КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-11-00269
НазваниеТеория и методы решения задач динамики управляемых систем
Руководитель Гомоюнов Михаил Игоревич, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им.Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук , Свердловская обл
Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления
Ключевые слова Нелинейные системы, управление, множество достижимости, численные методы, оптимальное управление, дифференциальные игры, функция цены, уравнение Гамильтона – Якоби, обобщенное решение, позиционные стратегии, системы с запаздыванием, импульсное управление, бесконечный горизонт, невыпуклые множества.
Код ГРНТИ27.37.17
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект лежит в русле математической теории управления и посвящен теоретическому анализу ряда актуальных задач динамики нелинейных управляемых систем и разработке новых методов приближенного построения их решений. Большинство из рассматриваемых в проекте задач формулируется в достаточно общей постановке, охватывающей многие конкретные прикладные задачи из механики, экологии, медицины, экономики и пр.
Изучаемые в проекте задачи управления осложнены, в частности, такими факторами, как неконтролируемые динамические помехи и параметрическая неопределенность, наследственная (бесконечномерная) природа системы, негладкость функции оптимального результата (функции цены), невыпуклость множества достижимости и целевого множества, большая размерность задачи с точки зрения реализации соответствующих численных методов, импульсный характер управляющих воздействий, бесконечный промежуток управления. Присутствие данных факторов, а также необходимость создания адекватного математического аппарата и эффективных методов построения решений обуславливают актуальность и новизну планируемых в проекте исследований.
Работа по проекту будет проводиться по следующим взаимосвязанным направлениям:
• Теория обобщенных решений наследственных уравнений Гамильтона – Якоби, включая приложения к исследованию задач управления наследственными динамическими системами.
• Исследование геометрических свойств и разработка методов построения множеств достижимости управляемых нелинейных динамических систем при геометрических ограничениях на управление. В том числе, будут предложены процедуры конструирования программных управлений, обеспечивающих наведение управляемой системы на целевое множество в фиксированный момент времени.
• Разработка методов аппроксимации множеств достижимости нелинейных импульсных систем при помощи множеств достижимости систем с интегральными ограничениями на управления, а также развитие соответствующих методов для систем с комбинированными ограничениями на управление.
• Задачи сближения в фиксированный момент времени для управляемых систем, содержащих неопределенный постоянный параметр. В частности, будут созданы новые алгоритмы восстановления неопределённого постоянного параметра, основанные на идеях линейной интерполяции, и получена оценка погрешности этих алгоритмов.
• Краевые задачи Дирихле для уравнений Гамильтона – Якоби и отвечающие им задачи управления по быстродействию. Будет изучен класс краевых задач Дирихле для уравнений Гамильтона – Якоби, в которых краевое множество невыпуклое, а его граница может иметь переменную гладкость, включая кусочно-гладкий случай. Планируется рассмотреть задачи на плоскости и в трехмерном фазовом пространстве.
• Минимаксные игровые задачи о сближении конфликтно управляемых систем с геометрическими ограничениями на управления и с фиксированным моментом окончания. Будут предложены и обоснованы методы приближённого конструирования множеств разрешимости, а также позиционные процедуры управления, обеспечивающие сближение конфликтно управляемых систем с целевыми множествами с достаточной степенью точности.
• Задачи оптимального управления на бесконечном промежутке времени, возникающие при моделировании процессов развития в различных прикладных областях. Для задач с фазовыми ограничениями будут предложены новые формулировки и их интерпретация в рамках теории надежности, рассмотрены частные решения, удовлетворяющие исходной постановке, а также приведены результаты численных экспериментов и их сравнение с оптимальными и/или асимптотическими решениями для тех случаев, когда они известны.
Ожидаемые результаты
В рамках проекта предполагается провести комплексное исследование ряда современных задач динамики управляемых систем. Задачи формулируются, как правило, в достаточно общей постановке, охватывающей широкий круг конкретных задач, возникающих в приложениях. Сложность рассматриваемых задач и, в частности, нелинейная динамика систем не предполагают, вообще говоря, аналитического описания их решений. Поэтому проект нацелен не только на получение фундаментальных теоретических результатов, но также и на разработку методов и алгоритмов приближённого вычисления решений, что составляет важную отличительную черту проекта. В частности, созданные в ходе выполнения работ по проекту новые алгоритмы планируется применить для исследования конкретных прикладных задач из механики, экологии, медицины, экономики.
