Геометрические и алгебраические методы в теории интегрируемых систем

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 25-11-00081

НазваниеГеометрические и алгебраические методы в теории интегрируемых систем

Руководитель Славнов Никита Андреевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова Интегрируемые системы, динамические системы, корреляционные функции, анзац Бете, солитонные уравнения, представления квантовых алгебр, интегрируемые иерархии, абелевы функции, системы Хитчина, метод разделения переменных, уравнения Янга-Бакстера

Код ГРНТИ27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект охватывает широкий круг актуальных задач в теории точно-решаемых моделей, опираясь на современные методы классических и квантовых интегрируемых систем (включая разработку новых методов), а также методы алгебраической геометрии, теории представлений, комплексного и функционального анализа. Планируется развитие математического аппарата для исследования неравновесной динамики квантовых интегрируемых систем. Ожидается, что релаксация интегрируемых систем к устойчивому состоянию существенным образом отличается от неинтегрируемого случая. Для детального изучения этого вопроса необходимо разработать метод вычисления скалярных произведений (перекрытий) собственных векторов, отвечающих различным квантовым гамильтонианам. Нами также планируется решение задач описания всех дифференциальных соотношений в поле мероморфных функций на якобианах различных классов алгебраических кривых, получение в качестве приложений явных формул конечнозонных решений уравнений Кортевега-де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили и их иерархий. Будут построены новые интегрируемые системы, используя R-матричные тождества. В частности, планируется получить новые спиновые обобщения квантовых многочастичных интегрируемых систем и исследовать соответствующие алгебраические структуры. Также будет изучено приложение этих систем к спиновым цепочкам с дальнодействием. Мы планируем построить собственные функции указанных моделей, реализованных как матричные (спиновые) обобщения квантовой системы Руйсенаарса. Это позволит также получить спектр и собственные состояния соответствующих спиновых цепочек. Нами также ставится задача развития точных методов решения конечномерных интегрируемых систем, конкретно метода разделения переменных и метода обратной спектральной задачи, в их алгебро-геометрическом варианте. Одной из главных целей исследования является нахождение точных решений систем Хитчина с простыми структурными группами. Эта задача не решена ни для одной ортогональной группы кроме SO(4), и ни для одной симплектической группы. Имеющиеся результаты относятся к случаям полной линейной и унимодулярной структурных групп (И.М. Кричевер, 2002). Методическая часть исследования состоит в поиске возможностей решения задачи обращения Якоби на многообразиях Прима, представляющих инвариантные торы систем, и в исследовании специфики построения функций Бейкера--Ахиезера для представлений Лакса со спектральным параметром на римановой поверхности положительного рода. Еще одной целью данного проекта является обобщение коммутаторного подхода к построению уравнений с отрицательными номерами времен. Актуальность данной задачи следует из того факта, что таким образом будут получены классы новых (2+1)-мерных интегрируемых уравнений. Помимо этого, в результате размерной редукции будут получены и новые классы (1+1)-мерных интегрируемых уравнений. Будет развита техника исследования свойств решений таких уравнений.

