КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-21-00903
НазваниеНовые типы многомерного хаоса в разнородных ансамблях и биомаркеры для оценки состояния сердечно-сосудистой системы человека
Руководитель Станкевич Наталия Владимировна, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , Нижегородская обл
Конкурс №118 - Конкурс на получение грантов РНФ по мероприятию «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» приоритетного направления деятельности Российского научного фонда «Поддержка проведения научных исследований и развития научных коллективов, занимающих лидирующие позиции в определенных областях науки»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем
Ключевые слова Динамические системы, разнородные ансамбли, дискретные отображения, хаос, гиперхаос, квазипериодичность, показатели Ляпунова, бифуркации, модель сердечно-сосудистой системы человека, биомаркеры
Код ГРНТИ27.29.17
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Ансамбли связанных осцилляторов являются классическими объектами теории нелинейных динамических систем, которые широко распространены в различных приложениях, включая нейронные сети, каскады энергосистем и пр. В классической постановке такой задачи рассматриваются однородные ансамбли, когда отдельные элементы представлены одинаковыми динамическими системами и могут отличаться параметрами, в зависимости от которых может изменяться тип динамического режима в узле сети. К такого рода задачам можно отнести классические ансамбли фазовых осцилляторов, в частности, широко известную модель Курамото.
Существенно новой является ситуация, когда связанные элементы представляют собой принципиально разные динамические системы. Такие ансамбли на самом деле часто встречаются в природе. Одним из возможных примеров можно указать сердечно-сосудистую систему, которая представляет собой замкнутый автоколебательный контур, взаимодействующий с респираторным автоколебательным контуром, а также управляемый контурами нервной системы. Такие модели могут конструироваться различным образом, детализация каждого блока может иметь различную степень проработки и адаптацию по экспериментальным данным. Принципиальным остается наличие в таких системах отдельных разнородных элементов, которые взаимодействуют друг с другом. Исследованию таких систем в литературе уделено гораздо меньше внимания, зачастую их рассматриваются как автономную модель, не вникая в детали вариации динамических режимов одиночного элемента. В то время как данная особенность может принципиально менять динамику всей системы в целом.
В недавних работах [Kuznetsov, A. P., Sedova, Y. V., & Stankevich, N. V. Chaos, Solitons & Fractals, 2023, 169, 113278; Kuznetsov, A. P., Turukina, L. V. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2024, 470, 134425] было показано, что в простейших разнородных ансамблях возникают новые типы хаотических аттракторов, классифицируемые с помощью спектра показателей Ляпунова, и содержащие, помимо положительных, несколько дополнительных нулевых показателей, в зависимости от конфигурации аттракторов в подсистемах. Такие аттракторы появляются при взаимодействии систем с многочастотной квазипериодической динамикой и хаотической. В зависимости от сценариев трансформаций аттракторов в подсистемах при вариации их параметров возникают различные типы многомерного хаоса. Можно наблюдать новые типы бифуркаций, ассоциирующиеся с гомо- и гетероклиническими бифуркациями достаточно сложных объектов, таких как торы разной размерности. Теоретическая база и фундаментальные свойства таких бифуркаций в настоящее время в большей степени остаются не исследованными.
В проекте планируется исследование хаоса в достаточно высокоразмерных системах, представляющие собой простые разнородные ансамбли. В этих случаях возможно возникновение хаоса с дополнительными нулевыми показателями Ляпунова, гиперхаоса такого же типа, а также гиперхаоса с тремя (и более) положительными показателями. Будут предложены удобные модели для анализа такой динамики. Для этого будет применяться, в частности, дискретизация систем с непрерывным временем. С помощью построенных моделей будут исследованы свойства высокоразмерного хаоса. Будут изучены бифуркации добавления дополнительных нулевых показателей в хаосе и гиперхаосе. Будет изучено влияние шума на такие режимы и бифуркации, а также на системы с тремя положительными показателями. Будут предложены и изучены примеры реалистичных систем с подобной динамикой: ансамбль радиофизических генераторов и модель сердечно-сосудистой системы человека. На основе полученных знаний о фундаментальных свойствах хаотических сигналов с дополнительными нулевыми показателями Ляпунова в спектре будут предложены новые характеристики, позволяющие делать оценку синхронизации в разнородном ансамбле на основе нескольких несоизмеримых частот. Такие характеристики могут быть использованы в качестве биомаркеров состояния сердечно-сосудистой системы человека.