Постановки задач проекта, а также предлагаемые подходы и методы их исследования полностью соответствуют современному мировому уровню исследований в области математической теории управления. Предполагается, что полученные в рамках проекта результаты внесут существенный вклад в развитие этого направления. В частности, представляется, что разработанные в проекте алгоритмы решения имеют перспективы в применении к задачам управления нелинейными динамическими системами в различных прикладных областях.
Задачи управления, изучаемые в проекте, объединяет общность постановок, методов теоретического анализа и подходов к разработке алгоритмов приближенного построения решений. В ходе работ по проекту планируется получить следующие научные результаты.
Будут рассмотрены наследственные уравнения Гамильтона – Якоби, возникающие в задачах оптимального управления и в дифференциальных играх для наследственных динамических систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего и нейтрального типов, а также дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка. Наследственные уравнения Гамильтона – Якоби стали изучаться относительно недавно и сейчас активно исследуются в литературе. Несмотря на это, многие из фундаментальных результатов теории обобщенных (минимаксных, вязкостных) решений задач Коши для таких уравнений получены лишь при весьма стеснительных предположениях. Работы по проекту будут направлены на ослабление этих предположений (в том числе, планируется охватить случай лишь измеримого по временной переменной гамильтониана) и доказательство теорем о корректности обобщенных решений, более общих по сравнению с известными. Полученные результаты будут применены для доказательства новых теорем о существовании цены в дифференциальных играх для наследственных динамических систем при ослабленных предположениях.
В области задач управления нелинейными динамическими системами в конечномерных евклидовых пространствах и на конечном промежутке времени, стеснёнными геометрическими ограничениями, предполагается провести исследование геометрических свойств множеств достижимости управляемых систем и разработать методы и алгоритмы приближённого вычисления множеств достижимости и интегральных воронок в задачах наведения на компактные целевые множества в фазовом пространстве. На основе этих методов и алгоритмов будут предложены процедуры конструирования программных управлений, обеспечивающих наведение управляемой системы на целевое множество в фиксированный момент времени. Хотя данная тематика является в некоторой степени классической, она остается актуальной и по сей день, так как в отечественной и зарубежной литературе отсутствуют универсальные методы и алгоритмы, позволяющие решать задачи большой размерности. В частности, в рамках проекта планируется провести широкомасштабное моделирование упомянутых задач управления на примерах механических систем достаточно высокой размерности (5-6).
Развитие теории импульсного оптимального управления не в последнюю очередь обусловлено необходимостью расширения вариационных задач, не имеющих решения в классе стандартных управлений, на задачи, обладающие решениями в классе импульсных управлений. При исследовании проблемы достижимости представляется естественным аппроксимировать множества достижимости импульсных систем множествами достижимости в классах обычных управлений. Вопрос состоит в том, какие классы аппроксимирующих управлений выбирать с точки зрения качества аппроксимации и удобства применения в численных алгоритмах. В этой связи перспективными представляются управления из пространств Лебега с показателем суммируемости, близким к единице или к бесконечности (в случае систем, содержащих комбинированные управления). В проекте планируется доказательство теорем об аппроксимации множеств достижимости, получение оценок точности и исследование свойств границы аппроксимирующих множеств достижимости, а также разработка численных методов их построения.
Будут изучены задачи сближения в фиксированный момент времени для управляемых систем, содержащих неопределённый постоянный параметр. Ситуация, когда в управляемой системе присутствует параметрическая неопределенность, является типичной в прикладных задачах, но не охватывается в полной мере современной математической теорией управления. В рамках данного направления будут предложены новые алгоритмы восстановления неопределённого постоянного параметра (скалярного или векторного), основанные на идеях линейной интерполяции, и получена оценка погрешности этих алгоритмов. Будут предложены процедуры конструирования программного управления, обеспечивающего приведение движения управляемой системы на целевое множество из начальных позиций, содержащихся во множестве разрешимости задачи. Результаты будут проиллюстрированы на конкретных примерах.