Ожидаемые результаты
Ожидается получение явных формул для скалярных произведений (перекрытий) on-shell векторов Бете в модели Либа-Линегера с различными константами связи. Эти результаты позволят раскладывать собственные векторы исходного гамильтониана по базису собственных векторов конечного гамильтониана. Будут получены явные формулы конечнозонных решений уравнений Кортевега-де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили и их иерархий на основе результатов о дифференциальных соотношениях в поле мероморфных функций на якобианах не особых гиперэллиптических кривых. Будут описаны их редукции в условиях, когда некоторые из периодов уходят на бесконечность. Планируется построение спинового обобщения квантовой системы Руйсенарса, построенной по системе корней BC_n, также называемой системой Курвиндера-ван Диена. Вывод и построение новых R-матричных соотношений как необходимое и достаточное условие коммутативности гамильтонианов. Построение и изучения спектра соответствующих спиновых цепочек. Используя квантовые R-матрицы, удовлетворяющие ассоциативному уравнению Янга-Бакстера, будет описан новый класс моделей интегрируемых взаимодействующих волчков. Аналогичными методами планируется получить и дискретные интегрируемые матричные уравнения Ландау-Лифшица. Постановка и решение задачи обращения Якоби для отображения Абеля-Прима в случае кривых с двумя коммутирующими инволюциями. Классификация кривых с двумя коммутирующими инволюциями и некоторыми дополнительными условиями. Решение прямой спектральной задачи для систем Хитчина со структурной группой SO(2n). Будут получены новые примеры точных решений интегрируемых систем. Планируется исследовать случай, когда отрицательные номера имеют два времени в иерархии и вывести коммутаторное тождество, соответствующее линейное уравнение и процедуру делинеаризации. Планируется получить уравнения связей и провести размерную редукцию построенной (2+1)-мерной интегрируемой системы к (1+1)-мерной. Будут построены и другие интегрируемые уравнения с отрицательными номерами времен.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В рамках исследования неравновесной динамики квантовых интегрируемых систем изучались перекрытия векторов Бете в модели Либа-Линегера, отвечающих различным константам связи. Получены явные, компактные формулы для многомерных интегралов, описывающих эти перекрытия. Получена формула суммы для перекрытия векторов Бете, которая является аналогом формулы суммы для скалярных произведений. Доказано, что в ряде частных случаев перекрытия сводятся к одному старшему коэффициенту. Бейкер построил базисные мероморфные функции на якобиане гиперэллиптической кривой с двумя бесконечно удалёнными точками. Мы называем их функциями Бейкера. Конструкция основана на отображении Абеля – Якоби, которое позволяет отождествить поле мероморфных функций на якобиане кривой с полем мероморфных функций на симметрическом произведении кривой. Ранее нами было построено решение уравнения КП в терминах функции Бейкера. Отчетная работа посвящена свойствам функций Бейкера. В этой работе мы строим целую функцию, вторые логарифмические производные которой являются функциями Бейкера. Мы доказываем, что разложение всей функции в степенной ряд вблизи начала координат определяется алгебраически только коэффициентами определяющего уравнения кривой и точкой ветвления кривой. Мы также описываем квазипериодичность всей функции и выражаем всю функцию через тета-функцию Римана. Построено новое интегрируемое уравнение в (2+1) с отрицательными номерами времен. Введены данные рассеяния, решения Йоста и пара Лакса. Рассмотрена задача рассеяния для оператора Лакса. Исследованы (1+1)-мерные редукции этого уравнения. Обзорно была описана конструкция классических эллиптических интегрируемых систем на SL(N,С)-расслоениях Хиггса с нетривиальными характеристическими классами. Множество интегрируемых моделей включает систему Калоджеро-Мозера, ее спиновое обобщение, волчок Эйлера-Арнольда и модели Годена. В некоторых частных случаях возникают модели смешанного типа, известные как обобщенные модели взаимодействующих волчков. Далее были описаны полевые обобщения для этих моделей на 1+1-мерном пространстве-времени. Также предложена классическая r-матричная структура типа Маилле для полевого аналога обобщенной модели взаимодействующих волчков, отвечающая SL-расслоениям с нетривиальными характеристическими классами. Проведены исследования по проблеме обращения Якоби для отображения Абеля-Прима в случае кривых с одной голоморфной и одной антиголоморфной инволюциями (другими словами — вещественных кривых с инволюцией), и её приложениям к нахождению точных решений систем Хитчина. В связи с задачей описания фазового пространства систем Хитчина в рамках метода разделения переменных проведены исследования алгебро-геометрических свойств инвариантных торов систем Хитчина для общих (не обязательно вещественных) кривых с инволюцией. Получены решения систем Хитчина с простыми структурными группами путём применения обратного преобразования Якоби к прямолинейным обмоткам изопримианов спектральных кривых этих систем. Из полученного семейства решений выделены вещественные решения — дивизоры, инвариантные относительно антиголоморфной инволюции на спектральной кривой (точнее — относительно одной из двух антиголоморфных инволюций, имеющихся в ситуации вещественной кривой с инволюцией). Получены бесконечномерные обобщения классических систем Годена, описывающиеся операторами в алгебре некоммутативного тора. Полученные системы интерпретируются в виде интегрируемых теорий поля, для котороых генератор интегралов движения представляет собой обобщение классической спектральной кривой. Для таких систем получено обобщение спектральной дуальности, а имеено, построены дуальные пары, спектральные кривые которых совпадают. Исследована классическая эллиптическая модель Руйсенарса-ван Диена, связанная с системой корней BC₁ с 8 независимыми константами связи. А именно, предложено её описание через пару классических алгебр Склянина типа BC₁, порождённых (классическим) квадратичным уравнением отражения с нединамической r-матрицей типа XYZ. Посредством калибровочного преобразования типа IRF-Vertex установлена взаимосвязь между данной системой и гиростатом Жуковского-Вольтерра, пуассонова структура которого определяется BC1 версией алгебры Склянина. Данная взаимосвязь заключается в представлении матрицы Лакса системы Руйсенарса-ван Диена в виде произведения двух матриц Лакса гиростатов Жуковского-Вольтерра, определённых на одном фазовом пространстве, но зависящих от различных параметров. Кроме того, получено описание исследуемой модели в терминах стандартной алгебры Склянина. Также в случае 7 независимых параметров показано, что гамильтониан BC₁ модели Руйсенарса-ван Диена может быть получена из трансфер-матрицы для классической XYZ цепочки из 1-го спина с границами. Предложено R-матричное обобщение пары Лакса для эллиптической модели Калоджеро-Иноземцева типа BCn. Для этого построено обобщение ассоциативного уравнения Янга-Бакстера типа B, на случай с зависимостью от спектральных параметров и постоянной Планка. Общая конструкция описана в терминах эллиптического R-оператора Шибукавы-Уэно и K-операторов Комори-Хиками, удовлетворяющих уравнению отражения. С помощью процедуры Фельдера-Паскье показано, что конструкция работает и в векторном представлении, а именно, для квантовой эллиптической 8-вершинной R-матрицы Бакстера и соответствующих эллиптических операторов отражения. В этом случае R-матричное представление Лакса позволяет построить новую анизотропную спиновую цепочку с дальнодействием.

