Качественное исследование некоторых классов квазилинейных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-71-00100

НазваниеКачественное исследование некоторых классов квазилинейных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля

Руководитель Авилович Анна Сергеевна, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Челябинский государственный университет" , Челябинская обл

Конкурс №97 - Конкурс 2024 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова Дробная производная Римана - Лиувилля, дифференциальное уравнение дробного порядка, дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, задача типа Коши, уравнение в частных производных, начально-краевая задача, теория вязкоупругости.

Код ГРНТИ27.31.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Изучение дифференциальных уравнений, содержащих производные дробного порядка, в настоящее время является актуальной задачей в связи со все более широким использованием таких уравнений в качестве математических моделей различных процессов в эпидемиологии, теории финансов, теории фильтрации, тепло- и массопереноса в сильно неоднородных средах, теории полупроводников, оптике, биологии, гидрогеологии, а также процессов с аномальной кинетикой. Так, например, исследования дробного исчисления обусловлено необходимостью более точного описания процессов и физических систем, имеющих нелокальный характер или феномен памяти в микро- и наноструктурированных средах, в детерминированных и хаотических процессах. Целью данного проекта является исследование вопросов локальной и глобальной разрешимости для новых классов дифференциальных квазилинейных уравнений, содержащих дробные производные Римана – Лиувилля. В задачи проекта входит исследование однозначной разрешимости задачи типа Коши для квазилинейных уравнений, разрешенных относительно старшей производной Римана – Лиувилля, с неограниченным линейным оператором, порождающим аналитическое в секторе семейство разрешающих операторов, а также начальных задач для квазилинейных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной Римана – Лиувилля, с парой линейных операторов в уравнении (при старшей дробной производной и при искомой функции), порождающей вырожденное аналитическое в секторе семейство разрешающих операторов. Нелинейный оператор в уравнениях рассматриваемых классов зависит от нескольких производных Римана – Лиувилля младших порядков. Абстрактные результаты станут обобщением соответствующих результатов теории аналитических полугрупп операторов на случай уравнений дробного порядка с дробными производными Римана – Лиувилля, при этом они будут использованы для исследования однозначной разрешимости ряда новых начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных дробного порядка по времени, встречающихся при математическом моделировании вязкоупругих сред, реологическое соотношение для которых содержит дробные производные.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В течении первого года, согласно проекту, исследованы задачи типа Коши для квазилинейных уравнений, разрешенных относительно старшей производной Римана – Лиувилля, с неограниченным оператором, порождающим аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов и нелинейным оператором, зависящим от нескольких дробных производных Римана – Лиувилля. Доказаны однозначная локальная и глобальная разрешимость задачи типа Коши для квазилинейных уравнений, разрешенных относительно старшей производной Римана – Лиувилля, с неограниченным оператором, порождающим аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов, с локально липшицевым и липшецевым нелинейным оператором, зависящим от нескольких дробных производных Римана – Лиувилля в случае, когда нелинейный оператор является непрерывным в норме графика секториального оператора и в случае, когда нелинейный оператор является гельдеровым. Выполнено исследование однозначной локальной разрешимости задачи типа Шоуолтера – Сидорова для квазилинейных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной Римана – Лиувилля, с парой линейных операторов при старшей производной и при искомой функции, порождающей вырожденное аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов, с локально липшицеввым нелинейным оператором, зависящим от нескольких дробных производных Римана – Лиувилля, образ которого лежит в подпространстве без вырождения, а так же исследование однозначной глобальной разрешимости задачи типа Шоуолтера – Сидорова для квазилинейных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной Римана – Лиувилля, с парой линейных операторов при старшей производной и при искомой функции, порождающей вырожденное аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов, с липшицеввым нелинейным оператором, зависящим от нескольких дробных производных Римана – Лиувилля, образ которого лежит в подпространстве без вырождения. Опубликованы статьи 1. Федоров В.Е., Авилович А.С. Задача типа Коши для некоторых квазилинейных уравнений с производными Римана – Лиувилля и секториальным оператором. Прикладная математика & Физика, 2024, том 56, № 4. С. 261–272. 2. Avilovich A. S., Debbouche A., Fedorov V. E. Quasilinear equations with Riemann – Liouville derivatives in H¨Older type spaces. Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2025. Vol. 10, iss. 1. P. 70–86. Результаты исследований были представлены на Международной научной конференции (17 – 21 марта 2025 г.) "Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения" с докладом «Задача типа Коши для некоторых квазилинейных уравнений с производными Римана — Лиувилля», по результатам доклада опубликованы тезисы Авилович А.С., Карпенко Д.Н., Пестерев И.Н. Задача типа Коши для некоторых квазилинейных уравнений с производными Римана — Лиувилля. "Комплексный анализ, математическая физика и нелинейные уравнения" Сборник материалов Международной научной конференции (17 – 21 марта 2025 г.) Уфа: Аэтерна, 2025.

Публикации

1. Авилович А.С., Карпенко Д.Н., Пестерев И.Н. Задача типа Коши для некоторых квазилинейных уравнений с производными Римана — Лиувилля "КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ" Сборник материалов Международной научной конференции (17 – 21 марта 2025 г.) Уфа: Аэтерна, 2025, C.6-7 (год публикации - 2025)

2. Авилович А.С., Дебуш А., Федоров В.Е. QUASILINEAR EQUATIONS WITH RIEMANN - LIOUVILLE DERIVATIVES IN H¨OLDER TYPE SPACES CHELYABINSK PHYSICAL AND MATHEMATICAL JOURNAL, Т. 10. № 1. С. 70-86. (год публикации - 2025)
10.47475/2500-0101-2025-10-1-70-86