Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В течение первого года реализации проекта было проведено исследование следующих задач: 1) Хорошо было известно, что между геодезическими потоками с потенциалами и уравнениями мелкой воды имеется некоторая связь. До недавнего времени, однако, она оставалась загадочным феноменом — было известно несколько разных интегрируемых систем, решения которых давали специальные решения уравнений мелкой воды, таких как КдФ и Камасса-Холма. В рамках проведенной работы эту связь удалось прояснить. Оказалось, что геодезические потоки с потенциалами, соответствующие системам Бененти (широкий и хорошо известный класс) естественным образом дают решения довольно широкого класса систем с дисперсией (БКМ систем). Более того, эта связь определяется выбором конкретного тора Лиувилля. В свою очередь различные системы оказываются похожи следующим образом: для них оказываются существуют торы с одинаковой динамикой. При этом глобально системы различны — сходство динамик есть только на отдельном торе. 2) При изучении интегрируемых систем механики обнаруживаются особенности - точки, в которых дифференциалы первых интегралов линейно зависимы. Для определения типов этих особенностей чрезвычайно важно иметь списки особенностей, в первую очередь структурно-устойчивых особенностей. Хорошо известен полный список невырожденных особенностей – локальных и полулокальных. Пока не удавалось выделить класс вырожденных особенностей (включающий известные примеры структурно-устойчивых особенностей), которые можно было бы классифицировать. В рамках проведенной работы это удалось сделать в вещественно-аналитическом случае. Был введен класс полуторических особенностей. Это компактные особые орбиты интегрируемых систем с n степенями свободы, первые интегралы которых задают гамильтоново действие (n-1)-мерного тора в малой комплексной окрестности данной орбиты. В случае n-мерного тора получается класс невырожденных особенностей. Таким образом, полуторические особенности - это естественное обобщение невырожденных особенностей. В рамках проекта удалось получить классификацию всех полуторических особенностей (удовлетворяющих условиям общего положения) для интегрируемых систем с 2 и 3 степенями свободы, а также доказать их структурную устойчивость (за исключением пары случаев). Полученный список содержит все известные структурно-устойчивые особенности (в т.ч. интегрируемую гамильтонову бифуркацию Хопфа и ее аналоги с резонансами), а также несколько новых серий особенностей. Изучена топология слоений Лиувилля для магнитных геодезических потоков, инвариантных относительно вращений, на двумерных замкнутых многообразиях, гомеоморфных сфере или тору, когда пара функций, задающая систему, находится в общем положении. Описаны все возможные бифуркационные диаграммы для таких магнитных геодезических потоков. 3) Получена классификация простейших особенностей лиувиллевых слоений интегрируемых гамильтоновых систем с 2 ст.св. с невырожденным алгебраическим разделением. 4) Для аналогов волчка Ковалевской в случае алгебр Ли so(4) и so(3,1) найдены вырожденные особенности, являющиеся параболическими. 5) Проведен топологический анализ псевдоевклидова аналога волчка Лагранжа с гиростатом. Построены бифуркационные диаграммы (в зависимости от параметров системы), найдены типы атомов и построены инварианты (аналоги молекул системы). 6) С помощью топологических биллиардов и биллиардных книжек с проскальзыванием были топологически промоделированы геодезические потоки на бутылке Клейна, имеющие квадратичный интеграл. 7) Было проведено исследование слоения Лиувилля плоских интегрируемых биллиардов, ограниченных окружностью и двумя прямыми, проходящими через её центр, угол между которыми составляет п/k, и кругового конуса – топологического биллиарда, склеенного вдоль прямолинейных границ из двух экземпляров такого сектора. При четном k изоэнергетическая поверхность гомеоморфна трехмерному проективному пространству, а при четном k – трехмерной сфере. 8) Одной из конструкций получения потоков на многообразии является построение надстройки над диффеоморфизмом. С. Смейл показал, что надстройки над сопряженными диффеоморфизмами топологически эквивалентны. Обратное утверждение не верно в общем случае. Классической иллюстрацией к этому факту являются примеры не сопряженных диффеоморфизмов окружности, надстройки над которыми эквивалентны. В рамках работы над проектом были установлены соотношения между инвариантами топологической сопряженности декартовых произведений грубых преобразований окружности и инвариантами топологической эквивалентности надстроек над ними. 9) Несущие многообразия неособых потоков Морса-Смейла с единственной седловой периодической орбитой имеют сложную структуру: известно, что ориентируемое многообразие допускает такой поток тогда и только тогда, когда оно является граф-многообразием. Однако, такое описание не позволяет, например вычислить число классов эквивалентности таких потоков. В рамках работы над проектом была уточнена топология несущих многообразий НМС-потоков с малым числом орбит и построен топологический инвариант, благодаря которому в будущем удастся вычислить число классов эквивалентности для всех НМС-потоков с тремя периодическими орбитами на каждом допустимом многообразии. По итогам 1 года реализации проекта опубликовано и принято к печати ! статей в реферируемых журналах (Scopus, WoS, RSCI). Результаты представлены: - на конференциях: Dynamics in Siberia, 2025 (ИМ СО РАН), Nonlinear Dynamics (ЯрГУ), Ломоносов (МГУ), конференциях в Математическом центре Сириуса. Запланированы доклады В.А.Кибкало и А.Ю.Коняева на конференции Finite Dimensional Integrable Systems (август 2025, Мексика) - в виде серии докладов Е.А.Кудрявцевой, В.А.Кибкало на известных научных семинарах МГУ, МИАН и СПбГУ. Материалы и препринты проекта доступны на интернет-странице http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php . Участники проекта активно ведут научно-образовательную деятельность: - старшие участники (Ведюшкина, Кибкало, Коняев, Кудрявцева) научно-исследовательские семинары на мехмате МГУ, для студентов и аспирантов, ими читаются спецкурсы по симплектической геометрии (Коняев, совм. с А.А.Ошемковым), по интегрируемым биллиардам (Ведюшкина, Кибкало). https://scs.math.msu.ru В апреле 2025 участниками проекта (Ведюшкина. Кибкало, Ноздринова) организована школа-конференция в Матем. центре “Сириус” для 75 студентов и аспирантов, тематика которой соответствует темам гранта. На ней были представлен ряд полученных результатов: - “Современные геометрические и топологические методы в математике и физике”, . https://siriusmathcenter.ru/015s