Модели стохастической динамики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-71-10109

НазваниеМодели стохастической динамики

Руководитель Житлухин Михаил Валентинович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №98 - Конкурс 2024 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-110 - Теория вероятностей и математическая статистика

Ключевые слова Стохастическая динамика, случайные процессы, случайные матрицы, стохастическое оптимальное управление, статистический последовательный анализ, ветвящиеся случайные блуждания, детерминантные точечные процессы, гауссов мультипликативный хаос, случайные целые функции.

Код ГРНТИ24.43.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Модели стохастической динамики занимают центральное место в современной теории вероятностей, возникая во множестве областей теории случайных процессов, теории статистического последовательного анализа, стохастического анализа, теории динамических систем и теории случайных матриц. Анализ таких моделей играет принципиальную роль для приложений, в том числе в финансовой математике, стохастической теории игр и др. Основные модели стохастической динамики и сопутствующие направления исследований проекта: Одним из важных примеров приложения моделей стохастической динамикой является теория статистического последовательного анализа. Задачи из этой области состоят в том, чтобы по наблюдаемому случайному процессу оценить некоторые ненаблюдаемые характеристики, причем характерной чертой процедур оценивания является их динамическое построение (т.е. итеративное по времени). В рамках проекта будут рассматриваться новые формулировки задач статистического последовательного анализа для байесовской модели броуновского движения со сносом (т.е. в предположении, что величина сноса неизвестна, но известно распределение его возможных значений). Модели броуновского движения со сносом относятся к числу наиболее популярных базовых моделей в приложениях, при этом, однако, случай нелинейного сноса изучен недостаточно. В рамках проекта отдельно предполагается исследовать степенной снос, возникающий в случайный момент времени, в случае, когда показатель степени принимает критическое значение (на границе между сингулярностью и абсолютной непрерывностью распределения процесса со сносом относительно винеровской меры). Данный случай имеет тесную связь с гауссовским мультипликативным хаосом. Следующей моделью стохастической динамики, исследуемой в проекте, станут ветвящиеся случайные блуждания. В настоящее время в мире активно развиваются методы с использованием спектральной теории операторов применительно к анализу асимптотических свойств ветвящихся случайный блужданий. Использование теории ортогональных многочленов и матриц Якоби позволяет исследовать некоторые модели ветвящихся случайных блужданий без предположения пространственной однородности базового блуждания. Данные методы имеют глубокую связь с методами анализа мультипликативного хаоса, основанными на спектральной теории операторов. Случайные меры и мультипликативный хаос относятся к числу самых динамичных современных направлений теории случайных процессов. В рамках проекта будут проведены исследования мультипликативного хаоса для случайных целых функций, отвечающих детерминантным точечным процессам, возникающим в теории случайных матриц. В проекте также предполагается исследовать случайные матрицы, строки которых образуют временной ряд. Несмотря на активные исследования в области теории случайных матриц, важной для многих приложений в статистике, машинном обучении, физике и др., вопросы о предельном поведении сингулярного спектра (множества сингулярных значений) случайных матриц с нелинейной зависимостью во многом остаются открытыми. Последним направлением исследований проекта станут модели стохастической динамики, связанные с эволюционными играми. Планируется изучить различные классы эволюционно оптимальных стратегий и то, как они определяют структуру игры.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Было установлено соответствие между задачами оптимальной остановки на бесконечном и конечном интервалах времени. Доказано, что преобразование меры и замена времени позволяют переформулировать одну задачу в терминах другой. Показано, что решения этих задач связаны через явное преобразование, согласующееся с известными ранее результатами. Полученные выводы расширяют методы анализа оптимальных стратегий в стохастических моделях. Получено решение задачи Дэвиса-Монро об абсолютной непрерывности/сингулярности распределения броуновского движения с нелинейным сносом типа квадратного корня, возникающим в случайный момент времени (независящий от броуновского движения), по отношению к стандартной винеровской мере для произвольного распределения момента. А именно, изучено, при каких значениях постоянного положительного множителя при сносе будет один или второй случай. В случае, когда распределение момента появления сноса имеет ограниченную плотность, найдена константа, при значениях множителя ниже которой будет абсолютная непрерывность, выше или равных которой – сингулярность. В абсолютно непрерывном случае предложен новый элементарный способ доказательства существования плотности соответствующего распределения (производной Радона-Никодима по винеровской мере), отвечающего одномерному гауссовому мультипликативному хаосу. Предложен новый, элементарный, способ построения экспоненты случайного поля, хорошо приспособленный к работе с негауссовыми полями. Получено точное описание образа оператора, индуцирующего детерминантный точечный процесс с гипергеометрическим конфлюэнтным ядром, в терминах явного интегрального преобразования. Получен аналог формулы Бородина-Окунькова-Джеронимо-Кейса для ожиданий мультипликативных функционалов при данном процессе. Из данной формулы получена сходимость аддитивных функционалов к Гауссовому распределению при растяжении соответствующей функции. Рассмотрена модель якобиева ветвящегося случайного блуждания, соответствующего ортогональным многочленам Чебышёва второго рода. Показано, что соответствующий процесс случайного блуждания сходится к оператору Лапласа на полупрямой. Исследован оператор, являющийся суммой оператора Лапласа на полупрямой и точечного потенциала в нуле с одним из возможных краевых условий. С помощью решения уравнения Липпмана-Швингера найдены собственные функции непрерывного спектра полученного оператора. Получены необходимые и достаточные условия выживаемости стратегий в конкретной математической модели финансового рынка, обобщающие ранее известные результаты. Для стационарной версии модели установлены более сильные условия выживаемости стратегий. Построена предельная модель, в которой стратегии малых игроков не влияют на цены. Разработана концепция популяционных выживающих стратегий, определяемых как стратегии, чья доля стремится к 1, а скорость роста капитала является максимальной. Доказано существование популяционных выживающих стратегий в модели рынка с долгоживущими активами, дополняющее полученные результаты для короткоживущих активов.

Публикации

1. Муравлев А.А. О соответствии между задачами об оптимальной остановке на конечном и бесконечном временных интервалах Теория вероятностей и ее применения, т. 70, в. 1, с. 193–196 (год публикации - 2025)

2. Яськов П.А. Спонтанно возникающие сигналы с белым шумом Теория вероятностей и ее применения, т. 69, в. 4, с. 712–728 (год публикации - 2024)

3. Житлухин М.В., Токаева А.А. Мартингальные методы в задаче о существовании выживающих стратегий Теория вероятностей и ее применения, т. 69, в. 4, с. 653–667 (год публикации - 2024)