Ожидаемые результаты
В результате выполнения проекта будет существенно проработана теория многомерного хаоса, в контексте бифуркаций, ассоциирующихся с изменением количества положительных и нулевых показателей Ляпунова в спектре, а также развитием гомоклинических и гетероклинических бифуркаций для многомерных объектов. Будут предложены характеристики на основе коэффициента синхронности разнородных элементов ансамбля, которые могут использоваться в качестве биомаркеров состояния сердечно-сосудистой системы человека.
Исследования проекта будут проводиться по двум основным направлениям:
1. Развитие теории многомерного хаоса на примере простейших разнородных ансамблей.
2. Апробация теории с помощью разнородного ансамбля для модели сердечно-сосудистой системы человека.
По каждому из направлений будут получены следующие результаты.
1. Развитие теории многомерного хаоса на примере простейших разнородных ансамблей.
Будут введены в рассмотрение дискретные модельные системы в виде ансамбля осцилляторов ван дер Поля, взаимодействующего с хаотической подсистемой. В таких системах будут проиллюстрированы и выявлены механизмы перехода от квазипериодических режимов с разным числом несоизмеримых частот к хаосу с несколькими нулевыми показателями. Будет рассмотрена также эволюция режимов при увеличении основного управляющего параметра нелинейности хаотической подсистемы.
Будут изучены бифуркации, приводящие к увеличению числа нулевых ляпуновских показателей в хаосе. Также будет получена двухпараметрическая картина таких переходов на плоскости основных управляющих параметров, как отдельных подсистем, так и объединенной системы. Будет обсуждена возможность соответствующих бифуркаций коразмерности два.
Будет изучено влияние шума на хаос с разным числом нулевых показателей Ляпунова и бифуркации, отвечающие за возникновение новых таких показателей. С этой целью будет проиллюстрировано поведение графиков показателей Ляпунова в окрестности точек бифуркаций и проанализированы Фурье-спектры. Будет исследовано воздействие шума на систему с тремя положительными ляпуновскими показателями в контексте того, как шум влияет на полный спектр показателей. Будет представлен как однопараметрический анализ, так и ляпуновские карты системы с разным уровнем шума. Будет изучен характер чувствительной зависимости реализаций от начальных условий и влияние шума на это свойство динамики (хаотизация или стабилизация).
Будет осуществлен поиск хаоса с тремя положительными и дополнительными нулевыми показателями Ляпунова. (На настоящее время такие примеры неизвестны.) Методом карт ляпуновских показателей будет исследовано устройство пространства параметров связанных систем, в которых возможен гиперхаос с тремя положительными показателями Ляпунова. Будет исследован вопрос о возможности дальнейшего увеличения числа положительных показателей. Будут изучены сети из элементов с гиперхаосом с тремя положительными показателями Ляпунова.
2. Апробация теории с помощью разнородного ансамбля для модели сердечно-сосудистой системы человека.
Будет осуществлен поиск реалистичных систем, которые удобно представить в виде разнородного ансамбля. Будет проведен первичный анализ моделей с целью проверки возможности возникновения в ансамбле многомерного хаоса с дополнительными нулевыми показателями Ляпунова.
Будет разработана дискретная модель сердечно-сосудистой системы человека (СССЧ) посредством дискретизации потоковой системы, состоящей из 4 блоков, описываемых различными осцилляторными системами, и представляющей собой гетерогенный ансамбль. Будет получена дискретная система с минимальной размерностью фазового пространства, позволяющая реализовывать сценарии развития многомерного хаоса.
Будет проведено детальное исследование модели, одно- и двухпараметрический ляпуновский анализ дискретной модели СССЧ с целью выявления квазипериодичности и ее перехода к хаосу и гиперхаосу.
Будут предложены характеристики, определяющие количество несоизмеримых частот в динамическом режиме и их величины. Будут предложены методы классификации хаотических аттракторов с различным числом нулевых показателей в спектре показателей Ляпунова без его расчета. Данные характеристики могут быть использованы для задач биомедицины, как биомаркеры состояния сердечно-сосудистой системы человека. Будут даны первичные интерпретации по предложенным биомаркерам, какие состояния они могут помочь диагностировать.