Планируется изучить класс краевых задач Дирихле для уравнений Гамильтона – Якоби, в которых краевое множество невыпуклое, а его граница может иметь переменную гладкость, включая кусочно-гладкий случай. Обобщенное (минимаксное) решение для этого типа уравнений совпадает с функцией оптимального результата соответствующей задачи управления по быстродействию с простой динамикой. Решение не является всюду дифференцируемой функцией, его построение как в аналитической, так и в аппроксимационной форме представляет несомненный научный интерес. Планируется рассмотреть задачи на плоскости и в трехмерном фазовом пространстве. Будет рассмотрен случай невыпуклого краевого множества, граница которого имеет особые точки (псевдовершины) с разрывами производных k-го порядка (k=1,2,3,….) от координатных функций. Будут разработаны теоретические методы выявления сингулярных множеств и построения решений в аналитической форме (в частности, в терминах атласов как конечных совокупностей карт). Будут созданы и доведены до численных реализаций вычислительные алгоритмы построения решений и их визуализации. Актуальность задач обусловлена сферой приложения их решений в механике и процессах управления движением. Кроме того, разрабатываемые теоретические и вычислительные алгоритмы приложимы в смежных отраслях знания, например, в геометрической оптике при построении обобщенного эйконала (случай постоянного коэффициента среды), в негладком анализе – при построении евклидова расстояния до замкнутого невыпуклого множества. С точки зрения развития теории научная значимость определяется созданием новых аналитических методов выявления сингулярных множеств у решений краевых задач; методы базируются на свойствах различных обобщений понятия выпуклого множества. Будут привлечены конструкции теории альфа-множеств, а также оболочки Ефимова – Стечкина. С точки зрения численных алгоритмов значимость заключается в разработке новых корректных вычислительных процедур построения аппроксимаций решений рассматриваемых задач и их визуализации.
В рамках тематики дифференциальных игр предполагается развитие метода унификации Н.Н. Красовского на минимаксные игровые задачи о сближении конфликтно управляемых систем с геометрическими ограничениями на управление и с фиксированным моментом окончания. Особенность этих задач в том, что в них не предполагается выполнение так называемого условия существования седловой точки в маленькой игре. Будут предложены методы приближённого конструирования множеств разрешимости в этих задачах, а также позиционные процедуры управления, обеспечивающие сближение конфликтно управляемых систем с целевыми множествами с достаточной степенью точности. Эти методы приближённого конструирования множеств разрешимости основаны на привлечении нового понятия минимаксного u-стабильного тракта, введённого участниками проекта. Будет проведено обоснование корректности этих методов, а также проведено моделирование минимаксных игровых задач о сближении на конкретных динамических системах, в том числе и механических. Тематика минимаксных игровых задач является весьма актуальной, поскольку в её сферу подпадают многочисленные задачи с нелинейными конфликтно управляемыми системами. Проведённые исследования минимаксных игровых задач сближения с фиксированным моментом окончания имеют хорошую перспективу их распространения в дальнейшем на более значимые для приложений игровые задачи о сближении на конечном промежутке времени.
Задачи управления на бесконечном промежутке времени при наличии фазовых ограничений, как и модели роста, составляющие основу этих задач, в ряде случаев можно интерпретировать с позиций теории надежности, используя вероятностные характеристики исследуемых факторов. Проводимая аналогия между модельными переменными и показателями надежности дает возможность строить частные решения поставленных задач, удовлетворяющие не только начальным и фазовым условиям, но и тем требованиям к асимптотическому поведению траекторий, которые возникают при исследовании задачи в рамках принципа максимума Понтрягина. Речь, в частности, идет о сходимости решений к стационарной точке гамильтоновой системы и/или сближении их с устойчивым многообразием, которое строится по собственным векторам гамильтоновой системы, отвечающим собственным значениям с отрицательной действительной частью, вычисленным для матрицы Якоби гамильтоновой системы в стационарной точке. Таким образом, предлагаемые частные решения могут рассматриваться как субоптимальные траектории и нести новые интерпретации в исследуемые задачи. Более того, используя вероятностные характеристики, можно сформулировать новые критерии качества для синтезируемого управляемого процесса, что приводит к свежим постановкам задач.