Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Наша задача на отчетный период состояла в получении списка интегрируемых трехмерных нелинейных цепочек вида u_{n+1,x}^{j}=F(u_{n,x}^{j}, u_{n+1}^{j}, u_{n}^{j}, u_{n-1}^{j}, u_{n+1}^{j+1}, u_{n}^{j-1}), называемых цепочками типа полудискретной цепочки Тоды, на основе списка, полученного А.Б. Шабатом и Р.И. Ямиловым в рамках симметрийного подхода в работе [A. B. Shabat, R. I. Yamilov, “To a transformation theory of two-dimensional integrable systems”, Phys. Lett., A, 227:1–2 (1997), 15–23], посредством алгоритма дискретизации, разработанного нами в рамках выполнения настоящего проекта. Список Шабата-Ямилова интегрируемых нелинейных цепочек типа цепочки Тоды, по-видимому, является исчерпывающим. Список состоит из следующих шести уравнений: E_1) u_{n,xy} = e^{u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1} }, E_2) u_{n,xy} = e^{u_{n+1}} - 2 e^{u_n} + e^{u_{n-1}}, E_3) u_{n,xy} = e^{u_{n+1}-{u_n}} - e^{u_n-u_{n-1}}, E_4) u_{n,xy} = (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1}) u_{n,x}, E_5) u_{n,xy} = (e^{u_{n+1}-{u_n}} - e^{u_n-u_{n-1}})u_{n,x}, E_6) u_{n,xy}=\alpha_nu_{n,x}u_{n,y}, \alpha_n = \frac{1}{u_n - u_{n-1}} - \frac{1}{u_{n+1}-u_n}. Из наших работ [I. Habibullin, “Characteristic Lie rings, finitely-generated modules and integrability conditions for (2+ 1)-dimensional lattices”, Physica Scripta, 87:6 (2013), 065005], [ I. T. Habibullin, M. N. Kuznetsova, “A classification algorithm for integrable two-dimensional lattices via Lie–Rinehart algebras”, Theoret. and Math. Phys., 203:1 (2020), 569–581], [ M. N. Kuznetsova, I. T. Habibullin, A. R. Khakimova, “On the problem of classifying integrable chains with three independent variables”, Theoret. and Math. Phys., 215:2 (2023), 667–690] следует, что все интегрируемые цепочки типа Тоды и все известные интегрируемые уравнения типа полудискретной цепочки Тоды обладают следующей важной характерной особенностью. Любое уравнение каждого из этих классов допускает конечно-полевую редукцию произвольного порядка в виде интегрируемой в смысле Дарбу системы дифференциальных уравнений (в случае цепочек типа Тоды), либо дифференциально-разностных уравнений (в случае цепочек типа полудискретной цепочки Тоды). Здесь интегрируемость системы в смысле Дарбу означает, что система допускает полные наборы независимых характеристических интегралов по обоим характеристическим направлениям. Эти редукции получаются из заданной цепочки путем наложения специальных условий обрыва в двух целочисленных точках по выбранному дискретному переменному $n$. Отметим, что эти специальные условия обрыва для заданной цепочки определяются единственным образом. Интересный факт, установленный в процессе выполнения проекта состоит в том, что существует весьма тесная связь между двумя рассматриваемыми классами уравнений. Обсудим, как по заданной цепочке типа Тоды получить цепочку типа полудискретной цепочки Тоды. Сначала мы строим конечно-полевую редукцию этой цепочки в виде системы дифференциальных уравнений, интегрируемой в смысле Дарбу. Отметим, что результат дискретизации не зависит от порядка редуцированной системы, поэтому здесь достаточно использовать систему из трех уравнений. Далее мы находим полный набор независимых характеристических $x$--интегралов ($y$--интегралов) конечно-полевой системы. Затем мы предполагаем, что функция u=u(n,x,y) зависит от еще одной дискретной переменной $j$: u=u^j(n,x,y) и ищем дифференциально-разностную систему уравнений, для которой построенный выше набор интегралов также образует полный набор характеристических интегралов уже по дискретному направлению $j$. Эта задача эффективно решается. Замечательно, что по этой дифференциально-разностной системе однозначным образом определяется полудискретная цепочка нужного типа, для которой эта система является конечно-полевой редукцией. В рамках проекта, пользуясь описанным выше алгоритмом найдены дискретизации всех интегрируемых уравнений типа цепочки Тоды из списка Шабата-Ямилова (см. список выше E_1-E_6). Полученный список имеет вид L_1) u_{n,x}^{j+1}=u^j_{n,x}+e^{u^j_n-u^{j+1}_{n-1}}-e^{u_{n+1}^j-u_n^{j+1}}; L_2) u_{n,x}^{j+1}=u_{n,x}^j-e^{u_{n-1}^{j+1}-u_n^j}+e^{u_{n}^{j+1}-u_{n+1}^j}-e^{u_{n-1}^{j+1}-u_n^{j+1}}+e^{u_{n}^j-u_{n+1}^j}; L_3) u_{n,x}^{j+1}=u_{n,x}^j\frac{(u_n^{j+1}\right)^2}{u_{n+1}^ju_{n-1}^{j+1}}; L_4) u_{n,x}^{j+1}=u_{n,x}^j\frac{u_{n+1}^j-u_n^{j+1}}{u_n^j-u_{n-1}^{j+1}}; L_5) u_{n,x}^{j+1}=u_{n,x}^j\frac{u_n^{j+1}(u_n^{j+1}-u_{n+1}^j)}{u_{n+1}^j(u_{n-1}^{j+1}-u_n^j)}; L_6) u^{j+1}_{n,x}=u^j_{n,x}\frac{(u^{j+1}_{n}-u^{j+1}_{n-1})(u^{j+1}_{n}-u^{j}_{n+1})}{(u^{j}_{n+1}-u^{j}_{n})(u^{j+1}_{n-1}-u^{j}_{n})}; L_7) u^{j+1}_{n,x}=u^j_{n,x}+e^{u_{n-1}^{j+1}-u_n^{j+1}-u^j_n+u_{n+1}^j}; L_8) u_{n,x}^{j+1}=u_{n,x}^{j}+e^{u_{n+1}^{j}}+e^{u_{n-1}^{j+1}}-e^{u_{n}^{j+1}}-e^{u_{n}^{j}}; L_9) u_{n,x}^{j+1}=u_{n,x}^j+(u_n^{j+1}-u_n^j)(u_n^{j+1}+u_n^j-u_{n-1}^{j+1}-u_{n+1}^j). Cписок содержит все ранее известные интегрируемые уравнения этого класса. В рамках проекта для цепочек (L_1)--(L_9) предъявлены пары Лакса, некоторые из них, ранее не были известны. По итогам исследования написаны две статьи, одна из которых опубликована (см. [I. T. Habibullin, A. R. Khakimova, “Nonlinear integrable lattices with three independent variables”, Уфимск. матем. журн., 17:2 (2025), 108–122]), другая направлена в журнал (см. [И.Т. Хабибуллин, А.Р. Хакимова, "Интегрируемые дискретные системы", 2025, принята к публикации в журнал Математический сборник]).