Методы нелинейного функционального анализа в задачах гидродинамики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 25-11-00056

НазваниеМетоды нелинейного функционального анализа в задачах гидродинамики

Руководитель Звягин Виктор Григорьевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Воронежский государственный университет" , Воронежская обл

Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-111 - Дифференциальные уравнения с частными производными

Ключевые слова Начально-краевая задача, неньютоновская жидкость, модель движения жидкости с переменной плотностью, вязкоупругая среда, теорема существования, реологическое соотношение высокого порядка, дробная производная, жидкость с памятью, неоднородные начально-граничные задачи, регулярный лагранжев поток, уравнения Кельвина-Фойгта, многокомпонентные жидкости, гомогенная смесь жидкостей, идеальная жидкость.

Код ГРНТИ27.31.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на изучение современных проблем гидродинамики на основе методов нелинейного функционального анализа. Именно качественные методы функционального анализа зарекомендовали себя среди наиболее эффективных и мощных средств решения задач со сложной структурой, которые имеют важные практические применения. В настоящее время круг таких проблем значительно расширился. Он включает не только классические неньютоновские жидкости, но также сложные среды, в которых связь тензоров напряжений и скоростей деформаций осуществляется путем решения транспортных уравнений, среды, в которых реологические соотношения имеют вид сложных тензорных зависимостей с нелинейными материальными производными, сжимаемые среды, среды с памятью. Математические модели таких сред находят применение в теории полимеров, химии, биологии (движение крови, различных ликворов). Также отметим широкое применение в технологических процессах, в частности, при разработке новых технологий нефтедобычи и т.д. В качестве конкретных проблем гидродинамики планируется рассмотреть следующие основные блоки задач: 1. Исследование динамики вязкоупругих жидкостей интегрального типа высокого порядка (жидкости типа Грина-Ривлина). 2. Исследование слабой и сильной разрешимости начально-краевых задач для ряда моделей Кельвина-Фойгта неоднородной несжимаемой жидкости. 3. Исследование разрешимости начально-краевых задач для моделей вязкоупругих жидкостей с памятью (в том числе бесконечной памятью). В том числе предполагается изучение задач для вязкоупругих жидкостей (Олдройдовского типа, моделей Фойгта и Кельвина-Фойгта) с ненулевыми граничными условиями (задач протекания) в односвязной и многосвязной областях. 4. Теоретическое исследование математических моделей, описывающих движение многокомпонентных несмешивающихся несжимаемых неоднородных жидкостей, каждая компонента которых описывается уравнениями типа Кельвина-Фойгта. 5. Изучение проблем динамики гомогенных смесей жидкостей. Исследование задач рассматриваемого направления носит актуальный характер мирового уровня, что подтверждается большим количеством оригинальных научных работ и монографий по тематике данного проекта за последние 20 лет, значительная часть которых опубликована в журналах из квартиля Q1. Актуальность тематики проекта обусловлена оригинальностью методов исследования, трудностью рассматриваемых задач, а также предполагаемыми в дальнейшем (и частично уже имеющимися) приложениями в химии полимеров, механике, медицине и многих других разделах естествознания. Анализ современной научной литературы и выступлений на международных научных конференциях и конгрессах показывает, что предлагаемые участниками проекта идеи и методы представляют интерес для специалистов этого раздела математики, а их исследования находятся на современном мировом уровне, и в ряде случаев опережают его.

