (CGPOPS, PSOPT, GEKKO, PROPT, ICLOCS2 и др.) современных инструментов, которые реализуют различные варианты прямого метода коллокаций, в методе параметризации переменные задачи нелинейного программирования (НП), аппроксимирующей исходную задачу ОУ, не связаны с дискретной схемой решения задач Коши. Это позволило в рамках инструмента применять независимые библиотеки решения задач НП и решения задач Коши. Так, в библиотеку включены и реализованы методы решения задач Коши в прямом и обратном времени: метод Эйлера с пересчетом (2 порядка), классический метод Рунге-Кутты (4 порядка), а также метод Богацки-Шампайна (3 порядка) с встроенным механизмом адаптации шага интегрирования. Для решения задач НП реализованы алгоритмы решения задач безусловной оптимизации: Хука-Дживса, скорейшего спуска, Ньютона и два квазиньютоновских метода – Дэвидона-Флэтчера-Пауэлла (DFP) и Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно (BFGS). Реализовано несколько подходов к вычислению производных: на основе решения задач Коши для прямой и сопряженной систем для последующего численного интегрирования; аппроксимация на основе конечных разностей; комбинация разностного дифференцирования и решения задач Коши для прямой и сопряженной систем. https://journal.svmo.ru/archive/article?id=1801 https://conf.svmo.ru/files/2024/ThesesSaransk2024.pdf https://www.elibrary.ru/download/elibrary_67234607_93935220.pdf

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1) В рамках проводимого исследования схема параметризации управления была расширена для поддержки многокомпонентного управления таким образом, что для каждого компонента вектора управления задаются независимое от других компонентов разбиение временного интервала. Для обеспечения наибольшей производительности языком реализации был выбран язык Си со стандартной библиотекой, поставляемой с компилятором от MS Visual Studio, включающей базовую математическую библиотеку. Для расширенной схемы также применен подход «first discretize, then optimize», где каждое решение задачи оптимизации в обобщенном представлении содержит два цикла – внешний и внутренний. Внешний цикл определяется алгоритмом решения задачи НП, а внутренний цикл – алгоритмом решения задач Коши. Реализовано несколько вычислительных схем нахождения производных: на основе решения задач Коши для прямой и сопряженной систем и последующего численного интегрирования; аппроксимация на основе конечных разностей; комбинация разностного дифференцирования и решения задач Коши для прямой и сопряженной систем. В рамках применяемого блочно-функционального подхода в программный комплекс включены в виде библиотек, реализованных на языке Си, процедуры численного решения задач Коши с поддержкой задач с запаздыванием в прямом (для моделируемой динамики) и обратном времени (для сопряженных переменных) – Метод Эйлера с пересчетом (2 порядка), классический метод Рунге-Кутты (4 порядка), а также метод Богацки-Шампайна (3 порядка) с встроенным механизмом адаптации шага интегрирования. Для оптимизации на уровне решателей задач НП предусмотрена возможность использования сторонних решателей, таких как IPOPT, SNOPT или WORHP. https://doi.org/10.1007/s10958-025-08009-3 https://conf.svmo.ru/files/2025/papers/paper32.pdf 2) Разработан метод параметризации для численного решения задач оптимального управления, возникающих при моделировании социально-экономических систем в условиях массового заболевания. Были проведены вычислительные эксперименты для метода параметризации, разработанного для задач оптимального управления с разрывными фазовыми траекториями. Были рассмотрены варианты метода параметризации с различными схемами вычисления производных первого и второго порядка в задачах НП, возникающих при параметризации исходной задачи. Были выведены формулы вторых производных для случая многокомпонентного управления. https://doi.org/10.1007/s10958-025-08009-3 https://conf.svmo.ru/files/2025/papers/paper32.pdf 3) Для представления математических моделей в программном комплексе реализован предметно-ориентированный встроенный язык описаний задач ОУ, который позволяет изменять структуру управления, выбирать методы решения задач Коши, методы решения задач нелинейного программирования, и изменять параметры математической модели непосредственно в интерфейсе программного комплекса. Представления отчетов по результатам экспериментов реализовано в виде генерации таблиц в формате csv, также, опционально, генерации изображений png с графиками изменения фазовых переменных и управления от времени. Просмотр результатов в сокращенном формате доступен в интерфейсе программного комплекса. https://doi.org/10.1007/s10958-025-08009-3 https://conf.svmo.ru/files/2025/papers/paper32.pdf 4) К моделям управления социально-экономической системой в условиях массового заболевания (без вакцинации, с введением вакцинации) были применены необходимые условия оптимального решения – принцип максимума Понтрягина. На основе проведенного анализа была описана структура оптимального решения в каждой модели. В рамках оригинальной модели рассматриваются как социально-биологические факторы, характеризующие распространение заболевания и реакцию популяции на него, так и экономические факторы, к которым относятся меры контроля распространения заболевания и борьбы с ним (режим самоизоляции, строительство больниц, переоборудование существующих клиник, информирование граждан, проведение вакцинации). Было предложено дополнить модель критерием быстродействия, который позволит определить пути наиболее быстрого получения результата управленческих мер, достигнуть необходимого порогового значения для выработки коллективного иммунитета. Целевой функционал представляет собой либо свертку из трех критериев (социальный, экономический, быстродействие), либо свертку их двух критериев (ценность статистической жизни, быстродействие). https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.54.33 https://elibrary.ru/download/elibrary_82946567_59697701.pdf 5) В рамках вычислительных экспериментов проведена верификация моделей, оценок параметров моделей. На основе статистических данных о вакцинировании населения РФ в период борьбы с COVID-19 оценены параметры модели: количество видов вакцин, цена вакцины каждого вида, эффективность вакцин, сроки действия вакцин, значение целевого показателя коллективного иммунитета. Для полученных моделей проведены вычислительные эксперименты по определению оптимальных управленческих решений. Для модели управления социально-экономической системой в условиях массового заболевания с учетом вакцинации и скорейшего достижения целевого показателя коллективного иммунитета рассматривались критерии: свертка социального критерия (количество заболевших), экономического (прибыль экономической системы) и быстродействия, а также свертка критерия ценности статистической жизни и критерия быстродействия. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.54.33 6) Создан информационно-аналитический инструмент для управления социально-экономической ситуацией в условиях массовых заболеваний. Инструмент содержит три вида моделей: модель управления социально-экономической системой в условиях массового заболевания без вакцинации, управления социально-экономической системой в условиях массового заболевания с учетом вакцинации, управления социально-экономической системой в условиях массового заболевания с учетом вакцинации и скорейшего достижения целевого показателя коллективного иммунитета. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.54.33 https://doi.org/10.1007/s10958-025-08009-3 https://conf.svmo.ru/files/2025/papers/paper32.pdf