КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-11-00302
НазваниеКорни Демазюра и корневые подгруппы
Руководитель Аржанцев Иван Владимирович, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва
Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-106 - Алгебраическая геометрия
Ключевые слова алгебраическое многообразие, алгебраическая группа, группа автоморфизмов, корень Демазюра, корневая подгруппа, альтернатива Титса, группа Каца-Муди
Код ГРНТИ27.17.33
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Хорошо известно, что любая связная линейная алгебраическая группа порождается своим максимальным тором T и однопараметрическими аддитивными подгруппами, нормализуемыми тором T. Такие подгруппы называют корневыми. Проект посвящен обобщению классической теории линейных алгебраических групп на случай групп автоморфизмов, порожденных корневыми подгруппами. Мы планируем развить структурную теорию для этого класса групп и доказать вариант известной альтернативы Титса: группа автоморфизмов, порожденная корневыми подгруппами, либо является унипотентной линейной алгебраической группой, либо содержит некоммутативную свободную подгруппу. Полученные результаты будут использованы для изучения геометрии алгебраических многообразий в терминах их групп симметрий.
Мы разовьем комбинаторное описание корневых подгрупп в терминах корней Демазюра, что послужит обобщением классической теории систем корней. Для этого будет использована техника колец Кокса и классификация локально нильпотентных дифференцирований градуированных аффинных алгебр. В качестве приложения мы опишем орбиты группы автоморфизмов для классов многообразий, обобщающих торические многообразия, и получим классификационные результаты о многообразиях с большими группами симметрий.
Исследование групп автоморфизмов алгебраических многообразий, порожденных корневыми подгруппами, представляет значительный интерес как для теории групп, так и для алгебраической геометрии. В первом случае мы планируем получить ряд результатов о структуре подгрупп, минимальных представлениях элементов через заданную систему образующих и переносе разложений линейных алгебраических групп в полупрямые произведения определенного вида на случай бесконечномерных групп указанного типа. Во втором случае важно отметить, что группа автоморфизмов по построению действует на алгебраическом многообразии, и нас будет интересовать геометрия такого действия.
Ожидаемые результаты
Планируется изучить структуру множества корней Демазюра, а также её связь со структурой группы автоморфизмов торических многообразий и их обобщений. Мы планируем найти критерий конечности числа корней, комбинаторные критерии разрешимости и редуктивности группы автоморфизмов, а также доказать обобщение свойства лучезарности. Для этого мы определим разбиение множества корней Демазюра на классы, установим взаимосвязь между свойствами элементов разных классов, найдем удобные упорядочения корней в пределах класса и продолжим изучение вопроса о том, насколько структура группы автоморфизмов, порожденной корневыми подгруппами, определяется структурой классов корней Демазюра. Также планируется получить комбинаторное описание множества однородных локально нильпотентных дифференцирований градуированных алгебр для случая градуировок сложности один, который приводит к триномиальным алгебрам, и для градуировок большей сложности.
Планируется получить результаты об ограниченной и неограниченной порождаемости групп автоморфизмов корневыми подгруппами. Результаты последних лет об ограниченной порождаемости для линейных групп послужат основой для развития новой техники изучения групп автоморфизмов. Мы будем работать над доказательством аналога альтернативы Титса для групп, порожденных двумя G_a-подгруппами, а затем перейдем к случаю произвольного конечного набора G_a-подгрупп. Ключевую роль в доказательстве должно играть отсутствие свойства локальной конечности на алгебре функций для соответствующих автоморфизмов.
Планируется проверить гипотезу о том, что G_a-подгруппа принадлежит замыканию подгруппы, порожденной набором G_a-подгрупп, в том и только в том случае, когда соответствующее локально нильпотентное дифференцирование лежит в алгебре Ли, порожденной касательными дифференцированиями порождающих подгрупп.
Мы изучим нормализатор и централизатор максимального тора в группе автоморфизмов, порождённой корневыми подгруппами. Классическая теория групп Вейля систем корней получит здесь обобщение на бесконечномерный случай.
Мы получим конструктивное описание полных торических многообразий, для которых дополнение к открытой орбите группы автоморфизмов не содержит дивизоров, а также описание полных торических многообразий, для которых группа автоморфизмов транзитивна на множестве гладких точек. Ожидаются классификационные результаты в малых размерностях и при ограничениях на число Пикара многообразия. Например, в размерности не выше трех будет представлен полный список (семейств) таких многообразий. Также будет дано обобщение этих результатов на многообразия, близкие к торическим.
Планируется исследовать гипотезу о том, что для любого гибкого аффинного многообразия X найдется такой конечный набор G_a-подгрупп, что группа, порожденная этим набором, бесконечно транзитивна на множестве гладких точек. Будет получено описание действий группы SL(2) на многообразиях в терминах действия тора и пары согласованных корневых подгрупп c использованием техники колец Кокса.
В рамках изучения B-корневых подгрупп на аффинных и полных сферических и орисферических многообразиях планируется изучать подгруппы группы автоморфизмов, порожденные B-корневыми подгруппами, и орбиты таких групп на рассматриваемых многообразиях при различных ограничениях на многообразия. Также, применяя конструкцию Кокса, мы планируем свести задачу описания B-корневых подгрупп на полных сферических многообразиях к случаю аффинных сферических многообразий. Для аффинных и полных сферических или орисферических многообразий X планируется найти критерии, когда две орбиты действующей группы G попадают в одну орбиту группы Aut(X).
