КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 25-11-00304

НазваниеИзбранные задачи спектральной теории общих и дифференциальных операторов и ее приложений

Руководитель Шкаликов Андрей Андреевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №104 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова Асимптотики решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с коэффициентами-распределениями. Мультипликаторы в пространствах Соболева. Квазиклассические приближения. Обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений. Операторы Штурма-Лиувилля, Шредингера, Дирака, Орра-Зоммерфельда. Спектральная теория сингулярной струны. Аппроксимации в пространствах Лебега. Точные оценки промежуточных производных в пространствах Соболева. Базисы Рисса. Фреймы.

Код ГРНТИ27.39.00

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Проект ставит целью решение нескольких актуальных задач в теории дифференциальных и общих операторов и смежных проблем. Эти задачи принадлежат широкому спектру проблем современного функционального анализа и теории дифференциальных уравнений, но все они тесно связаны между собой и в совокупности представляют цельное, масштабное и перспективное исследование. В проекте можно выделить три блока исследований. Первый, основной блок связан с исследованиями обыкновенных дифференциальных операторов (ОДО), порожденных дифференциальными выражениями как второго, так и высших порядков, а также системами первого порядка. Этот блок включает в себя 12 тем, многие из которых можно рассматривать, как достаточно широкие направления в современной спектральной теории ОДО. Перечислим эти темы. 1) На основе новых результатов по асимптотической теории для систем ОДУ с большим параметром будет проведена классификация краевых задач или операторов, порожденных этими системами. Будут исследованы спектральные свойства операторов выделенных классов. 2) Используя результаты, полученные для систем первого порядка, будут изучены скалярные ОДО высших порядков с коэффициентами-распределениями в общей форме, определенной ранее в работах К.А.Мирзоева и А.А.Шкаликова. 3) Будет предпринято построение асимптотической теории для скалярных уравнений высших порядков с коэффициентами-распределениями на оси или полуоси при стремлении независимой переменной к \pm\infty. Содержание этой теории в корне отличается от асимптотической теории по спектральному параметру. 4) Будут исследованы обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений в новой постановке, а также обратная задача Штурма-Лиувилля, но с нестандартными спектральными данными. 5) Будут проведены исследования по отысканию точных констант в оценках промежуточных производных для функций на конечном интервале, а также по нахождению точных констант вложения в пространствах Соболева. В этой трудной теме, благодаря новым методам, имеется возможность получить существенные продвижения. 6) Будет предпринято изучение спектральных портретов несамосопряженных уравнений Штурма--Лиувилля и более общих уравнений при стремлении к нулю параметра при старшей производной (квази-классическое приближение). . 7) Будут изучены операторы Штурма-Лиувилля самосопряженные в пространстве Крейна (пространстве с индефинитной метрикой). Такие операторы порождаются так называемыми РТ-симметрическими потенциалами, вызвавших большой интерес физиков. 8) Будет проведено исследование трудной задачи о дискретности спектра несамосопряженного оператора Шредингера и более общих операторов. 9) Будет предпринято изучение спектральной задачи для фрактальной сингулярной струны с весом, порожденным обобщенными производными функций из семейства Такаги-Ландсберга. 10) Будут изучены ОДО высших порядков с краевыми условиями линейно зависящими от спектрального параметра. Будет проведена классификация таких операторов и изучены свойства их корневых функций. 11) Будут изучены операторы, порожденные дифференциальными выражениями с операторами инволюции или разностными операторами. 12) Будут даны приложения спектральной теории ОДО к теории чисел (будет дано решение давней задачи Рамануджана-Лемера). Второй блок исследований связан со спектральными задачами для уравнений в частных производных. Здесь мы выделяем для исследования важную задачу об описании пространства мультипликаторов, действующих в пространствах бесселевых потенциалов. Третий блок исследований относится к общей теории операторов в гильбертовом пространстве. Здесь мы выделяем две темы. 1) Задача о сохранении свойства базисности корневых векторов самосопряженных операторов, возмущенных несимметрическими подчиненными операторами. 2) Исследование устойчивости или нахождение индекса неустойчивости для механических систем, описываемых операторными уравнениями второго порядка.

