КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-11-00251
НазваниеВероятностные и комбинаторные задачи алгебры и топологии
Руководитель Малютин Андрей Валерьевич, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук , г Санкт-Петербург
Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-110 - Теория вероятностей и математическая статистика
Ключевые слова граф, случайное блуждание, эргодическая теория, инвариантная мера, квантование, группа, полугруппа, группа кос, узел, зацепление, тэнгл, многообразие, граница, абсолют
Код ГРНТИ27.00.00
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект нацелен на систематическое исследование свойств и характеристик графов и градуированных графов, естественным образом возникающих в алгебре, топологии и комбинаторике: графы Кэли счетных групп и полугрупп; гордиевы графы узлов, зацеплений и тэнглов; графы Юнга и Юнга-Фибоначчи.
В рамках настоящего проекта предполагается получить продвижения в понимании глобальной и локальной структуры, статистических и асимптотических характеристик таких графов с точки зрения теории вероятностей и стохастических процессов:
нас интересуют формулы и оценки для логарифмических объемов и числа путей, описание инвариантных мер на пространствах путей, описание гармонических функционалов и границ случайных блужданий.
Первоочередное внимание в ходе реализации проекта предполагается уделить графам Юнга и Юнга-Фибоначчи, гордиевым графам и графам Дена, графам Кэли топологических групп, включая группы кос Артина, модулярные группы (группы классов отображений) многообразий, подгруппы групп автогомеоморфизмов топологических пространств малой размерности (одномерные многообразия, дендроны, дендриты), графам родственных им групп: (цветные) локально свободные группы и их подгруппы, группа Гейзенберга.
Значительная часть проекта посвящена развитию идей Анатолия Моисеевича Вершика (1933-2024) по тематике границ групп и градуированных графов, в частности, работ, выполненных в коллективе в рамках проектов 14-11-00581 "Асимптотическая теория градуированных комбинаторных структур и ее приложения"; 21-11-00152 "Инвариантные меры в динамике, теории представлений и комбинаторике".
Среди новых поднаправлений проекта упомянем планирующееся детальное изучение новых неожиданных эффектов, обнаруженных недавно участниками проекта в ходе моделирования случайных блужданий в группах автоморфизмов пространств малой размерности. Также планируется изучить и экстраполировать на объемлющие полугруппы новые недавно построенные почти инъективные отображения из графов Кэли обобщенных локально свободных полугрупп в графы узлов и зацеплений.
Продвижения в указанных направлениях важны как для топологии, комбинаторики и алгебры, так и для теории вероятностей, теории динамических систем, эргодической теории. С одной стороны, совокупность результатов и данных, полученных с применением новых подходов и методов, позволяет по-новому взглянуть на классические объекты топологии и комбинаторики и ведет к новому пониманию свойств этих объектов, новым аспектам теории и новым задачам. С другой стороны, применение имеющихся наработанных методов к нестандартным для этих методов объектам дает обратную связь и обогащает исходную теорию модификациями и совершенствованием подходов. Актуальность изучения структуры и свойств графов и групп указанных классов обуславливается важностью их положения в современной науке, огромным числом связей между этими графами и объектами, относящимися к различным областям математики.
Ожидаемые результаты
Приведем примеры ожидаемых результатов.
Планируется продолжить разработку теории границ случайных блужданий в группах и полугруппах, градуированных графах. В частности, планируется получить описание границ случайных блужданий для новых классов групп, близких к группам кос Артина и группе Гейзенберга, группам автогомеоморфизмов топологических пространств.
Планируется перенести ряд результатов о графе Юнга на случай графа Юнга-Фибоначчи: эргодичность списка центральных мер, неразрешимость теории графа как частично упорядоченного множества.
Планируется доказать серию теорем об аналогах целочисленного квантования при случайных блужданиях в группах автогомеоморфизмов топологических пространств.
Планируется построить серию регулярных вложений рекордной плотности полугрупп цветных груд с образующими разных весов в графы узлов.
Планируется получить новые рекордные верхние и нижние оценки на скорости роста числа узлов некоторых типов по отношению к различным мерам сложности.
Планируется доказать ряд свойств группы автоморфизмов полугруппы струнных зацеплений.
Планируется доказать серию теорем о структурных свойствах гордиевых графов преобразований узлов. Планируется описать ряд естественных геометрических свойств гордиева графа преобразования переключения перекрёстков в духе работ Хирасавы — Учиды и Баадера. В частности, планируется дать ответ на вопрос Хирасавы — Учиды о достраивании любого полного подграфа в гордиевом графе до бесконечного полного подграфа.
