КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-11-00214
НазваниеГомологические, гомотопические и симплектические методы в некоммутативной алгебраической геометрии и зеркальной симметрии
Руководитель Тюрин Николай Андреевич, д-р физ.-мат. наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва
Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-106 - Алгебраическая геометрия
Ключевые слова Дифференциально-градуированные категории и алгебры, лагранжевы подмногообразия, дериваторные оснащения, некоммутативные разрешения, стабильные оснащенные категории.
Код ГРНТИ27.17.33
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Алгебраическая геометрия в современной математике занимает одно из центральных мест. Она тесно связана сразу с несколькими смежными областями математики и математической физики, в которых успешно используются мощные алгебро-геометрические методы, и которые, в свою очередь, обогащают алгебраическую геометрию новыми подходами и идеями. И в практических применениях теоретической математики именно алгебраическая геометрия часто играет ключевую роль (например, это так в криптографии, а также в технологиях помехоустойчивого кодирования и обработки больших массивов данных).
Некоммутативная алгебраическая геометрия -- самый новый, и самый активный раздел алгебраической геометрии. Как выяснилось в последние 10-20 лет, на удивление многие свойства алгебраических многообразий и их инварианты зависят только от подлежащего некоммутативного многообразия, понимаемого как производная категория когерентных пучков. При этом для ряда ключевых вопросов алгебраической геометрии, включая многие гипотезы мотивного типа, именно некоммутативная общность является естественной, и именно некоммутативные методы выглядят наиболее перспективными.
Второй источник некоммутативной геометрии как предмета -- геометрия симплектическая, в которой некоммутативные многообразия возникают как категории Фукая и их обобщения. Гипотетически, некоммутативные многообразия алгебро-геометрического и симплектического происхождения связаны зеркальной симметрией, пришедшей из математической физики. Гипотеза эта в полной общности до сих пор открыта. Однако вне зависимости от нее, и те, и другие многообразия корректно определены, и могут быть исследованы одними и теми же методами.
Цель нашего проекта -- изучение некоммутативной алгебраической геометрии, причем именно тех ее вопросов, которые представляются наиболее актуальными и важными в настоящий момент и в ближайшей перспективе. Работа будет проводиться в трех основных направлениях, тесно связанных между собой.
Во-первых, в рамках обычного "гомологического" подхода к некоммутативной геометрии, некоммутативные многообразия снабжаются ДГ-оснащениями, т.е. понимаются как ДГ-категории. В этом контексте, мы будем изучать конструкции, позволяющие строить новые ДГ-категории из уже имеющихся. В первую очередь это конструкция склейки, но более интересна совершенно новая конструкция скрученного тензорного произведения, которую мы подробно исследуем. Также мы подробно изучим т.н. "фантомные" категории, т.е. нетривиальные ДГ-категории с тривиальными аддитивными инвариантами, причем как абстрактно, так и геометрически, как допустимые подкатегории в производных категориях. Кроме того, будут изучены некоммутативные разрешения коммутативных алгебраических многообразий.
Во-вторых, значительная часть работы будет посвящена симплектической геометрии, и конкретнее, лагранжевым подмногообразиям в комплексных грассманианах (которые появляются как обьекты категории Фукая). Главная цель здесь -- построение неабелевой ларганжевой алгебраической геометрии, как обобщения абелевой версии этой науки, построенной ранее.
Наконец, зачастую гомологических оснащений недостаточно, и требуется гомотопическая версия некоммутативной геометрии. Здесь имеется недавно построенная техника дериваторных оснащений, весьма гибкая, мощная и удобная для практических применений. Третья основная цель проекта -- перенесение техники дериваторных гомотопических оснащений на стабильный случай, и создание на этом языке базового инструментария некоммутативной геометрии.
Наш коллектив состоит из признанных мировых лидеров в некоммутативной геометрии -- в частности, двое из его членов в свое время докладывали свое видение этой науки на Международном Математическом Конгрессе -- но включает в себя и весьма сильных молодых участников. У нас нет никаких сомнений в том, что успешная реализация нашего проекта и полученные нами результаты определят развитие некоммутативной алгебраической геометрии на годы вперед.
Ожидаемые результаты
В результате успешного выполнения проекта будут получены следующие результаты:
1. Будут построены примеры скрученных тензорных произведений ДГ-категорий, и доказаны достаточные условия гомологической гладкости таких произведений. С помощью построенной техники, будут также даны новые примеры и серии примеров некоммутативных разрешений.
2. Будут построены, впервые в мировой практике, примеры некоммутативных многообразий Фано, которые не являются деформациями коммутативных. Будут построены t-структуры на этих некоммутативных многообразиях, а также партнеры Крулля-Шмидта для гладких коммутативных многообразий.
3. Будет дано описание фантомных категорий во внутренних терминах, и получены примеры таких категорий и их геометрических реализаций. Будут вычисленности размерности Серра и Рукье для таких категорий.
4. Будет доказано, что в производной категории некоммутативной проективной плоскости фантомных подкатегорий нет.
5. Будут построены существенно новые примеры лагранжевых подмногообразий в грассманиане Gr(r, n), не сводящиеся к известным примерам торов Чеканова и Миронова. Для этого будут найдены торические листы действия T^k кэлеровыми изометриями на Gr(r, n), как это было ранее сделано в рамках абелевой лагранжевой алгебраической геометрии в случае r=1. Будут построены редуцированные симплектические многообразия для T^k-действия для всех k = 1, ..., n.
6. Будут построены и исследованы конечномерные пространства деформаций (гамильтоновых или лагранжевых) новых лагранжевых подмногообразий, допускаемых для выполнения специальных условий типа специального условия Бора-Зоммерфельда.