Планируется получить стратификацию касательного пространства T_p(F) к многообразию флагов группы Каца-Муди касательными конусами C_w к подмногообразиям Шуберта. Мы планируем доказать, что для некоторых классов элементов группы Вейля (в первую очередь, для инволюций) многочлены Костанта-Кумара не могут совпасть.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Наш проект посвящён нескольким группам задач. В первую очередь он связан с изучением групп автоморфизмов аффинных алгебраических многообразий, порождённых набором корневых подгрупп, то есть аддитивных однопараметрических подгрупп в некоторой линейной алгебраической группе, нормализуемых максимальным тором этой группы. С этим связана также задача изучения множества однородных локально нильпотентных дифференцирований градуированных алгебр. Мы занимаемся также более общей задачей изучения групп автоморфизмов аффинных алгебраических многообразий, которые, как правило, являются не алгебраическими, а инд-группами. Мы развиваем их структурную теорию, в частности, исследуем вопрос о классификации их борелевских подгрупп. Кроме того, мы развиваем теорию бесконечномерных многообразий флагов F = G/B, где G ─ группа Каца-Муди, а B ─ её борелевская подгруппа. В рамках проекта мы занимаемся задачами, связанными с устройством касательных конусов C(w) для различных элементов w группы Вейля G. При работе используется техника с вычислением многочленов Костанта-Кумара.
В текущем отчётном периоде были подготовлены и отправлены в журналы две статьи. Обе работы опубликованы в архиве Корнельского университета (arxiv.org).
В рамках работ по проекту в статье
[1] Ivan Arzhantsev and Mikhail Zaidenberg. Borel subgroups of the automorphism groups of affine toric surfaces. https://arxiv.org/abs/2507.09679, 36 pages
получены следующие результаты. Изучены группы автоморфизмов аффинных торических поверхностей вида X_{d,e}, получаемых как фактор аффинной плоскости A^2 по циклической подгруппе, действующей на аффинной плоскости по правилу (x, y) → (r^ex, ry), где r ─ примитивный корень степени d из единицы. Доказано следующее утверждение: если e^2 сравнимо с единицей по модулю d, то все борелевские подгруппы в группе автоморфизмов Aut(X_{d,e}) сопряжены, а иначе есть два класса сопряжённости борелевских подгрупп.
Далее, в работе
[2] Ivan Arzhantsev and Mikhail Zaidenberg. Borel subalgebras of Lie algebras of vector fields. https://arxiv.org/abs/2510.17223, 25 pages
изучены борелевские подалгебры в алгебре Ли группы автоморфизмов Aut(X) произвольного аффинного алгебраического многообразия X. В качестве одного из результатов работы показано, что, вообще говоря, нет взаимно-однозначного соответствия между борелевскими подгруппами группы инд-группы Aut(X) и борелевскими подалгебрами в её алгебре Ли ─ в качестве соответствующего контрпримера доказано, что подалгебра Ли треугольных дифференцирований алгебры K[x,y,z] не максимальна среди всех разрешимых подалгебр алгебры Ли группы автоморфизмов Aut(A^3). Вторым результатом работы является доказательство утверждения, что аналогичное естественное взаимно-однозначное соответствие есть между борелевскими подгруппами в Aut(X) и так называемыми интегрируемыми борелевскими подалгебрами в её алгебре Ли.
В рамках работы по проекту были также получены следующие результаты. Для любого полного тороидального орисферического G-многообразия получено полное описание всех B-корневых подгрупп ─ при условии, что система корней группы G имеет простые связи (то есть для типов A,D,E). Для многообразий указанного вида вычислены коммутационные соотношения между простыми G-модулями в алгебре Ли группы автоморфизмов многообразия X. В явном виде найдено описание разложения Леви для связной компоненты единицы группы автоморфизмов. Получен ряд результатов о централизаторах и нормализаторах максимальных торов в группах автоморфизмов аффинных многообразий специального типа. Получены явные формулы для локально нильпотентных дифференцирований триномиальных алгебр, которые однородны относительно наиболее тонкой градуировки свободной абелевой группой, и в качестве следствия доказан критерий полужёсткости триномиальной алгебры. Для одного из двух типов триномиальных алгебр дано новое доказательство критерия жесткости, ранее полученного С.А. Гайфуллиным. В рамках изучения альтернативы Титса получены первые достаточные условия свободности подгруппы, порожденной двумя элементами из двух G_a-подгрупп группы автоморфизмов аффинного многообразия. Изучены касательные конусы к подмногообразиям Шуберта. Для аффинных инволюций в группах типа A(3) и A(4) были вычислены соответствующие многочлены Костанта-Кумара и доказано, что они не могут совпасть. Как следствие, получается, что для разных аффинных инволюций v, w в этих группах касательные конусы C(v) и C(w) не могут совпасть, как и предполагалось. В настоящее время идёт работа над текстами статей, в которых будет рассказано о перечисленных результатах.
Кроме того, изучались G_a-подгруппы на орисферических многообразиях. Удалось описать орбиты группы автоморфизмов для аффинных орисферических многообразий с действующей группой SL_2 × T, где T — алгебраический тор. Исследовались максимально разрешимые подалгебры алгебры g = Lie(Aut(A^2)) = Vec^c(A^2), то есть алгебры векторных полей на плоскости с постоянной дивергенцией. Изучалась комбинаторная структура множества корней Демазюра и её связь с группой автоморфизмов, порождённой корневыми подгруппами. Получены частичные результаты для описания степеней локально нильпотентных дифференцирований нормального орисферического многообразия.