КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 24-71-10005
НазваниеАсимптотические задачи аналитической теории чисел
Руководитель Балканова Ольга Германовна, кандидат наук (признаваемый в РФ PhD)
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва
Конкурс №98 - Конкурс 2024 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-103 - Теория чисел
Ключевые слова арифметические функции, дзета-функция Римана, L-функции, модулярные формы, формы Маасса, мультипликативные функции
Код ГРНТИ27.15.19
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект направлен на решение задач, связанных с асимптотическим поведением и распределением различных теоретико-числовых объектов, включая арифметические и мультипликативные функции, нули дзета-функции Римана, моменты автоморфных L-функций. Данные разделы аналитической теории чисел, являясь классическими, традиционно привлекают внимание ведущих математиков, не теряя своей актуальности и постоянно обогащаясь новыми методами и идеями.
Одним из направлений проекта является изучение асимптотического поведения средних значений L-функций автоморфных форм, называемых моментами. Особый интерес для нас представляет семейство L-функций симметрического квадрата. В соответствии с результатами Гельбарта и Жаке, представители данного семейства являются GL(3) L-функциями, что объясняет сложность исследования моментов данных L-функций. Нашей целью является разработка новых методов и подходов, основанных на детальном изучении специальных функций, которые позволят превзойти наилучшие на сегодняшний день результаты.
Второе направление исследования связано с изучением свойств нулей дзета функции Римана. В частности, планируется изучать на примере вычисления асимптотических формул для некоторых сумм явление отталкивания Марко (repulse phenomenon). Это явление связано с распределением нетривиальных нулей дзета-функции Римана и L-функций Дирихле, и заключается в следующем: рассмотрев все возможные разности ординат нулей дзета-функции Римана, не превосходящие данной границы, можно заметить, что лишь малое число пар будут давать разность близкую к какой-либо ординате другого нуля. Другими словами, нули дзета-функции Римана «знают» друг о друге, и стараются друг друга «избегать».
Следующее направление проекта - изучение корреляций арифметических сумм, заключающееся в получении асимптотических формул или оценок для сумм дробей, числитель и знаменатель которых являются арифметическими функциями со сдвинутыми аргументами. Мы планируем уделить особое внимание функции делителей и функции числа представлений заданного числа суммой двух квадратов.
Наконец, мы планируем решить несколько асимптотических задач, связанных с исследованием средних значений мультипликативных функций, в том числе оценить снизу вероятность того, что случайная мультипликативная функция на отрезке [1,N], принимающая значения ±1, порождает неполный путь Дика. Кроме того, планируется провести ряд численных экспериментов.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Получена верхняя оценка на второй момент L-функций симметрического квадрата в центральной точке на коротком интервале изменения спектрального параметра формы Масса. Результат данной работы послужил основой для статьи Д. А. Фроленкова “Второй момент центральных значений симметричных квадратичных L-функций форм Маасса”, Изв. РАН. Сер. матем., 2025, № 6 (в печати).
Начато изучение второго момента L-функций симметрического квадрата на критической прямой с целью получения равномерной по нескольким параметрам верхней оценки. С данной целью была доказана точная формула для первого "скрученного" момента, в которой возникают две различные специальные функции, выражающиеся через гипергеометрические функции Гаусса. Для одной из этих функций в текущем году была получена асимптотическая формула при помощи метода перевала. Результат оформлен в статью О. Г. Балкановой “Асимптотика гипергеометрической функции Гаусса, возникающей в моментах L-функций симметрического квадрата I”, Матем. заметки (в печати).
Получена точная формула для первого момента L-функций симметрического квадрата для модулярных форм примарного уровня. Как следствие, доказана асимптотическая формула для рассматриваемого момента при условии, что уровень модулярной формы стремится к бесконечности. Данный результат оформлен в статью О. Г. Балкановой “Первый момент L-функций симметрического квадрата модулярных форм”, Матем. сб. (в печати).
Получена асимптотическая формула для суммы слагаемых вида r(n)/r(n+1), где r(n) — это число представлений числа n суммой двух квадратов, а суммирование ведётся по числам n, не превосходящим некоторого x, для которых r(n+1) отлично от нуля. Статья, содержащая данный результат, написана В.В. Юделевичем и подана на рассмотрение в журнал.
Кроме того, значительный прогресс был достигнут в задачах, относящихся к теории мультипликативных функций, изучению поведения нулей дзета-функции Римана и аддитивной комбинаторике. Оформление и публикация статей с данными результатами планируется на следующих этапах выполнения гранта.