КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 24-71-00059
НазваниеТорическая топология и комбинаторная теория групп
Руководитель Верёвкин Яков Александрович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва
Конкурс №97 - Конкурс 2024 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-105 - Топология
Ключевые слова торическая топология, комбинаторная теория групп, момент-угол многообразия и комплексы, граф-произведение, декартова подгруппа, прямоугольная группа Артина, прямоугольная группа Кокстера, минимальное копредставление, полиэдральное произведение, нижний центральный ряд, присоединенная алгебра Ли, алгебры Понтрягина, гомологии петель, гомотопическое кольцо
Код ГРНТИ27.19.00
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Благодаря работам научных руководителей руководителя и исполнителей проекта (Бухштабера В. М. и Панова Т. Е.) в последние 20 лет возникло новое активное направление в топологии, геометрии и комбинаторике - торическая топология, которое позволило сформировать новые подходы к проблемам, ключевым конструкциям и фундаментальным результатам алгебраической топологии, гомологической алгебры и комбинаторной геометрии.
В торической топологии, гомотопической теории полиэдральных произведений и геометрической теории групп существует ряд результатов, возникающих парами – теоретико-групповой и теоретико-гомотопический, часто с аналогичными формулировками, но разными доказательствами. К ним относятся конструкции классифицирующих пространств для прямоугольных групп Артина и Кокстера, описание их когомологий и описание алгебр гомологий пространств петель полиэдральных произведений. Имеются весьма схожие описания коммутанта прямоугольной группы Коксетера (см. Панов, Веревкин; Полиэдральные произведения и коммутанты прямоугольных групп Артина и Коксетера) и гомологий петель момент-угол комплекса H_*(ΩZK), являющихся подалгеброй-коммутантом алгебры Понтрягина (гомологий петель) пространства Дэвиса-Янушкевича (полиэдральной степени бесконечномерного комплексного проективного пространства H_*(Ω CP^∞)^K (см. Grbi ́c; Panov; Theriault; Wu. Homotopy types of moment-angle complexes for flag complexes). При этом в случае флагового комплекса K коммутант прямоугольной группы Кокстера RC'_K и подалгебра-коммутант H_*(Ω Z_K) свободны тогда и только тогда, когда одномерный остов K^1 является хордовым графом. Также имеется аналогия в критериях того, что RC'_K и H_*(Ω Z_K) являются группой и алгеброй с одним определяющим соотношением (см. Grbi ́c; Ilyasova; Panov; Simmons. One-relator groups and algebras related to polyhedral products).
Наши последние результаты в данном направлении позволили построить изоморфизм между гомологиями петель пространства Дэвиса-Янушкевича над полем Z_2 с универсальной обертывающей алгебры Ли ассоциированной с нижним 2-центральным рядом прямоугольных групп Кокстера, то есть фундаментальной группы вещественного момент угол комплекса (см. Панов Т.Е.; Рахматуллаев Т. А. Полиэдральные произведения, граф-произведения и p-центральные ряды). Это ещё один шаг в задаче изучения гомотопической алгебры Ли (относительно скобки Самельсона-Уайтхеда) над конечными полями для петель пространства Дэвиса-Янушкевича. Полученные в исследовании результаты описывают присоединенные алгебры Ли для граф-произведений групп, важной задачей является обобщение самого класса групп и обобщение топологической интерпретации на изученные классы групп. Отдельным связанным направлением исследования является описание алгебры Ли, ассоциированной с обычным (не ограниченным) нижним центральным рядом прямоугольной группы Кокстера. Уже получены некоторые результаты, описывающие аддитивный базис в отдельных градуированных компонентах (см. работы Верёвкин Я. А. Градуированные компоненты присоединенной алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера и Верёвкин Я. А.; Рахматуллаев, Т. А. О последовательных факторах нижнего центрального ряда прямоугольной группы Кокстера), всё ещё стоит задача построения вычислительного алгоритма.
