Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Проведены научные исследования фундаментального характера нескольких актуальных экстремальных задач оптимального восстановления и наилучшего приближения операторов дифференцирования на классах гладких и голоморфных функций одного и нескольких переменных по неполной и\или приближенной информации о функциях. Основные полученные результаты следующие. 1. Получено полное точное решение задачи о наилучшем поточечном методе дифференцирования функции на оси по ее приближенным значениям на равномерной (фиксированной) сетке на классе функций с ограниченной производной второго порядка. Доказано, что наилучшим методом (методом с минимальной гарантированной погрешностью на классе) является разделенная разность по узлам сетки, выбранным по специальным явным формулам в зависимости от точки дифференцирования и погрешности задания функции на сетке. Получено точное неравенство колмогоровского типа, оценивающее производную функции в точке через $l^\infty$-норму ее значений на равномерной сетке и $L^\infty$-норму второй производной на оси. Экстремальными функциями являются специального вида сплайны, также зависящие от пары параметров - точки дифференцирования, погрешности задания функции на сетке. 2. Получено точное решение задачи оптимального восстановления частных производных ограниченной голоморфной в поликруге функции по приближенно заданным значениям функции на части остова для специального вида подмножеств остова. В общем случае, когда функция приближенно задана на произвольном подмножестве остова, получены двусторонние оценки погрешности оптимального восстановления частной производной и построено семейство методов вычисления частной производной, близких к наилучшему. 3. Сформулирована (новая) постановка задачи наилучшего одностороннего приближения оператора дифференцирования линейными ограниченными операторами на несимметричных классах функций на оси, определяемых знакочувствительной $L^\infty$-нормой старшей производной, согласованная (взаимосвязанная) с неравенством Хермандера-Колмогорова. Найдено точное решение задачи и линейный ограниченный оператор наилучшего приближения оператора дифференцирования на несимметричных классах функций на оси, определяемых знакочувствительной $L^\infty$-нормой второй производной. 4. Получено точное решение и наилучший метод в задаче оптимальной экстраполяции (оптимального восстановления) значения производной многочлена, приближенно заданного на лемнискате комплексной плоскости, в случае, когда лемниската является связной кривой. Для случая произвольной лемнискаты исследована асимптотика погрешности оптимальной экстраполяции, построен близкий к наилучшему метод вычисления производной. Получено взаимосвязанное с задачей неравенства Харди-Бернштейна. 5. Дано решение задачи о наилучшем приближении в равномерной норме на числовой оси операторов дифференцирования дробного (а точнее, вещественного) порядка $k$ линейными ограниченными операторами из пространства $L^2$ в пространство $C$ на классе функций, преобразование Фурье дробной производной порядка $n, 0 \le k < n,$ которых суммируемо. Приведено соответствующее точное неравенство Колмогорова. Получено решение задачи об оптимальном восстановлении оператора дифференцирования дробного порядка $k$ на функциях класса, заданных с известной погрешностью в пространстве $L^2.$