Ожидаемые результаты новы и соответствуют мировому уровню. Они представляют значимость для развития топологии, комбинаторики, теории динамических систем, теории вероятностей. В дальнейшем полученные результаты могут быть включены в курсы, читаемые на математических факультетах ведущих университетов страны.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Продолжено изучение численных характеристик локально свободных и близких к ним групп и полугрупп (истоки этого направления лежат в работах А.М.Вершика). Изучались группы и полугруппы взвешенных цветных груд, а также обобщающие их бесконечно порожденные полугруппы предпучков линейных порядков над симплициальными комплексами. Построены семейства вложений полугрупп взвешенных цветных груд в пространство примарных бесфлайповых уникурсальных плоских кривых, которые в композиции с вложением Тэйта-Менэско дают вложения первых в пространство простых альтернированных узлов. Получены рекордные нижние оценки на логарифмические объемы полугрупп взвешенных цветных груд соответствующих специальных классов, что дает рекордные нижние оценки на асимптотику числа уникурсальных плоских кривых, а также на асимптотику числа примарных бесфлайповых уникурсальных плоских кривых и на асимптотику числа изотопических классов узлов с заданным числом перекрестков. Для получения нижних оценок на число изотопических классов узлов разработан и реализован алгоритм перечисления классов флайп-эквивалентности кривых с заданным числом двойных точек.
Исследовались случайные блуждания в конечно порожденных группах, действующих на сферах автогомеоморфизмами, случайные блуждания в конечно порожденных подгруппах групп автогомеоморфизмов и автодиффеоморфизмов сфер, случайные блуждания в группах кос Артина и обобщениях этих групп, включая группы классов отображений поверхностей с непустым краем, а также случайные блуждания в конечно порожденных левоупорядочиваемых группах и циклически упорядочиваемых группах. Установлено наличие аналогов эффекта квантования для случайных блужданий в специальных подгруппах групп автогомеоморфизмов сфер. Найден ряд достаточных условий, при выполнении которых функционал на группе, действующей на сфере автогомеоморфизмами, проявляет эффект квантования при случайном блуждании в группе. Доказана теорема о целочисленном квантовании числа вращения в группах кос: для почти всякой траектории всякого невырожденного случайного блуждания в группе кос Артина (индекса по меньшей мере 3) доля элементов с целым числом вращения на начальных участках траектории случайного блуждания стремится к единице с увеличением длины участка.
В рамках исследования поведения гордиевых графов преобразований узлов на бесконечности удалось установить, что гордиев граф переключения перекрёстков является одноконцовым в смысле Жиса — Гамбаду. Кроме того, в данном графе обнаружен регулярный геометрический паттерн: пересечение единичных окрестностей двух произвольных вершин в этом графе либо содержит бесконечный полный подграф, либо является пустым.
В рамках поднаправления, ориентированного на исследование автоморфизмов струнных зацеплений, получено описание геометрических конструкций автоморфизмов групп изотопических классов крашеных кос, задающих преобразования моноидов струнных зацеплений. Доказана серия утверждений, обосновывающих то, что построенные преобразования задают автоморфизмы моноидов. В частности, доказана теорема о деформации цилиндра в полуцилиндр за счёт «выворачивания» дополняющей цилиндр области в трёхмерной сфере.
Доказано, что для любого узла K выполняется неравенство cr_2(K) < 0.31 * 1.557^{cr(K)}, где cr_2(K) – минимальное число перекрестков среди всех полумеандрических диаграмм узла K, а cr(K) – минимальное число перекрестков среди всех диаграмм узла K. Предложен более эффективный алгоритм построения полумеандрической диаграммы узла из заданной диаграммы того же узла. Для виртуальных узлов установлено, что как полумеандрические, так и меандрические диаграммы образуют универсальные классы: каждый виртуальный узел имеет диаграмму соответствующего вида. Кроме того доказано, что если виртуальный узел представлен диаграммой с n классическими перекрестками, то существует полумеандрическая диаграмма с числом перекрестков не более \sqrt{3}^n. Введено новое семейство инвариантов – виртуальные k-дуговые числа перекрестков, и показано, что для классических узлов они совпадают с ранее изучавшимися классическими k-дуговыми числами перекрестков. Наконец, получено общее неравенство, связывающее виртуальные k- и (k+1)-дуговые числа перекрестков.
Показано, что набор старших членов всех базисов Грёбнера полиномиального идеала полностью определен множеством многомерных диаграмм Юнга в решетке мономов, размерность пересечения линейной оболочки которых с самим идеалом равна 1. В качестве следствия этого факта получена тропическая интерпретация 1-эквивалентности идеалов в терминах совпадения объединений граней конусов соответствующих вееров Грёбнера, являющихся тропическими многообразиями.
Описана граница Мартина r-дифференциального графа Юнга—Фибоначчи и доказана эргодичность всех составляющих её мер.