КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-21-00819
НазваниеУстойчивость множеств решений операторных и дифференциальных включений, управляемых систем, экстремальных задач; приложения к нейронным системам
Руководитель Панасенко Елена Александровна, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина" , Тамбовская обл
Конкурс №118 - Конкурс на получение грантов РНФ по мероприятию «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» приоритетного направления деятельности Российского научного фонда «Поддержка проведения научных исследований и развития научных коллективов, занимающих лидирующие позиции в определенных областях науки»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления
Ключевые слова многозначный анализ, векторное метрическое пространство, упорядоченное пространство, дифференциальное включение, управляемая система, минимум функционала, корректность, нейронная система
Код ГРНТИ27.37.17
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Свойства решений уравнений, включений, экстремальных задач относятся к основным задачам математики, и в то же время, остро востребованы в ее приложениях. В частности, устойчивость решений уравнений к возмущениям входящих в них отображений определяет корректность применения уравнений к описанию различных процессов. Понятие корректности уравнений было введено в математику Ж. Адамаром и, в классическом смысле, означает существование единственного решения, непрерывно зависящего от всех параметров. Вопросам корректности и регуляризации некорректных задач посвящены работы А.Н. Колмогорова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, А.А. Самарского, А.Н. Тихонова, Э.И. Фредгольма, Ю.П. Шаудера и многих др. ученых. Эти вопросы по-прежнему актуальны в связи с новыми современными теоретическими и прикладными задачами.
Задачи многозначного и вариационного анализа, как правило, имеют неединственное решение, поэтому к ним неестественно и неэффективно применять классическое определение корректности. Для подобных задач в Проекте предлагается исследование устойчивости множества решений к изменениям определяющих задачу отображений. Вводится отображение, сопоставляющее наборам значений параметров множество решений. Исследуются непустота, ограниченность, оценки и порядковая структура значений такого многозначного отображения, а также его монотонность, полунепрерывность и непрерывность. Многие из этих вопросов до настоящего времени изучены фрагментарно, а, например, монотонная зависимость от параметра решений операторных включений в литературе не рассматривалась. В проекте перечисленные вопросы исследуются для включений и экстремальных задач не в «классических» метрических или, более того, нормированных пространствах, а в пространствах с обобщенными метриками или частичным порядком, поэтому многие стандартные методы к рассматриваемым задачам неприменимы. Исследование будет основано на развитии теории накрывающих отображений, обобщении условия Каристи, изучении и использовании топологических свойств рассматриваемых пространств.
На основании планируемых результатов об операторных включениях далее в Проекте будут рассмотрены неявные дифференциальные уравнения и включения с разрывными по фазовой переменной отображениями. Будут получены условия разрешимости двухточечной краевой задачи, непрерывной и монотонной зависимости множества решений от параметров и значений краевых условий. Эти результаты позволят рассмотреть краевую задачу для управляемой неявной дифференциальной системы с обратной связью по управлению при ограничениях на производную траектории. Для этой задачи будут получены условия существования решения, устойчивости множества решений, множества управляемости и множества достижимости к изменениям отображений, порождающих управляемую систему. Исследуемые в проекте неявные дифференциальные системы широко используются в математике и ее приложениях. Такими системами описывается динамика некоторых неголономных механических систем, электрических колебательных контуров, электромагнитных полей, фазового перехода в сверхпроводящее состояние, некоторых процессов термодинамики и др.
Результаты о включениях и управляемых системах будут применены к исследованию нейронных моделей типа Хопфилда и Амари электрической активности головного мозга. Соответствующие модельные дифференциальные уравнения содержат разрывные функции активации нейронов, что не позволяет воспользоваться результатами классического анализа непрерывных отображений метрических пространств, но разрабатываемые в Проекте методы оказываются эффективными. Планируется исследование зависимости решений краевых задач и задач управления для модельных уравнений от параметров нейронных систем. Ожидаемые в этом направлении результаты значимы для исследования режимов функционирования мозга. Также эти результаты могут быть востребованы для машинного обучения в системах искусственного интеллекта.
Ожидаемые результаты
В проекте рассматриваются некоторые фундаментальные задачи многозначного и вариационного анализа в пространствах с обобщенными метриками и в пространствах с частичным порядком. Такое распространение «классического» математического аппарата на более широкие, чем метрические и, тем более, нормированные пространства вызвано как естественным развитием математики, так и ее приложениями, необходимостью исследования существенно нелинейных процессов, описываемых сингулярными уравнениями, подверженных импульсным воздействиям и др. В направлении исследования фундаментальных задач анализа планируется получение следующих результатов.
