Аннотация результатов, полученных в 2025 году
При выполнении проекта на данном этапе были получены следующие результаты: 1) Для полицилиндрической области Ω в C^N получено интегральное представление линейных непрерывных операторов в пространстве H(Ω) всех функций, голоморфных в Ω, перестановочных с системой D_0 операторов частного обратного сдвига. В терминах характеристической функции доказаны критерии обратимости оператора из коммутанта. 2) Доказано, что функция с разделяющимися переменными в этом пространстве является циклическим вектором системы D_0 тогда и только тогда, когда каждый множитель отличен от рациональной функции. Показано, что функция с разделяющимися переменными в пространстве целых функций экспоненциального типа, реализующем сильное сопряженное к H(Ω) посредством преобразования Лапласа, является циклическим вектором системы D_0 в нем в том и только в том случае, когда каждый множитель отличен от многочлена. 3) Изучены замкнутые инвариантные относительно системы D_0 подпространства H(Ω). Получены достаточные условия, при которых ядро оператора свертки, перестановочного с системой операторов частного обратного сдвига, допускает синтез, т.е. в нем полна система элементарных (многомерных) дробей, в нем содержащаяся. 4) Для выпуклой полицилиндрической области Ω, содержащей точку 0, доказан принцип двойственности: замкнутое подпространство соответствующего пространства целых функций экспоненциального типа является D_0-инвариантным тогда и только тогда, когда его поляра в H(Ω) является замкнутым идеалом относительно произведения Дюамеля, что равносильно ее J-инвариантности, где J - система операторов частного интегрирования. 5) Для полизвездной относительно точки 0 области Ω описан коммутант системы операторов интегрирования в алгебре всех линейных непрерывных операторов в H(Ω). Как и в одномерном случае, операторы из коммутанта являются операторами Дюамеля. Показано, что H(Ω) с произведением Дюамеля * является унитальной ассоциативной и коммутативной топологической алгеброй, топологически изоморфной коммутанту с умножением - композицией операторов и с топологией ограниченной сходимости. Доказан критерий *-обратимости функции из H(Ω) и соответствующего ей оператора свертки. В случае, когда область Ω дополнительно выпуклая, в двойственной ситуации пространства целых функций экспоненциального типа получен критерий обратимости оператора из коммутанта системы операторов частного обратного сдвига. 6) Изучены операторы адамаровского типа, действующие в пространствах голоморфных функций в ограниченной выпуклой области G комплексной плоскости полиномиального роста вблизи границы G и в пространствах голоморфных в G функций, бесконечно дифференцируемых на замыкании области G. Показано, что все адамаровские операторы в рассматриваемых пространствах представляются в виде мультипликативной свертки. Задающие их функционалов линейны и непрерывны на пространстве функций, голоморфных во внутренности соответствующего множества скалярных мультипликаторов и бесконечно дифференцируемых вплоть до его границы. Получено интегральное представление операторов адамаровского типа в данных пространствах. Исследована алгебра, образованная пространством, сопряженным к пространству функций, голоморфных функций на множестве мультипликаторов выпуклой ограниченной области G, содержащей 0, и бесконечно дифференцируемых на его замыкании, с мультипликативной сверткой. Показано, что она унитальная, ассоциативная и коммутативная и является топологической. 7) Изучены адамаровские операторы в пространствах функций, голоморфных в ограниченной выпуклой полной области Рейнхарта Ω с центром в точке 0. Рассмотрены три типа пространств: пространство H(Ω), пространство голоморфных в Ω функций полиномиального роста вблизи границы Ω и пространство голоморфных в Ω функций, бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы. Во всех трех случаях получено полное описание адамаровских операторов в соответствующем пространстве в виде мультипликативной свертки. 8) Изучены операторы Эйлера бесконечного порядка в пространстве H(Ω ) всех функций, голоморфных на открытом множестве Ω в C^N. В терминах их характеристических функций доказаны необходимые и достаточные условия для применимости данных операторов к H(Ω ). Изучена связь двух представлений оператора Эйлера, в которой существенную роль играют числа Стирлинга первого и второго рода. Она выражается с помощью ассоциированных функций, одна из которых является суммой интерполяционного ряда Ньютона. Показано, что всякая целая функция экспоненциального типа 0 в C^N раскладывается в многомерный интерполяционный ряд Ньютона. Доказан многомерный вариант теоремы Вигерта-Ло. Установлено, что в пространстве H(C^N) всех целых в C^N функций оператором Эйлера является любой оператор адамаровского типа в H(C^N).