Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В первый год выполнения проекта было проведено исследование равномерной устойчивости обратных спектральных задач для дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов, а также ряда смежных вопросов. Получены следующие основные результаты: 1. Доказана равномерная устойчивость обратной спектральной задачи для несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля на конечном интервале, состоящей в восстановлении потенциала и коэффициентов краевых условий по собственным значениям и обобщенным весовым числам. Получены равномерные оценки на разности потенциалов и коэффициентов краевых условий 1) при ограничениях на спектральные данные и на норму обратного оператора из основного уравнения, 2) при априорных ограничениях на норму потенциала и коэффициенты краевых условий. Найдены два новых набора условий на спектральные данные, достаточных для разрешимости обратной задачи в несамосопряженном случае. Для двух полученных классов спектральных данных доказана безусловная равномерная устойчивость обратной задачи. В случае кратных собственных значений получены равномерные оценки устойчивости, применимые в частности для сравнения задач с несовпадающими кратностями. Доказана равномерная устойчивость обратной задачи по данным Коши, удобным для численного восстановления потенциала и при решении неполных обратных задач. В результате разработан общий подход к исследованию равномерной устойчивости обратных спектральных задач, основанный на развитии идей метода спектральных отображений. 2. Доказана равномерная устойчивость неполной обратной задачи Хохштадта-Либермана, состоящей в восстановлении оператора Штурма-Лиувилля по смешанным данным: спектру и потенциалу, заданному на половине интервала. Получена липшицева равномерная оценка на разность потенциалов и коэффициентов краевых условий двух задач, учитывающая возмущение не только собственных значений, но и заданной части потенциала. 3. Получена равномерная устойчивость прямой и обратной задач Штурма-Лиувилля с потенциалами в шкале соболевских пространств $W_2^{\alpha-1}$, 0 < α < 1/2, и рациональными функциями Неванлинны в краевых условиях. В качестве спектральных данных выступают собственные значения и нормировочные константы. Получены равномерные оценки аппроксимации потенциала и коэффициентов краевых условий по конечным спектральным данным. 4. Доказана равномерная устойчивость обратной задачи для уравнения Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса $W_2^{-1}$ и с полиномиальной зависимостью от спектрального параметра в краевом условии. В качестве спектральных данных для восстановления потенциала и многочленов использовались собственные значения и обобщенные весовые числа, равные вычетам функции Вейля относительно ее полюсов. Доказанная теорема о равномерной устойчивости применима к некоторым парам спектральных задач с различными степенями многочленов в краевых условиях. 5. Получены необходимые и достаточные условия единственности, разработан конструктивный алгоритм решения, доказаны локальная разрешимость и устойчивость обратной задачи Штурма-Лиувилля с многочленами от спектрального параметра в одном краевом условии и произвольными аналитическими функциями – в другом. Обратная задача состоит в восстановлении потенциала и многочленов по части спектра при том, что аналитические функции заданы. Полученные результаты применены к задаче типа Хохштадта-Либермана с полиномиальной зависимостью от спектрального параметра в обоих краевых условиях, для которой доказаны единственность решения, локальная разрешимость и устойчивость. 6. Получен ряд новых результатов для обратных спектральных задач восстановления операторов с замороженными аргументами. Впервые доказана равномерная устойчивость восстановления потенциала в случае, когда исследуемый оператор является возмущением несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля. Изучена единственность восстановления оператора типа Штурма-Лиувилля с двумя замороженными аргументами по двум спектрам. Вычислены регуляризованные следы таких операторов без требования гладкости потенциалов. 7. Доказана однозначная разрешимость задачи оптимального успокоения управляемой системы на временно́м графе-звезде со счетным числом ребер, описываемой уравнениями с постоянным запаздыванием. Установлено, что оптимальная траектория течения процесса с учетом всех возможных сценариев удовлетворяет условию типа Кирхгофа во внутренней вершине. Также получена априорная оценка оптимальной траектории через норму начальной функции, определяющей предысторию системы. 8. Впервые исследована система управления на бесконечном временно́м дереве. Доказана однозначная разрешимость соответствующей задачи оптимального управления, которая, в свою очередь, эквивалентна некоторой бесконечной краевой задаче. Установлена самосопряженность и положительная определенность соответствующего оператора. Получена априорная оценка оптимальной траектории через начальное и конечные состояния системы. Также показано, что к системе на дереве приведет замена коэффициентов в соответствующем уравнении на интервале дискретными случайными процессами с дискретным временем. 9. Доказана однозначная разрешимость задачи оптимального управления для интегро-дифференциальной системы произвольного порядка на графе-звезде. Установлено, что оптимальная траектория дополнительно удовлетворяет условиям типа Кирхгофа во внутренней вершине. Также получена априорная оценка оптимальной траектории через начальное и конечные состояния. 10. Доказана однозначная разрешимость задачи оптимального успокоения управляемой системы, заданной функционально-дифференциальными уравнениями первого порядка на временно́м графе-звезде с глобальным сжатием, пропорциональным времени. Также установлена ее эквивалентность некоторой самосопряженной краевой задаче на графе. Получена априорная оценка решения через начальное условие в корневой вершине. Математические формулировки результатов приведены в приложенных к отчету статьях и следующих Интернет-ресурсах по проекту: [1] Bondarenko N.P. Uniform stability of the inverse problem for the non-self-adjoint Sturm-Liouville operator, https://doi.org/10.48550/arXiv.2409.16175 [2] Bondarenko N.P. Uniform stability for the inverse Sturm-Liouville problem with eigenparameter-dependent boundary conditions, https://doi.org/10.48550/arXiv.2502.18289 [3] Bondarenko N.P., Chitorkin E.E. Uniform stability of the inverse Sturm-Liouville problem with polynomials in a boundary condition, https://doi.org/10.48550/arXiv.2504.04203 [4] Kuznetsova M. On the problem of recovery of Sturm-Liouville operator with two frozen arguments, https://doi.org/10.48550/arXiv.2504.08561 [5] Lednov A.P. On damping a control system on a star graph with global time-proportional delay, https://doi.org/10.48550/arXiv.2503.02522