Будут получены условия существования и оценки неподвижной точки отображения в себя f-квазиметрического пространства, а также утверждение о непрерывной зависимости неподвижной точки от параметра (элемента топологического пространства). Будут получены условия существования и оценки точек совпадения накрывающего и липшицева отображений, действующих в f-квазиметрических пространствах, а также утверждение об устойчивости множества точек совпадения к изменениям отображений.
Будет рассмотрено включение y \in F(x,x,p) с параметром p – элементом топологического пространства P и заданным y – элементом v-метрического пространства Y, относительно неизвестного x – элемента v-метрического пространства X. Под v-метрикой понимается функция расстояния, принимающая значения в конусе некоторого банахова пространства (для X в конусе E_+ пространства E, а для Y в конусе V_+\subset V). Будут определены условия существования решения этого включения для каждого значения параметра p. Будут исследованы свойства многозначного отображения, сопоставляющего каждому p\in P множество Sol(p)\subset X решений. Будет получена оценка отклонения относительно v-метрики множества Sol(p) от значений заданного отображения P\to X. Будут получено утверждение о полунепрерывности сверху, снизу и непрерывности многозначного отображения Sol:P\rightrightarrows X в заданной точке p_0. Относительно многозначного отображения F:X\times X\times P\rightrightarrows Y будет предполагаться, что оно K(p)-регулярное по первому и B(p)-лишицево по второму аргументу, а коэффициенты регулярности и липшицевости – линейные положительные отображения K(p):V_+\to E_+, B(p):E_+\to V_+ постоянны при всех p из окрестности точки p_0. Будет доказана теорема сравнения рассматриваемого включения с мажорантным уравнением f(t,t,p)=0, где f:E_+\times E_+\times P\to V. Согласно этой теореме будут также получены оценка отклонения (относительно v-метрики) множества Sol(p) от значений заданного отображения P\to X и условия полунепрерывности сверху, снизу и непрерывности многозначного отображения Sol:P\rightrightarrows X в заданной точке p_0. Как частные случаи этих утверждений будут получены условия непрерывной зависимости множеств неподвижных точек и точек совпадения многозначных отображений v-метрических пространств. Из перечисленных результатов в случае «обычных» метрических пространств X,Y будут выведены известные утверждения о непрерывной зависимости от параметра множества решений операторного включения (в частности, полученные в работах А.В. Арутюнова, Б.Д. Гельмана, Е.С. Жуковского, С.Е. Жуковского, О.Э. Зубелевича как распространения теоремы Канторовича). В случае, когда v-метрики принимают значения в конусе неотрицательных конечномерных векторов, из приведенных результатов будут выведены утверждения о непрерывной зависимости от параметра множества решений систем операторных включений.
Будет рассмотрена задача о минимуме отображения, действующего из v-метрического пространства X в конус V_+ банахова пространства, и содержащего параметр p – элемент топологического пространства P. Будут определены условия существования точки минимума этого отображения для каждого значения параметра p. Будут исследованы свойства многозначного отображения, сопоставляющего каждому p\in P множество M(p)\subset X точек минимума. С использованием аналога условия Каристи будет получена оценка отклонения относительно v-метрики множества M(p) от значений заданного отображения P\to X и утверждение о полунепрерывности сверху, снизу и непрерывности многозначного отображения M:P\rightrightarrows X в заданной точке p_0. Будет доказана теорема сравнения задачи о минимуме рассматриваемого отображения с задачей о минимуме мажорантного отображения, действующего из E_+ в V_+ и содержащего параметр p. Согласно этой теореме будут также получены оценка отклонения (относительно v-метрики) множества M(p) от значений заданного отображения P\to X и условия полунепрерывности сверху, снизу и непрерывности многозначного отображения M:P\rightrightarrows X в заданной точке p_0. Перечисленные утверждения будут применены к исследованию уравнения g(x,p)=y, где g:X\times P\to Y, X,Y – v-метрические пространства (v-метрики которых принимают значения в конусах E_+ и, соответственно, V_+). Это уравнение будет сведено к задаче о минимуме отображения, сопоставляющего каждому x\in X v-расстояние от y до g(x,p). Полученные таким образом результаты об оценках и зависимости от параметра множества решений рассматриваемого уравнения будут содержательными и в случае «обычных» метрических пространств X,Y.