7. Будет дано неабелево обобщение Абелевой Лагранжевой Алгебраической Геометрии (АЛАГ). Для достаточно широкого класса проективных многообразий будут построены примеры соответствий "голоморфное расслоение - лагранжево подмногообразие". Будет также выяснен вклад построенных нами новых лагранжевых многообразий в асимпотитики решений уравнений математической физики.
8. Будет построена 2-категория комплексов длины 2 для данной абелевой категории.
9. Будет дана полная классификация расширений с квадратом 0 для локально представимых абелевых категорий, в терминах естественного обобщения когомологий Хохшильда, причем как линейных над полем, так и абсолютных.
10. В рамках теории дериваторных оснащений, будет построена теория стабильных оснащенных категорий, и доказаны базовые структурные теоремы. В частности, будет доказано, что категория, допускающая стабильное оснащение, естественным обраом триангулирована, и доказана стабильная оснащенная версия теоремы локализации Вердье. Будут также доказаны результаты, для неоснащенных триангулированных категорий неверные: склейка стабильных категорий стабильна, категория стабильных функторов стабильна, категория стабильных категорий симметрическая моноидальная (в оснащенном смысле). Наконец, будет построен функтор стабилизации из всех оснащенных категорий в стабильные, и дана конструкция стабильной гомотопической категории в терминах полиномиальных функторов на категории векторных пространств.
11. Будут построены гомологии и когомологии Хохшильда стабильных оснащенных категорий, со всеми высшими структурами на них, и построена инфинитеземальная теория деформаций стабильных оснащенных категорий.
Все эти результаты находятся на переднем крае мировой науки, а многие из них существенно опережают текущий мировой уровень.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1. Построены новые примеры лагранжевых подмногообразий в грассманиане Gr(r, n). Доказано, что все новые примеры являются гамильтоново минимальными относительно стандартной метрики, индуцируемой вложением Плюккера. Найден новый метод построения лагранжевых подмногообразий в алгебраических многообразиях, получивший название метода кэлерова потенциала. В качестве первых примеров эффективности этого метода построены новые примеры лагранжевых подмногообразий в прямых произведениях проективных пространств. Обобщена конструкция Д. Быкова вложения многообразия флагов как лагранжева подмногообразия в прямое произведение проективных пространств. Методом кэлерова потенциала построено гладкое лагранжево вложение группы U(r+1) в грассманиан Gr(r, n). Доказано, что данное лагранжево вложение является бор-зоммерфельдовым относительно антиканонического класса грассманиана Gr(n-1, 2n-1). Используя этот факт, доказано что данное вложение является минимальным. Найдено семейство обильных дивизоров в грассманиане Gr(r, n), которые порождают лагранжевы погружения, гомеоморфные главным U(r+1)-расслоениям над вещественноыми частями грассманианов Gr(r, n-r). Введено понятие лагранжевой простоты для алгебраических многообразий, и сформулирована гипотеза о том, что многообразие Грассмана Gr(r, n) является лагранжево простым.
2. Введены и описаны новые семейства как гладких алгебр, так и гладких ДГ алгебр с двумя простыми модулями. Показано, что все подобные ДГ алгебры могут быть получены последовательностью скрученных тензорных произведений элементарных гладких алгебр. Как приложение данных результатов, построены некоммутативные кривые, которые представляют из себя гладкие некоммутативные разрешения особых рациональных кривых и оказываются минимальным в том смысле, что полная К-теория изоморфна прямой сумме двух копий К-теории базового поля. Показано, что для собственной ДГ алгебры, если фактор по нильпотентному идеалу -- гладкая ДГ адгебра и совершенная как правый модуль, то и изначальная ДГ алгебра гладкая. Также доказано, что на гомотопическом уровне данная теорема может быть обращена, и мы получаем, что из гладкости изначальной ДГ алгебры следует гладкость фактор-алгебры при условии ее совершенности как правого модуля.
3. Для любой абелевой категории A построена 2-категория расширений, обьекты которой суть комплексы в A, сосредоточенные в гомологических степенях 0 и 1, а категории морфизмов суть фундаментальные группоиды гомотопических типов оснащенных морфизмов в производной категории. Даны две конструкции 2-категории расширений -- прямая, использующая соответствие Дольда-Кана и представление групп Ext по Йонеде, и более абстрактная, основанная на дериваторном оснащении производной категории. Доказано, что обе конструкции эквивалентны.
4. Введено понятие расширения абелевых категорий с квадратом ноль, определяемого как полное строгое вложение абелевых категорий, при котором любой обьект обьемлющей категории имеет фильтрацию длины не более 2, присоединенные градуированные факторы которой лежат в образе вложения. Для расширений с квадратом 0 абелевых категорий Гротендика построено касательное пространство, получаемое как композиция вложения и первого производного от сопряженного к нему справа функтора. Также построен класс Кодаиры-Спенсера вложения. Затем очевидным образом определена 2-категория расширений с квадратом 0, и доказана классификационная теорема: 2-категория расширений с квадратом ноль абелевой категории Гротендика, причем таких, что касательное пространство коммутирует с фильтрованными копределами -- такие расширения называются "ограниченными" -- эквивалентна 2-категории расширений тождественного эндофунктора с помощью касательного пространства. Тем самым, в частности, доказано, что ограниченные расширения с квадратом 0 полностью характеризуются своим касательным пространством и классом Кодаиры-Спенсера.
Публикации
1.
Тюрин Н.А.
Ample Divisors and Lagrangian Submanifolds
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2025, Volume 329, Pages 217–231 (год публикации - 2025)
10.1134/S0081543825600735