Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1. Предложена и исследована математическая модель связанных нелинейных продольно-поперечных колебаний прямоугольной нанополосы, изготовленной из двумерного материала, в условиях внутреннего комбинационного резонанса между двумя поперечными и одной продольной формами колебаний. Аналитически найдены условия на величину деформации начального натяжения слоя, требуемую для реализации резонанса между формами с заданными индексами изменяемости по длине. Определены необходимые соотношения между номерами форм колебаний, вовлекаемых в нелинейное взаимодействие. С помощью проекционного метода Галеркина континуальная модель упругих колебаний полосы была сведена к системе трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в модальных координатах. Для качественного анализа динамики системы было выполнено построение асимптотического разложения решения этой системы методом многих масштабов. Показано, что в условиях внутреннего резонанса в системе возбуждается нелинейный режим свободных колебаний, спектр которого имеет вид частотной гребенки. Выделены два качественно различных типа колебаний такого рода - вызванных начальным возбуждением по рабочей продольной форме колебаний и по двум поперечным формам. Показана существенная зависимость спектрального состава генерируемых частотных гребенок от соотношений между амплитудами начального возмущения по трем взаимодействующим модальным координатам и от величины параметра внутренней частотной расстройки системы. Обнаружено существование определенного диапазона значений преднатяжения слоя в области настройки на комбинационный резонанс, которому соответствует режим частотной гребенки при продольном механизме возбуждения колебаний. Отмечены широкие возможности по управлению характеристиками генерерируемой частотной гребенки на основе механических колебаний нанослоя путем изменения величины его начального натяжения и пространственной конфигурации светового пятна лазерного термо-оптического источника возбуждения. 2. Изучено явление модальной локализации в струне с переменной по координате плотностью в контексте развития методов описания механических систем с неоднородной структурой. Натяжение в струне считается постоянным и слабым по сравнению с усилием, развиваемым в подложке. Само явление модальной локализации заключается в существенном изменении собственных форм колебаний при незначительном смещении спектра частот из-за наличия малых отклонений в значении какого-либо параметра, в качестве которого в данной работе выступает распределение массы вдоль струны. Для определения его влияния на спектр и первую форму колебаний струны была сформулирована краевая задача Штурма-Лиувилля с переменным коэффициентом и малым параметром при старшей производной. С помощью обобщённой функции Грина задача свелась к интегральному уравнению с неизвестным спектральным параметром. Решение данного уравнения строится методом последовательных приближений на основе итерационной последовательности, позволяющей определить значение спектрального параметра и форму колебаний. В результате численного интегрирования уравнений было определено критическое значение данного параметра и построена соответствующая ему собственная форма. В статье также рассматривается эффект модальной локализации в простой слабосвязанной механической системе с двумя степенями свободы. Отмечается согласованность результатов, полученных при сравнении континуальной модели с её дискретным аналогом. 3. Рассмотрена проблема синтеза динамических моделей пониженного порядка для континуальных упругих систем в геометрически нелинейной постановке (прежде всего - тонкостенных конструкций: струн, мембран, балок, пластинок, оболочек) на базе метода конечных элементов. В основе рассматриваемых подходов лежит идея идентификации нелинейной (квадратично-кубической) жесткостной характеристики упругой системы в её модальных координатах с последующим применением аппарата теории нелинейных нормальных мод и нормальных форм Пуанкаре для построения инвариантного многообразия, касательного к интересующему модальному подпространству. Получаемая таким образом динамическая модель пониженного порядка учитывает нелинейную упругую связанность рабочих форм колебаний с высокочастотными продольными и объемными модами конструкции, что обеспечивает корректность вычисляемой нелинейной жесткостной характеристики системы по выбранным главным координатам. Разработанный алгоритм был применен к построению нелинейной модели продольно-изгибных колебаний пролетной балки и её верификации на базе приближенного аналитического решения методом Галеркина. Программная реализация представленного метода была осуществлена на основе программной системы конечно-элементного анализа ABAQUS. 4. Предложен и программно реализован неинтрузивный метод построения мультифизичных электроупругих моделей пониженного порядка для электромеханических систем, состоящих из одного упругого тела и нескольких жестких электродов, на основе объемных конечно-элементных моделей. Построены модели пониженного порядка для консольной и пролетной микробалок с одним электродом и круглой пластины с двумя электродами. Было проведено сравнение решения статической задачи определения зависимости положений равновесия от напряжения на электродах с помощью конечно-элементной модели, аналитической модели и модели пониженного порядка.Предложенный подход показал высокую точность при моделировании рабочих режимов рассмотренных элементов МЭМС и значительную вычислительную эффективность. 5. Подробно исследована термоупругая диссипация в микробалочных резонаторах. На основе точной аналитической формы решения задачи о термоупругих волнах в слое были построены зависимости добротности антисимметричных (балочных) форм колебаний слоя от ключевых физико-механических параметров материала слоя и его относительных геометрических параметров при варьировании длины эквивалентной волны. Также была рассмотрена классическая модель строительной механики, описывающая изгибные колебаний тонкого слоя (балки) - модель Бернулли-Эйлера, дополненная учетом двусторонней связанности с полем температуры. Оценена асимптотическая корректность балочной модели как длинно-волнового приближения точного решения задачи о слое. Найдены соотношения ключевых параметров системы, соответствующие максимизации термопругих потерь. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании архитектур высокодобротных резонансных сенсоров состава и давления окружающей газовой среды.