Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1) Известный алгоритм Евклида для двух заданных отрезков, длины которых выражаются натуральными числами, вычисляет для этих длин их наибольший общий делитель. Сам алгоритм состоит из серии последовательных делений с остатком сначала длин этих отрезков одного на другой, затем - меньшей из этих длин на первый остаток от деления, далее - деление с остатком этих двух остатков, и так далее. Варианты алгоритма Евклида различаются, в основном, по выбору способа получения остатка от деления - например, деление с остатком по избытку, либо по недостатку. Кроме того, существует так называемый быстрый алгоритм Евклида, связанный с делением на 2 для четных аргументов и с вычислением четной разности нечетных аргументов. В этом варианте алгоритма Евклида совсем нет делений с остатком. Вместо них используется вычитание, если оба текущих аргумента нечетны, или же деление на 2 того из аргументов, который четный. Если же четны оба из них, то оба они делятся на 2, причем текущее значение наибольшего общего делителя в этот момент удваивается. Было доказано, что число вычитаний, выполняемых этим алгоритмом в применении к паре двух чисел, не больше логарифма максимума из них, округленного до целого числа в большую сторону. К сожалению, этот результат уже был известен ранее: R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, Reading, MA, 1994. 2) Есть также алгоритм Евклида с минимальным по модулю остатком, который состоит в том, чтобы всякий раз деление с остатком происходило либо по избытку, либо по недостатку, так чтобы модуль этого остатка оказался наименьшим из всех возможных. Для этого алгоритма было доказано, что этот алгоритм не более чем вдвое короче обычного алгоритма Евклида, причем эта оценка достижима и достигается на паре (F_2n−1, F_2n), где Fn - число Фибоначчи (здесь F_0=0, F_1=1, и для всех натуральных k выполнено рекуррентное соотношение F_{k+1}=F_k+F_{k-1}). Также для этого алгоритма было получено, что его длина (количество делений с остатком) не превосходит натурального логарифма от некоторой константы, умноженной на минимум из двух аргументов алгоритма Евклида, деленного на натуральный логарифм суммы (√2 + 1). К сожалению, и эти результаты уже были известны ранее: A. DUPRE. Sur le nombre de divisions a effectuer pour obtenir le plus grand commun diviseur entre deux nombres entiers. // Journal de Mathematiques 11 (1846), 41-64. 3)Обобщения теоремы Бургейна-Конторовича, связанные с различными условиями, наложенными на неполные частные из середины и краев континуанты, получены были, даже в двух статьях. И. Д. Кан. Модулярные значения континуант с фиксированными краями. //МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Том 217, № 1, появится в ближайшее время в 2026 году. (эта статья была подана в журнал еще в 2024 году, но ее доработка велась в 2025) И. Д. Кан. Остатки континуант с большими фиксированными окончаниями. \\ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Появится в ближайшее время в 1 выпуске тома 60 за 2026 г Основные идеи метода, примененные здесь автором, заключаются в следующем. Сначала обобщается понятие ансамбля, введенное в рассмотрение в статье Бургейна и Конторовича J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba's conjecture. // Annals of Math., 180: pp. 137 --- 196, 2014. В рамках ансамбля и производятся в дальнейшем все вычисления. Другой стартовый момент рассуждений заключается в использовании известной связи континуант с цепными дробями и с матрицами. Далее, с помощью символа делимости Коробова, вводится тригонометрическая сумма по ансамблю. Такая сумма участвует в аналоге равенства Парсеваля (обобщение теоремы Пифагора на гильбертовы пространства функций), которое сводит процесс доказательства основных утверждений к оценке второго момента модуля тригонометрической суммы. Все эти приемы позволили осуществить продвижение в следующих вопросах. Рассмотрим множество всех конечных слов в конечном числовом алфавите. К каждому из этих слов добавим префикс и окончание - некоторые фиксированные конечные слова в этом алфавите. Полученные слова будем понимать как разложения в конечные цепные дроби для некоторых рациональных чисел из единичного отрезка числовой прямой. Далее рассмотрим несократимые знаменатели этих рациональных чисел; множество тех из этих знаменателей, которые не превосходят некоторой величины, представляющей собой растущий параметр), обозначим через D. Можно доказать, что при определенных условиях на исходные параметры для любого простого числа Q, пропорционального некоторой фиксированной дробной степени основного параметра N, множество D содержит почти все возможные вычеты по модулю Q и в остаточном слагаемом этой асимптотической формулы имеется степенное понижение по Q. Те же идеи позволяют продвинуться и в круге проблем, связанных с задачей Коробова. Пусть заданы натуральные параметры, которые взаимно просты в совокупности. Тогда через T обозначим количество остатков по Q линейной функции от решений линейного сравнения по отрезку в натуральных взаимно-простых переменных Y и y, при условии, что они лежат в заданном интервале, а дробь из y и Y имеет ограниченные неполные частные. Тогда можно установить асимптотику величины T. Отметим, что исходная задача без ограничения неполных частных была решена Коробовым. Н. М. Коробов. Тригонометрические суммы и их приложения. Москва. Гл. ред. физ.-мат. лит. 240 с. 1989. Дополнительно был также решен следующий список проблем. Был рассмотрен класс последовательностей, на элементах которых обобщаются свойства известных диофантовых уравнений, таких как неразрешимое уравнение из Великой теоремы Ферма или уравнение, связывающее длины сторон прямоугольного треугольника по теореме Пифагора. Для этих последовательностей были доказаны теоремы об их существовании или несуществовании, а также о свойствах делимости их элементов. Кан И. Д., Зверев Н. А., Давиденко Е. В. Последовательности со степенными свойствами .\\ Вестник государственного университета просвещения. Серия: физика-математика. Кроме того, был частично решен вопрос о количестве 2 х 2 матриц, подчиненных как модулярным, так и архимедовым ограничениям. Статья Кан И. Д. Количество матриц специального вида была послана в редакцию журнала "Математические заметки" (информация об этом событии имеется на сайте "Матнет"), но в данный момент она нуждается в доработке, так что будет по этой причине включена в план по проекту на следующий год. 4) Все полученные результаты были проверены на компьютере. На эту тему на семинаре "Современные проблемы теории чисел" под руководством Шкредова И. Д. и Конягина С. В. в институте МИАН имени Стеклова был сделан доклад "Обобщения теорем Ламе и Дюпре" 11.12.2025 (информация об этом событии имеется на сайте "Матнет").