Публикации

1. Аталиков К.Р., Зотов А.В. Field Generalization of Elliptic Calogero-Moser System in the Form of Higher Rank Landau-Lifshitz Model Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, ЖЭТФ, 2025, том 168, вып. 4 (10), стр. 476–484 (год публикации - 2025)
10.7868/S3034641X25100036

2. Потапов Р.А., Зотов А.В. Large N limit of spectral duality in classical integrable systems The European Physical Journal C, The European Physical Journal C, Volume 85, article number 1331, (2025) (год публикации - 2025)
10.1140/epjc/s10052-025-15070-4

3. Славнов Н.А. Перекрытия векторов Бете в модели одномерных бозонов Теоретическая и математическая физика, Теоретическая и математическая физика, 2025, том 225, номер 2, страницы 320–333 (год публикации - 2025)
10.4213/tmf11032

4. Аяно Т., Бухштабер В.М. Sigma Function Associated with a Hyperelliptic Curve with Two Points at Infinity Regular and Chaotic Dynamics (год публикации - 2026)
10.1134/S1560354725540020

5. Зотов А.В. Двумерные классические интегрируемые теории поля, полученные из систем Хитчина на SL(NM,C) -расслоениях с нетривиальными характеристическими классами Труды Математического института имени В. А. Стеклова (год публикации - 2025)

6. Мостовский А.М., Зотов А.В. Классическая эллиптическая модель Руйсенарса-ван Диена ${\rm BC}_1$ типа: связь с гиростатом Жуковского-Вольтерра и классической XYZ моделью на одном узле с границей Теоретическая и математическая физика (год публикации - 2026)