Ожидаемые результаты
В проекте предполагается получение следующих результатов: 1. Априорные оценки решений для жидкостей типа Грина-Ривлина высокого порядка. Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для уравнений движения для некоторых типов жидкостей Грина-Ривлина высокого порядка. 2. Теорема о слабой разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Олдройдовского типа высокого порядка с бесконечной памятью вдоль траекторий поля скоростей. 3. Локальная теорема существования решения начально-краевой задачи со свободной границей для несжимаемой нелинейно-вязкой жидкости с интегральной зависимостью тензора напряжений от тензора скоростей деформации вдоль траекторий поля скоростей. 4. Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для уравнений движения вязкоупругой жидкости в многосвязной области с памятью вдоль траекторий поля скоростей и неоднородным граничным условием. 5. Теорема существования сильного решения начально-краевой задачи для модели Кельвина-Фойгта движения жидкости с переменной плотностью порядка L=1,2,…. 6. Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для модели неоднородной несжимаемой жидкости Фойгта с субстанциональной производной по времени в реологическом соотношении. 7. Теорема существования слабого решения начально-краевой задачи для модели неоднородной несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта порядка L=1,2,…, с субстанциональной производной по времени в реологическом соотношении. 8. Теорема о слабой разрешимости задачи протекания для математической модели движения вязкоупругой жидкости Фойгта в односвязной области. 9. Теорема о слабой разрешимости задачи протекания для математической модели движения вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта в односвязной области. 10. Теорема о слабой разрешимости задач протекания для математических моделей движения вязкоупругих жидкостей Фойгта и Кельвина-Фойгта в многосвязной области. 11. Корректная математическая постановка модели, описывающей движение многокомпонентных несмешивающихся несжимаемых неоднородных жидкостей типа Кельвина –Фойгта. Предполагается определить классы функциональных пространств для искомых решений и методы исследования полученной модели. 12. Последовательность решений регуляризованных задач для математической модели, описывающей движение многокомпонентных несмешивающихся несжимаемых неоднородных жидкостей Кельвина-Фойгта. Доказательство сходимость решений регуляризованных задач к решению исходной задачи. 13. Теоремы о качественных свойствах решений (регулярность, гладкость, асимптотические свойства при стремлении параметров регуляризации к предельным) модели, описывающей движение многокомпонентных несмешивающихся несжимаемых неоднородных жидкостей Кельвина-Фойгта. 14. Теорема об однозначной разрешимости локально по времени исследуемой начально-краевой задачи о движении гомогенной смеси вязких несжимаемых жидкостей, заполняющих ограниченную область трехмерного пространства. 15. Теорема об однозначной разрешимости в задаче о малых движениях смеси несжимаемых идеальных жидкостей. Теорема о структуре спектра и свойствах корневых элементов в задаче о нормальных колебаниях смеси несжимаемых идеальных жидкостей. Теорема об однозначной разрешимости в задаче о малых движениях смеси сжимаемых идеальных жидкостей. 16. Теорема о структуре спектра и свойствах корневых элементов в задаче о нормальных колебаниях смеси сжимаемых идеальных жидкостей. Все заявленные в проекте результаты являются принципиально новыми и неизвестными на данный момент. Они представляют как самостоятельный интерес, так и могут быть использованы в дальнейшем при решении новых классов задач. При этом, несмотря на чисто теоретический характер, данные результаты имеют широкое применение в полимерной промышленности, химии, биологии (движение крови, различных ликворов). Также отметим широкое применение в технологических процессах, в частности, при разработке новых технологий нефтедобычи и т.д.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1. Для модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости типа Грина-Ривлина высокого порядка с разнотипными модулями релаксации напряжений и затухания памяти, соответствующих временам деформирующих воздействий, установлены априорные оценки слабых решений начально–краевой задачи. Для случая постоянных модулей релаксации напряжений и затухания памяти установлена слабая разрешимость начальной краевой задачи. 2. Доказана теорема существования и единственности сильного решения начально-краевой задачи для модели Кельвина-Фойгта движения неоднородной несжимаемой жидкости произвольного конечного порядка. При этом на начальное условие на плотность жидкости не накладывается условие отделенности от нуля, то есть в начальный момент времени в жидкости могут присутствовать участки вакуума. 3. Для уравнений движения модели вязкоупругой жидкости с памятью вдоль траекторий поля скоростей и с реологическим соотношением, содержащим производные высоких порядков и с неоднородными граничными условиями в односвязных и многосвязных областях установлены аппроксимационные свойства предельной функции – начального времени движения частицы жидкости по траектории в области течения жидкости. Построены аппроксимации специального типа для предельной функции, позволяющие осуществить предельный переход в аппроусимирующих задачах. Установлено существование слабых решений начально-краевой задачи для уравнений движения вязкоупругой жидкости с памятью вдоль траекторий поля скоростей и с реологическим соотношением, содержащим производные высоких порядков и с неоднородными граничными условиями в односвязных и многосвязных областях с гладкими граничными условиями. 4. Исследовалась задача протекания для одного класса движения вязкоупругих сред. Движение жидкостей и газов описывается на основе второго закона Ньютона, в котором неизвестными являются функции скорости частицы среды, давления в частице среды, плотности среды и тензор напряжений. Число неизвестных в данной системе превосходит число уравнений, поэтому данную систему дополняют соотношениями, которые определяют тип изучаемой среды. В данном пункте плана работ, во-первых, изучаются только несжимаемые жидкости, то есть жидкости с постоянной плотностью и дополнительным условием неразрывности среды. Во-вторых, в математике наиболее известными считаются модели, описывающие движения идеальных (в которых тензор напряжений равен нулю) и ньютоновских сред (в которых тензор напряжений линейно связан с вязкостью жидкости и с тензором скоростей деформации жидкости). Однако, большинство реальных жидкостей описываются более сложными соотношениями, в которых необходимо помимо вязкости также учитывать, например, свойства упругости. Именно такие вязкоупругие жидкости изучаются в данном проекте. Одними из наиболее известных примеров таких жидкостей являются жидкости типа Фойгта, предложенные проф. А.П. Осколковым. Математическая модель для данного типа жидкостей строится на основе системы Навье-Стокса с учетом упругих свойств жидкости. Поэтому такую систему также часто называют системой уравнений Навье-Стокса-Фойгта. Изучаемая в проекте математическая модель описывает движение линейно упруго-запаздывающих жидкостей. Одним из важных результатов в данном проекте является доказательство корректности задачи протекания для описанной вязкоупругой среды типа Фойгта в двумерной и трехмерной области. 5. В отчётный период была формулирована математическая модель много компонентной жидкости на базе уравнений Кельвина-Фойгта. Предложены методы исследования ее корректности (доказательство существования и единственности решения, изучение их асимптотического поведения по времени или по важным физическим параметрам). Исследована начально-краевая задача для системы Кельвина-Фойгта, моделирующей смесь n несжимаемых и вязкоупругих жидкостей с непостоянными плотностями. Установлено существование локальных и глобальных во времени слабых решений для скорости, плотности и давления При дополнительных предположениях о регулярности данных также устанавлены регулярность и единственность решения. 6. Рассмотрена система дифференциальных уравнений динамики гомогенной смеси вязких несжимаемых жидкостей. Эта система уравнений – один из многих вариантов описания движения многокомпонентных жидкостных смесей. В рассматриваемом случае, в частности, предполагается, что в каждой точке пространства присутствуют все компоненты смеси, которые находятся в одной фазе, но имеют каждая свою локальную скорость движения; взаимодействие между компонентами осуществляется через обмен импульсом и вязкое трение. Для описанной системы дифференциальных уравнений проведен анализ разрешимости в общем случае трёх пространственных переменных. Доказаны существование и единственность на некотором конечном отрезке времени сильного по времени решения начально-краевой задачи, соответствующей течениям смеси в ограниченной области с условиями прилипания на границе области течения.