Будет рассмотрено включение y \in F(x,x,p) относительно неизвестного x – элемента частично упорядоченного пространства X. Здесь параметр p – элемент линейно упорядоченного пространства P, а y – заданный элемент частично упорядоченного пространства Y. Будет предполагаться, что многозначное отображение F:X\times X\times P\rightrightarrows Y упорядоченно накрывающее по первому и антитонное по второму аргументу. Будут определены условия существования решения этого включения для каждого значения параметра p. Будут исследованы свойства многозначного отображения, сопоставляющего каждому p\in P множество Sol(p)\subset X решений. Будет получена теорема об операторном неравенстве, устанавливающая связь решений рассматриваемого включения с элементом x_0(p)\in X таким, что существует y_0\in F(x_0,x_0,p), удовлетворяющий неравенству y_0 \geq y. Согласно этой теореме будут получены оценка сверху множества Sol(p) и условия монотонности и непрерывности многозначного отображения Sol:P\rightrightarrows X. Непрерывность трактуется как сохранение отображением инфимума цепи (или монотонной последовательности). Как частные случаи этих утверждений будут получены условия монотонной и непрерывной зависимости множеств неподвижных точек и точек совпадения многозначных отображений. В известной авторам Проекта литературе вопросы монотонной и непрерывной зависимости от параметра решений включений и уравнений в частично упорядоченных пространствах не рассматривались.
Будет рассмотрена задача о минимуме отображения, действующего из частично упорядоченного пространства X в частично упорядоченное пространство Y, и содержащего параметр p – элемент линейно упорядоченного пространства P. Будут определены условия существования точки минимума этого отображения для каждого значения параметра p. Будут исследованы свойства многозначного отображения, сопоставляющего каждому p\in P множество M(p)\subset X точек минимума. С использованием аналога условия Каристи будет получена оценка сверху множества M(p), установлено существование минимального сечения этого отображения, доказано утверждение о монотонности и непрерывности относительно порядка многозначного отображения M:P\rightrightarrows X.
Перечисленные результаты о неподвижных точках, точках совпадения, операторных включениях, экстремальных задачах в обобщенно метрических и частично упорядоченных пространствах представляют эффективный инструмент исследования разнообразных математических задач; могут найти применения в функциональном анализе, теории функций, теории интегральных и дифференциальных уравнений, в теории управления и оптимизации, в информатике. В проекте эти результаты станут основой для исследования неявных дифференциальные уравнений и включений с отображениями, возможно терпящими разрывы по фазовой переменной, а также для исследования соответствующих систем управления. В этом направлении НИР будут получены следующие результаты.
Будет исследована задачи Коши x(0)=c и двухточечная краевая задача Ax(0)+Bx(T)=c для содержащего параметр p дифференциального уравнения x'= \phi(t,x,p) без требования непрерывности \phi по фазовой переменной x. Будут получены условия существования решений при каждом наборе (p,c), установлено существование решения с наибольшей и наименьшей производной, будут получены условия непрерывной и монотонной зависимости множеств решений от параметров p,c, а также непрерывной и монотонной зависимости от p,c решений с наибольшей и наименьшей производной.
Будет исследована задача Коши x(0)=c для содержащего параметр p неявного дифференциального включения y(t) \in F(t,x,x',p), которое может иметь несуммируемые особенности. Эта задача будет сведена к операторному включению с зависящим от параметра p многозначным вольтерровым интегральным отображением, действующим из пространства L суммируемых функций в пространство W измеримых функций. В этих пространствах будут определены v-метрики и частичный порядок, что позволит применить результаты Проекта об операторном включении. Для каждого значения параметра p – элемента топологического пространства при условиях регулярности и липшицевости отображения F по соответствующим аргументам будет доказано существование решений и их продолжимости на весь заданный интервал, даны оценки отклонения значений производной решения от значений заданной суммируемой функции. Будут исследованы свойства многозначного отображения, сопоставляющего каждому p\in P множество DSol(p)\subset L производных решений. Будут получено утверждение о полунепрерывности сверху, снизу и непрерывности многозначного отображения DSol:P\rightrightarrows L в заданной точке p_0. Далее, для каждого значения параметра p – элемента линейно упорядоченного пространства при условиях упорядоченного накрывания и антитонности отображения F по соответствующим аргументам будет доказана теорема о дифференциальном неравенстве. Будет показана связь решений рассматриваемой задачи Коши с зависящей от p функцией x_0\in AC такой, что x_0(0)\geq c и для которой существует y_0 – измеримое сечение многозначного отображения t\to F(t,x_0(t),x'_0(t),p), удовлетворяющее неравенству y_0(t) \geq y(t). Будет получено утверждение о монотонной и непрерывной (относительно порядка) зависимости многозначного отображения DSol:P\rightrightarrows L от параметра p.