Известным и важным продвижением в изучении возникающей связи групповой, гомотопической и гомологической теории является следствие теорем Милнора-Мура и Картана-Сера, согласно которому универсальная обертывающая рациональной гомотопической алгебры Ли петель пространства X изоморфно гомологиям петель пространства X.
Будут исследованы задания граф-произведений групп и их декартовых подгрупп как можно меньшим набором образующих и соотношений. Для этого мы применим методы гомологической алгебры и явные модели классифицирующих пространств, связанные с полиэдральными произведениями. Особое внимание планируется уделить частному случаю прямоугольных групп Коксетера и их коммутантов, а также фундаментальным группам малых накрытий.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Получено простое топологическое доказательство нижней оценки Эпштейна на размер копредставления дискретной группы: если группа G задана M образующими и N соотношениями, при этом её первые гомологии порождаются M’ элементами, вторые гомологии порождаются N’ элементами, и размерность первых гомологий с рациональными коэффициентами равна M“, то имеем M≥M’ и N-M≥N’-M“. В частности, M’ является нижней оценкой на ранг группы, а N’-M“ является нижней оценкой на дефект.
Получены нижние и верхние оценки на число образующих и соотношений (то есть, на ранг и дефект) в копредставлениях декартовых подгрупп граф-произведений групп (в том числе коммутантов прямоугольных групп Кокстера). Нижняя оценка выражается через первые целочисленные гомологии полных подкомплексов соответствующего симплициального комплекса K, а верхняя — через их фундаментальные группы. Оценки совпадают, если все эти группы свободны или свободные абелевы. Верхняя оценка достигается на копредставлении, в котором образующие можно указать явно (и впервые были описаны Ли Цаем), а соотношения можно вычислить алгоритмически в терминах симплициальных циклов, порождающих фундаментальные группы полных подкомплексов. Соответствующий алгоритм был реализован на компьютере.
Построена линейная операция в коммутанте присоединённой алгебре Ли прямоугольной группы Кокстера, повышающая размерность на 1 и соответствующая возведению в квадрат. Выдвинута гипотеза о структуре этого коммутанта: ожидается, что он изоморфен кольцу многочленов над подалгеброй Ли N_K граф-алгебры Ли, порождённой элементами Грбич-Панова-Терио-Ву.
Разработан конструктивный алгоритм декомпозиции граф-произведений групп. Алгоритм последовательно удаляет звезду выбранной вершины исходного графа и заменяет образующееся амальгамированное произведение одним ребром графа групп. Для тех графов, где звёзды можно стягивать шаг за шагом до ациклического остова, метод даёт явное построение графа групп с прямыми произведениями исходных групп в вершинах.
Исследованы пределы применимости метода Панова–Рахматуллаева к 2-ограниченным присоединённым алгебрам Ли, связанным со вторым нижним центральным рядом групп Кокстера. Установлено, что для групп Кокстера с углами π⁄2 и π⁄4 после магнусовской замены v ↦ 1 + v групповое кольцо допускает однородную систему образующих и отношений; этим получено обобщение теоремы Панова–Рахматуллаева на данный класс. В случае наличия углов π⁄6 ключевое соотношение становится неоднородным, и подход неприменим.
Рассмотрим симплициальный комплекс K, являющийся трёхмерной симплициальной сферой. Ранее было доказано, что кольцо когомологий соответствующего момент-угол комплекса Z_K изоморфно кольцу когомологий связной суммы сфер тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
A. K является границей четырехмерного октаэдра (в этом случае Z_K диффеоморфен S^3 x S^3 x S^3 x S^3);
B. 1-остов K является хордовым графом;
C. 1-остов K имеет ровно два недостающих ребра, причём они не смежны друг с другом.
В данный отчетный период был получен следующий результат:
Если выполнено (C) и K также является нерв-комплексом простого многогранника, то соответствующий момент-угол комплекс диффеомрофен связной сумме произведений сфер, где одно из слагаемых является произведением трёх сфер.
Также приведён пример неограниченной серии простых многогранников, нерв-комплексы которых имеют указанный вид (C), таким образом, этот класс содержит достаточно много симплициальных комплексов.