Нелинейные задачи теории меры и их приложения

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 25-11-00007

НазваниеНелинейные задачи теории меры и их приложения

Руководитель Богачев Владимир Игоревич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова Пространство мер, уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, задача Монжа, задача Канторовича, пространство Соболева

Код ГРНТИ27.39.25

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен широкому комплексу проблем теории меры аналитического и геометрического характера, в том числе относящихся к геометрии и топологии пространств мер, различным видам сходимости мер и преобразованиям мер, связанным с оптимизационными задачами и уравнениями Фоккера - Планка - Колмогорова для мер. Такое исследование весьма актуально для общей теории меры, бесконечномерного анализа (включая теорию дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерных пространствах), теории вероятностей и стохастического анализа (как конечномерного, так и бесконечномерного), теории оптимальной транспортировки, а также разнообразных приложений в математической физике, статистике и математической экономике. В проекте речь идет о некоторых конкретизациях этой весьма широкой и многогранной проблематики применительно к комплексу задач аналитической теории меры, связанных с исследованием дифференциальных свойств мер на конечномерных и бесконечномерных пространствах, свойств их образов при нелинейных преобразованиях, связей различных видов сходимости таких мер и возникающих при этой сходимости интересных эффектов, дифференциальных уравнений относительно мер, как обыкновенных, так и уравнений типа Фоккера - Планка - Колмогорова (линейных и нелинейных), а также оптимизационных задач теории меры типа проблем Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки. Масштабность, научная значимость и актуальность этой проблематики видны как из широты спектра задач и приложений, так и из вовлеченности в исследование близких проблем значительного числа квалифицированных исследователей во многих научных центрах мира, публикующихся в ведущих международных журналах. Научная новизна предлагаемых исследований заключается в решении нескольких актуальных уже стоящих задач аналитической теории меры и ее приложений, в том числе в принципиально новых результатах об оптимальной транспортировке с параметрами, в развитии исчисления Маллявэна и его приложений, в постановке и решении новых задач, в существенном продвижении в теории уравнений Фоккера - Планка - Колмогорова. Конкретные ожидаемые результаты перечислены в следующем пункте. Достижимость решения поставленных задач и возможность получения предполагаемых результатов обеспечиваются высоким научным уровнем группы, подтверждаемым успешным выполнением значительного числа предыдущих проектов, в том числе РНФ, опубликованными монографиями (в том числе за последние 5 лет опубликованы 5 монографий) и статьями в ведущих научных журналах (за последние 5 лет участниками проекта опубликовано 14 статей в журналах категории Q1), широко цитируемыми многими исследователями. В проекте участвуют 2 доктора наук, 4 кандидата наук, 2 аспиранта и 2 студента, в том числе 9 молодых ученых (8 участников из МГУ). Восемь участников проекта имеют научные публикации и успешный опыт участия в проектах нескольких фондов (РНФ, РФФИ, Базис, INTAS, DFG). Полученные результаты будут опубликованы в ведущих журналах с заметным превышением установленного норматива по числу публикаций, а также войдут в монографию. Планируется подготовка докторской диссертации.

Ожидаемые результаты
Получение оценок расстояний в различных метриках между решениями стационарных уравнений Колмогорова в случае недифференцируемых матриц диффузии. Применение к исследованию разрешимости нелинейных стационарных уравнений Колмогорова.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1) Получены оценки расстояний в различных метриках между решениями уравнений Фоккера – Планка – Колмогорова с недифференцируемыми коэффициентами. 2) Проведено исследование нелинейных стационарных уравнений Колмогорова с частично вырожденной матрицей диффузии. 3) Проведено систематическое исследование топологических и геометрических свойств весовых пространств радоновских мер на вполне регулярных топологических пространствах. Основное внимание уделено пространствам вероятностных мер, интегрирующих заданную непрерывную весовую функцию, когда пространства мер наделяются топологией двойственности с функциями, ограниченными данным весом. 4) Для решений линейного неравенства Фоккера – Планка – Колмогорова с эллиптическим оператором доказано существование плотности решения, когда от матрицы диффузии требуется невырожденность и выполнение условия Дини в среднем. В частности, это верно для решений уравнения Фоккера – Планка – Колмогорова. 5) Получены новые результаты о сходимости вероятностных мер в метрике Канторовича. В классическом утверждении, восходящем к работам Бореля, Гато и Леви столетней давности и дающем слабую сходимость нормированных поверхностных мер на сферах радиуса корень из n в n-мерном евклидовом пространстве к стандартной гауссовской мере на счетной степени прямой (т.е. мере, равной счетной степени стандартной гауссовской меры на прямой), получено существенное усиление, а именно установлено, что для всякого сепарабельного банахова пространства E, непрерывно вложенного в счетную степень прямой и имеющего меру 1 относительно стандартной гауссовской меры, сходимость имеет место по метрике Канторовича, порожденной нормой пространства E. Для общего сепарабельного пространства Фреше X и слабо сходящейся последовательности борелевских вероятностных мер P_n на X с пределом P доказано следующее утверждение. Если имеется непрерывно вложенное в X сепарабельное банахово пространство Y с P_n(Y)=1 при всех n, норма которого равномерно интегрируема относительно всех данных мер и замкнутый единичный шар замкнут также и в X, то найдется такое рефлексивное сепарабельное банахово пространство E, замкнутый единичный шар которого компактен в X, что E имеет меру 1 относительно всех данных мер и меры P_n сходятся к P по метрике Канторовича, порожденной нормой пространства E. Сделаны 10 докладов на конференциях. Опубликована 1 статья в журнале ,,Успехи математических наук'', сданы в печать 8 статей.

Публикации

1. Богачев В.И., Шапошников С.В. Регулярность решений уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова Успехи математических наук , Т. 80, N 6, С. 3-44 (год публикации - 2025)
10.4213/rm10293