Ожидаемые результаты
Согласно списку тем, представленных в аннотации проекта мы планируем получить следующие результаты. 1) Будет проведена классификация краевых задач и операторов, порожденных системами ОДУ. Эта классификация будет проведена на основе недавно полученных авторами проекта асимптотических представлений по спектральному параметру фундаментальных решений систем ОДУ. Будут определены системы, которые назовем гиперболическими и эллиптическими. Для таких систем мы определим классы регулярных, усиленно регулярных, почти регулярных и нормальных задач (или операторов). Для регулярных задач будут доказаны теоремы о безусловной базисности их корневых функций, для почти регулярных теоремы о сходимости спектральных разложений, а для нормальных задач теоремы о полноте корневых функций. 2) Для скалярных ОДО с коэффициентами-распределениями, определенных в форме Мирзоева-Шкаликова, будет проведена классификация с выделением регулярных, почти регулярных и нормальных операторов. Для регулярных операторов будет доказана теорема о безусловной базисности корневых функций. Это трудный результат, имеющий длинную историю, который вызревал долгие годы. Его доказательство использует новые представления для резольвенты соответствующих операторов. Для операторов других классов будут получены теоремы о полноте корневых функций. 3) Имеется большое число работ, посвященных исследованию асимптотического поведения решений ОДУ на оси или полуоси. Это совсем другая асимптотическая теория, нежели асимптотическая теория по большому спектральному параметру. Наиболее тонкие известные результаты об асимптотиках для ОДУ при x\to \pm \infty получены для разных частных случаев уравнений с быстро осциллирующим коэффициентами. Рассматриваемая К.А.Мирзоевым и А.А.Шкаликовым задача об асимптотиках для уравнений с коэффициентами-распределениями охватывает не только случаи быстро осциллирующих коэффициентов, но и случаи коэффициентов с особенностями. Будут выделены несколько типов уравнений, для решений которых будут получены асимптотические формулы. Эти результаты будут существенно более общими, нежели известные ранее результаты Э.Ч.Тичмарша, В.Н.Эверита М.Ф.Федорюка и многих других. Результаты будут применены для определения индексов дефекта симметрических операторов на оси и полуоси. 4) Будет поставлена новая обратная задача для интегро-дифференциального уравнения (уравнения Штурма-Лиувилля с последействием). А именно, будет дано первое решение задачи восстановления одновременно потенциала уравнения и ядра интегрального оператора по трем спектрам соответствующего уравнения. Мы дадим на первом этапе только локальное решение этой задачи «в малом» (то есть, при достаточно малых нормах потенциала и ядра) , но уверенны, что результаты вызовут значительный интерес специалистов и задача в дальнейшем будет атакована многими математиками. Глобальное решение этой задачи представляется очень трудным. Здесь имеется аналогия с задачей миллениума (также нелинейной) --- проблемой Навье-Стокса. Решение «в малом» имеется, но неясно, имеется ли оно глобально. Будет рассмотрена и обычная обратная задача Штурма-Лиувилля, но с нестандартными спектральными данными. 5) Будет получено точное описание функций A_{n,k,\infty}(x), возникающих при получении наилучших оценок для промежуточных производных в пространствах Соболева в равномерной норме (0<k<n-1). Будут исследованы свойства локальных экстремумов функций A_{n,k,\infty}(x). Нахождение глобального максимума этих функций является важной задачей, поскольку именно глобальный максимум определяет точные значения констант вложения в соответствующих пространствах Соболева. Будет выявлена связь задачи о наилучших оценках промежуточных производных в указанных пространствах с наилучшими приближениями сплайнов специального вида многочленами степени не выше n в норме двойственного пространства. Тем самым, решение задачи о наилучших оценках промежуточных производных в пространствах Соболева окажется эквивалентной задаче теории аппроксимаций, которая имеет многочисленные приложения и имеет длинную историю изучения. Будет найдено наилучшее приближение многочленами в норме L_1[0;1] сплайна \chi_{[0;a]}(x-a)^{n-k-1}/(n-k-1)!. Точные оценки промежуточных производных в пространствах Соболева W^n_\infty[0;1] зависят от краевых условий, которым подчинены функции этого пространства. Будут получены результаты, проясняющие эту связь. 6) Будет проведено описание спектральных портретов несамосопряженных уравнений Штурма-- Лиувилля и более общих уравнений при стремлении к нулю параметра при старшей производной (квази-классическое приближение). Этой задачей занимались члены коллектива А.А.Шкаликов и С.Н.Туманов, по существу они были родоначальниками этого нового направления. Сейчас эти результаты будут обновлены с учетом вышедших в последние годы новых работ. 7) Операторы Штурма-Лиувилля и Шредингера с РТ-симметрическими потенциалами появились в работах физиков по «несамосопряженной квантовой механике». Операторы, возникающие в таких задачах являются самосопряженными в пространстве с индефинитной метрикой и могут иметь невещественный спектр. Мы найдем условия, гарантирующие отсутствие невещественного спектра (это важный для физиков результат). Кроме того, мы детально изучим модельную РТ--симметричную задачу с потенциалом функцией Эйри. 8) Задача об условиях дискретности спектра оператора Шредингера на всей оси или полуоси давняя и не исследована до конца даже для вещественных локально суммируемых потенциалов, несмотря на усилия многих известных математиков. С.Н.