Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Для решения поставленных в проекте задач был использован подход к моделированию динамики тающего снежно-ледового покрова и промерзающих (протаивающих) грунтов, в котором снег и грунт рассматриваются как многофазные среды. Промерзающий/протаивающий грунт и снег на его поверхности рассматриваются как сплошная среда, состоящая из воды, воздуха, льда и грунта. Были рассмотрены уравнения сохранения массы для каждой из четырех фаз с учетом фазовых переходов, уравнения двухфазной фильтрации Маскета-Леверетта для воды и воздуха, учитывающие капиллярные силы, и уравнение теплового баланса снега и грунта. Для численного решения задач использовались методы дискретизации уравнений по пространственным переменным и методы интегрирования динамических систем по времени. Предложенные математические модели позволяют оценить влияние объемного прогрева потоком солнечного излучения, учесть изменение пористости снега и верхнего слоя грунта, изменяющиеся фильтрационные свойства подстилающего грунта, влияние капиллярных сил на динамику воды в замерзающем грунте, фазовые переходы вода-лед в протяженной области в снеге и грунте. Кроме того, позволили провести оценку распределения поверхностного и грунтового стока при интенсивном снеготаянии. Предполагалось, что пористость талого грунта заданная постоянная, частицы грунта и льда образуют твердый пористый скелет и считаются неподвижными. Фильтрация воды и воздуха в пористом скелете описывается уравнениями сохранения массы для каждой из фаз с учетом фазовых переходов, уравнениями двухфазной фильтрации и уравнением теплового баланса для четырехфазной среды. Процессы сублимации и испарения не рассматривались, интенсивность фазового перехода «вода-лед» считалась заданной функцией, зависящей от температуры, пористости и водонасыщенности. Капиллярное давление определялось заданной функцией, зависящей от водонасыщенности. На основании сделанных предположений получена замкнутая система дифференциальных уравнений для определения пористости, водонасыщенности, температуры и приведенного давления, также выведены соотношения для определения скоростей фильтрации воды и воздуха и объемной доли льда в грунте. В рамках данной модели была сделана постановка начально–краевой задачи тепломассопереноса в промерзающем грунте с учетом фазового перехода и капиллярного давления для одномерного случая в безразмерном виде. В начальный момент времени известны водонасыщенность, температура и пористость. На верхней границе задавались температура, давление воздуха, предполагалось отсутствие ветра на поверхности. На нижней границе задавались температура и условия непротекания для всех фаз. Нижняя граница выбиралась на такой глубине, чтобы фильтрационный поток не доходил до нее и условие непротекания не влияло на результаты моделирования. Предложена разностная схема и разработан алгоритм численного решения поставленной задачи. При аппроксимации нелинейного вырождающегося на решение уравнения водонасыщенности и уравнения для температуры за основу взята разностная схема для модели Маскета–Леверетта с использованием направленной разности для конвективного слагаемого. Уравнение для давления аппроксимируется неявной схемой второго порядка точности. Уравнение для пористости аппроксимируется разностной схемой Рунге-Кутты второго порядка точности. Система нелинейных алгебраических уравнений решается методом простой итерации по нелинейности. Для этого в коэффициенты уравнений подставляются значения искомых функций с прошлой итерации, и система сводится к линейному виду. Линейная система алгебраических уравнений решается методом прогонки. Проведена верификация математической модели на экспериментальных данных из литературных источников. Для определения влияния температурного режима на фильтрационные свойства грунта проведено два численных эксперимента. Первый - с постоянной положительной температурой на поверхности грунта и второй эксперимент, имитирующий резкое потепление на два дня - ночью температура отрицательная, а днем - положительная. В ходе экспериментов было исследовано изменение содержания льда в пористом скелете грунта, пористости и водонасыщенности грунта. Проведены численные эксперименты для одномерной задачи фильтрации в тающем снеге и поверхностном слое грунта. Сделана оценка поверхностного и грунтового стока талых вод при интенсивном снеготаянии. Численно проверен физический принцип максимума для пористости и водонасыщенности грунта и снега при полном протаивании верхнего слоя снега. Проведена проверка сходимости численного решения на последовательности измельченных сеток. Предложенная математическая модель позволяет учитывать изменяющиеся фильтрационные свойства грунта и моделировать интенсивность снеготаяния в зависимости от температуры воздуха и поверхностного слоя грунта. Показано существенное влияние температурного режима в грунте и снежного покрова на его поверхности на изменение пористости в верхнем слое грунта и его впитывающую способность. Для одномерной математической модели промерзающего грунта, учитывающей фазовый переход в протяженной области, изменяющиеся фильтрационные свойства грунта и фильтрацию воды к области фазового перехода, приведено несколько эмпирических зависимостей для интенсивности фазового перехода «вода-лед» и проведена их верификация с помощью экспериментальных данных из литературных источников. Численные эксперименты показали выполнение физического принципа максимума для пористости грунта и формирование в грунте слоя с меньшей проницаемостью, который влияет на впитывающую способность грунта и распределение поверхностного и грунтового стока в период весеннего снеготаяния. Устойчивость и порядок сходимости вычислительного алгоритма проверялись путем вычислительных экспериментов на измельченных сетках. Разработан автономный расчетный модуль на языке С++ для моделирования движения воды и воздуха в тающем снежном покрове и поверхностном слое грунта, соприкасающегося с нижней кромкой снега.