Аннотация результатов, полученных в 2025 году
1) Пуcть X - алгебраическое многообразие с действием связной редуктивной группы G. В случае, когда X аффинно руководителем проекта Жгунов В.С. совместно Р.С.Авдеевым ранее был получен набор данных, включающий комбинаторные и непрерывные объекты, в терминах которых можно задать B-нормализуемое аддитивное действие единственным образом. Также в этой работе были получены достаточные условия на этот набор данных, при которых существует соответствующее аддитивное действие. Были получены результаты, позволяющие свести задачу описания B-нормализуемых действий на сферическом многообразии сводится к описанию аддитивных действий на аффинных сферических многообразиях. То есть утверждается, что для сферического многообразия с аддитивным B-нормализуемым действием, существует покрытие сферического многообразия квазипроективными сферическими многообразиями инвариантными относительно этого аддитивного действия. Более того B-нормализуемое действие для каждого элемента покрытия поднимается, до действия на аффинном конусе. Был получен набор комбинаторных и непрерывных данных в форме Жгуна -Авдеева описывающие аддитивные B-нормализуемые действия для серии примеров локально-нильпотентных дифференцирований (ЛНД) на аффинных орисферических многообразиях Авдеева-Аржанцева. Было показано, что векторные поля, соответствующие ЛНД Авдеева-Аржанцева касаются сечения Кнопа в случае аффинных орисферических многообразий. Для квази-аффинных сферических многообразий было доказано, что любая G-орбита Y, лежащая в множестве гладких точек, может быть сдвинута B-нормализуемым аддитивным действием в минимальную G-орбиту строго содержащую Y в своем замыкании. Также было показано, что только такие орбиты могут быть достигнуты с помощью B-нормализуемых аддитивных действий, в случае, если единственный подвижный дивизор относительно этого действия содержит Y. 2) В настоящем проекте было получено описание группы Пикара и описание конуса численно эффективных дивизоров в терминах двойственности Гейла, которая совершенно естественно возникает в контексте сферических многообразий. Указанные результаты были опубликованы в работе В.С.Жгуна “Двойственность Гейла и конус численно эффективных дивизоров на сферических многообразиях” Математические заметки Том 119 выпуск 1 январь 2026. 3) В рамках проекта была описана категория превратных пучков на произвольном гладком торическом многообразии. Методами теории спуска эта категория отождествляется с категорией модулей над алгеброй, являющейся конечным расширением групповой алгебры фундаментальной группы тора (Представления которой соответствуют локальным системам на открытой орбите многообразия.) Также был доказан аналогичный результат для эквивариантных превратных пучков. Также был доказан аналог теоремы А.Бейлинсона. Эта теорема заключается в том, что производная категория от категории превратных пучков эквивалентна производной категории конструктивных пучков, если стратификация многообразия не зафиксирована априори. Было показано, что утверждение теоремы остаётся верным и для фиксированной стратификации при некоторых условиях, которым удовлетворяет стратификация торического многообразия орбитами тора. В расширенной категории превратных пучков было определен и построен проективный генератор. Была описана схема вычисления этого объекта, получено явное описание проективного генератора как объекта производной категории пучков для случая гладкого многообразия, а также явно вычислен этот генератор для некоторых негладких торических многообразий. На основе этих результатов С.Гуминовым в текущем году была подготовлена и успешно защищена кандидатская диссертация. https://www.hse.ru/science/disscoun/council_math/announcements/1077701332.html Результаты были опубликованы в статье С. В. Гуминов, “Превратные пучки на гладких торических многообразиях и стеках”, Изв. РАН. Сер. матем., 89:5 (2025),  80–106. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=9687&option_lang=rus