Туманов планирует изучение этой задачи для комплексных потенциалов-распределений, являющихся обобщенными производными из L_{2,loc}. Будут найдены достаточные условия на потенциал такого типа, обеспечивающие секториальность соответствующих операторов и в этом классе потенциалов будет найден критерий (необходимое и достаточное условие) компактности резольвенты и, как следствие, критерий дискретности спектра. 9) Будут получены результаты о характере спектра задачи для сингулярной струны с весом, порожденным обобщенными производными функций из семейства Такаги-Ландсберга. Особенность этой задачи заключается в том, что функции из указанного семейства аффинно самоподобны, но матрицы самоподобия не диагональны, а нижнетреугольны. Ранее такие задачи не исследовались. Ранее участники проекта, а также математики из группы Х.Трибеля (P.Arzt, U.Freiberg, D.Haroske и др.) детально исследовали асимптотику спектра для уравнения струны с самоподобными весами только с диагональными матрицами. 10) Планируется новый подход к изучению краевых задач для ОДУ с линейной зависимостью граничных условий от спектрального параметра. А именно, их линеаризация будет проведена не в исходном пространстве L_2, а в пространствах Соболева с различным индексом гладкости. Будут выделен класс регулярных задач, для которых будет доказано, что система их корневых функций образует фрейм в соответствующем соболевском пространстве и будет вычислен индекс этого фрейма (равный дефекту минимальности системы). Будут найдены условия на индекс гладкости соболевского пространства, при которых индекс фрейма равен нулю, то есть, система корневых функций образует безусловный базис или базис Рисса. 11) Дифференциальные операторы с инволюцией стали изучаться сравнительно недавно, но имеется достаточно много публикаций по этой теме, в основном для частных случаев. Нам будет интересен случай переменных коэффициентов в главном символе оператора. В этом случае мы выделим класс граничных условий для которых соответствующие операторы будут спектральными по Данфорду. 12) Будут получены неожиданные приложения теории ОДО к теории чисел. Еще Рамануджаном и Лемером были получены рекуррентные соотношения для чисел Бернулли и Эйлера с пропусками длины 2, 4, 6 и 8. Задача о рекуррентных соотношениях с пропусками длины большей 10 оставалась с 1934 года нерешенной. С помощью представлений для функции Грина ОДО с постоянными коэффициентами будут получены рекуррентные соотношения с пропусками произвольной четной длины, причем не только для чисел Бернулли и Эйлера, но и для многочленов Бернулли и Эйлера. 13) В работах А.А.Шкаликова и его учеников М.Неймана-заде и А.А.Беляева было установлено, что корректное определение оператора Шредингера в размерности d>1 может быть дано для потенциалов, являющимися мультипликаторами из пространства бесселевых потенциалов H_2^1 в пространство H_2^{-1} с негативным индексом гладкости. Этими авторами, а позже В.Г.Мазьей и Т.Шапошниковой, были инициированы исследования по описанию мультипликаторов из пространств бесселевых потенциалов с положительным индексом гладкости в такие пространства с отрицательным индексом гладкости. Для таких пространств мультипликаторов были установлены теоремы вложения в терминах самих пространств бесселевых потенциалов H_p^s. Эти теоремы вложения были только односторонними. Сейчас мы ожидаем получить двусторонние теоремы вложения с оценкой норм и доказать, что эти двусторонние вложения точны. 14) Задача о сохранении свойства полноты или базисности корневых векторов самосопряженных операторов с дискретным спектром, возмущенных несимметрическими операторами, возникла в работе М.В.Кедыша в 1951 года. Этой темой многие известные математики, из последних работ отметим работы Б.С.Митягина и П.Зигла. А.А.Шкаликовым была получена общая теорема о сохранении базисных свойств корневых функций самосопряженных операторов, возмущенных локально р-подчиненным (p<1). Эта теорема была получена при условии несгущаемости спектра исходного невозмущенного оператора, что эквивалентно отсутствию больших кластеров --- участков высокой концентрации спектра. Это условие выполняется для ОДО, но для операторов с частными производными, оно, как правило, нарушается, даже для оператора Лапласа. Однако мы найдем общее достаточное условие для сохранения свойства базисности. Но это свойство сохранится в ослабленной форме: базис может оказаться не безусловным, а обычным базисом Шаудера. 15) Будет исследована задача об асимптотическом поведении собственных значений по большому \параметру \omega для квадратичного пучка операторов A+\lambda \omega B +\lambda^2 C, где A и C знакоопределенные матрицы, а B --- кососимметрическая матрица. Эта задача возникает в теории гироскопической стабилизации. Известно (теорема Кельвина-Четаева), что система становится устойчивой при больших \omega в случае матрицы B полного ранга. В 2005 году академик В.В.Козлов и А.А.Карапетян, используя трудоемкий метод форм Вильямсона, показали, что если ядро матрицы B одномерно, то гироскопическая стабилизация не достижима. Мы докажем, что в случае, когда размерность ядра матрицы B равна s, индекс неустойчивости задачи равен в точности s. Это содержит теорему Козлова-Карапетяна для случая s=1. Более того, мы покажем, что асимптотическое поведение собственных значений пучка полностью определяется собственными значениями трех линейных пучков A+\lambda B, B+\lambda C и A +\lambda С. Ранее динамика собственных значений по параметру для таких задач не изучалась.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---