Будет исследована двухточечная краевая задача Ax(0)+Bx(T)=c для содержащего параметр p неявного дифференциального включения y(t) \in F(t,x,x',p), которое может иметь несуммируемые особенности. Эта задача будет сведена к операторному включению с зависящим от параметра p многозначным интегральным отображением, действующим из пространства L суммируемых функций в пространство W измеримых функций. В этих пространствах будут определены v-метрики и частичный порядок, что позволит применить результаты Проекта об операторном включении. Для каждого значения параметра p – элемента топологического пространства при условиях регулярности и липшицевости отображения F по соответствующим аргументам и невырожденности матрицы A+B будет доказано существование решений, даны оценки отклонения значений производной решения от значений заданной суммируемой функции. Будут исследованы свойства многозначного отображения, сопоставляющего каждому p\in P множество DSol(p)\subset L производных решений. Будут получено утверждение о полунепрерывности сверху, снизу и непрерывности многозначного отображения DSol:P\rightrightarrows L в заданной точке p_0. В случае вырожденности матрицы A+B для каждого значения параметра p – элемента линейно упорядоченного пространства будет доказана теорема о дифференциальном неравенстве при условиях упорядоченного накрывания и антитонности по соответствующим аргументам отображения, определяемого специальной подстановкой по отображению F. Будет показана связь решений рассматриваемой краевой задачи с зависящей от параметра p функцией x_0\in AC такой, что Ax_0(0)+Bx_0 (T)\geq c и для которой существует y_0 – измеримое сечение многозначного отображения t\to F(t,x_0(t),x'_0(t),p), удовлетворяющее неравенству y_0(t) \geq y(t). Будет получено утверждение о монотонной и непрерывной (относительно порядка) зависимости многозначного отображения DSol:P\rightrightarrows L от параметра p.
Будут рассмотрены задача Коши и двухточечная краевая задача для управляемой системы x'=\phi(t,x,u) с обратной связью по управлению u при ограничениях на производную траектории x'. Здесь \phi по фазовой переменной x не предполагается непрерывной. Будут получены условия существования решения – пары (x,u), где траектория x – абсолютно непрерывная функция, управление u – измеримая функция. Будет доказана теорема о дифференциальном неравенстве. Будут получены условия монотонной и непрерывной относительно порядка зависимости множества решений от функции \phi, отображения обратной связи, значений начальных и краевых условий. Будет исследование порядковая структура множества управляемости и множества достижимости, получены условия существования в этих множествах наибольшего и наименьшего элементов. Будет доказана устойчивость этих множеств к изменениям порождающих управляемые системы отображений.
Будут рассмотрены задача Коши и двухточечная краевая задача для управляемой неявной дифференциальной системы f(t,x,x',u)=y(t) с обратной связью по управлению u при ограничениях на производную траектории x'. Для этой управляемой системы будет определено ассоциированное дифференциальное включение, что позволит применить соответствующие результаты Проекта. Будут получены условия существования решения – пары (x,u), где траектория x – абсолютно непрерывная функция, управление u – измеримая функция. Будет доказана теорема о дифференциальном неравенстве. Будет показана связь решения (x,u) рассматриваемой задачи с парой функций x_0\in AC, u_0\in W, удовлетворяющих неравенству f(t,x_0(t),x'_0(t),u_0(t)) \geq y(t). Будут получены условия непрерывной и монотонной зависимости множества решений от функции f, функции y, отображения обратной связи и значений начальных и краевых условий.
Перечисленные ожидаемые результаты о неявных дифференциальных системах оригинальны, новы и в формулировках, и в методах доказательства, а в части исследования порядковой структуры и монотонной зависимости от параметров множеств решений не имеют аналогов в литературе. Отметим также, что рассматриваемые неявные дифференциальные системы широко используются в математике и ее приложениях. Такими системами описывается динамика некоторых неголономных механических систем, электрических колебательных контуров, электромагнитных полей, фазового перехода в сверхпроводящее состояние, некоторых процессов термодинамики и др. А дифференциальными системами с разрывными по фазовой переменной отображениями описывают импульсные процессы в физике, технике, биологии, задачи импульсного управления и др. В проекте полученные для таких дифференциальных систем утверждения будут применены к исследованию электрической активности головного мозга на основе нейронных моделей. В этом направлении НИР ожидается получение следующих результатов.
Будут исследованы дифференциальные уравнения моделей типа Хопфилда и Амари нейронных систем с непрерывными и разрывными функциями активации нейронов. Для двухточечной (в том числе, периодической) краевой задачи будут получены условия существования и оценки решений, условия монотонной и непрерывной зависимости решений от краевых условий, возмущающих воздействий и от функции активации. Для множества решений будет исследован предельный переход при сходимости непрерывной функции активации к разрывной. Будет рассмотрена задача управления для модельных дифференциальных систем. Будут получены утверждения об устойчивости множества решений управляемой системы к изменениям функции активации и функции внешних воздействий. Будет исследована порядковая структура множества управляемости, получены условия существования в нем наибольшего и наименьшего элементов. Перечисленные результаты значимы для исследования режимов функционирования мозга. Также эти результаты могут быть востребованы для машинного обучения в системах искусственного интеллекта.