КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-21-20059
НазваниеЛинейные группы и абстрактные политопы
Руководитель Нужин Яков Нифантьевич, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Сибирский федеральный университет" , Красноярский край
Конкурс №100 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» (региональный конкурс)
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-102 - Алгебра
Ключевые слова Классические линейные группы, группа Шевалле, кольцо Ли, ковровая подгруппа, порождающие элементы, характеры группы, струнная С-группа, регулярный политопы
Код ГРНТИ27.17.17
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Ожидаемые результаты
В проекте предполагается получить следующие основные результаты.
1) Для каждой конечной простой неабелевой группы найти минимум числа порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно 1 (Малле–Саксл–Вайгель, вопрос 14.69в) из Коуровской тетради).
2) Установить какие конечные почти простые группы (не являющиеся простыми) будут группами автоморфизмов абстрактных регулярных 3-политопов.
3) Дать ответ на следующий вопрос. Является ли замыкание ковра аддитивных подгрупп ковром? ( Вопрос 19.61 из Коуровской тетради.)
4) Доказать, что замкнутость ковра аддитивных подгрупп следует из его инвариантности относительно соответствующей ковровой подгруппы? ( Вопрос 19.63 из Коуровской тетради.)
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Участниками проекта получены следующие результаты.
А) Дан ответ о порождаемости тремя инволюциями, две из которых
перестановочны, для общих линейных групп GL(n,q) и проективных общих линейных групп PGL(n,q) над конечными полями. Установлено, что группы GL(n,q), PGL(n,q), которые порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны, являются группами автоморфизмов регулярных политопов ранга 3, исключая группу GL(2,2). (Марковская И.А., Нужин Я.Н.)
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-03
Б) Результаты, аналогичные результатам из п. А) получены для групп матриц с определителем +1 или -1 над конечными полями, а также для их гомоморфных образов по центру специальной линейной группы SL(n,q). (Марковская И.А.)
https://elib.sfu-kras.ru/bitstream/handle/2311/157499/Markovskaya.pdf;jsessionid=645E2A978A9613DE03A198AE1CE80F30?sequence=1
В) Доказано, что простые группы лиева типа G2(q) и 3D4(q), где q есть степень 2, являются группами автоморфизмов регулярных политопов ранга n=4,5. (Гвоздев Р.И., Нужин Я.Н.) Положительный ответ в случае n=3 для всех таких групп был дан ранее.
http://old.math.nsc.ru/conference/malmeet/25/Sbornik/Malcev_Meeting_2025.pdf
Г) Для групп из п. В) найдено минимальное число порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно 1, и попутно доказано существование новых регулярных политопов ранга 3 с такими группами автоморфизмов. (Гвоздев Р.И.) Этот результат является вкладом в решение следующей проблемы Г. Малле, Я. Саксла и Т. Вайгеля. Для каждой конечной простой неабелевой группы G найти nc(G) --- минимальное число сопряженных инволюций, произведение которых равно 1, порождающих группу G. К настоящему времени эта проблема полностью решена только для знакопеременных и спорадических групп. https://kmc.sfu-kras.ru/conf2025/
Д) Число nc(G) найдено для проективной симплектической группы размерности 4 над конечным полем. (Гвоздев Р.И., Нужин Я.Н., Петруть Т.В., Соколовская А.М.)
https://math-semr.ru/sites/math-semr.ru/files/2025-09/p0989-1005.pdf
Е) Число nc(G) найдено для проективной специальной линейной группы нечетной размерности над конечным полем характеристики 2. (Гвоздев Р.И., статья готовится).
Ж) Число nc(G) найдено для проективной специальной унитарной группы размерности 5 над конечным полем нечетного порядка. (Гвоздев Р.И., Нужин Я.Н., Соколовская А.М.)
http://old.math.nsc.ru/conference/malmeet/25/Sbornik/Malcev_Meeting_2025.pdf
З) В 2012 году Нужин Я.Н. (Труды ИММ УрО РАН) нашел необходимые и достаточные условия инвариантности коврового кольца Ли относительно ковровой подгруппы, соответствующей этому же ковру аддитивных подгрупп над произвольным коммутативным кольцом. Данные условия инвариантности, обозначим их (*), выражаются в терминах пар противоположных аддитивных подгрупп исходного ковра. В 2023 году Нужин Я.Н. установил, что условия (*) являются достаточными для замкнутости ковра любого типа, исключая симплектический тип (Журнал СФУ, Сер. Матем. и физ.). В работе по проекту доказана достаточность условий (*) для замкнутости ковра симплектического типа. Тем самым, получен в полном объеме положительный ответ на вопрос 19.63 из Коуровской тетради и, в частности, подтверждена гипотеза В.М.Левчука о том, что более сильные предположения, чем условия (*), являются достаточными для замкнутости ковра. (Нужин Я.Н.)
http://old.math.nsc.ru/conference/malmeet/25/Sbornik/Malcev_Meeting_2025.pdf
Статья с полным доказательством этого результата принята к публикации в Сибирском матем. журнале.
И) Поскольку уже установлено, что из условий инвариантности (*) следует замкнутость исходного ковра, то Троянская Е.Н. исследовала другие связи следующих свойств ковра аддитивных подгрупп: а) замкнутость; б) инвариантность коврового кольца Ли относительно соответствующей ковровой подгруппы, то есть условия (*); в) L-замкнутость, то есть замкнутость коврового кольца Ли. Она получила следующие результаты:
1) Существуют примеры замкнутых, но не L-замкнутых ковров любого ранга над кольцом характеристики 0 и ранга 1 над кольцом характеристики p > 2. (В характеристике 2 любой ковер L-замкнут.)
2) Существуют примеры L-замкнутых, но не замкнутых ковров любого ранга над кольцом характеристики 0 и 2. (Для нечетной характеристики из L-замкнутости следует замкнутость в силу указанного выше результата Нужина Я.Н.)
3) Существуют примеры замкнутых, но не инвариантных ковров любого ранга над кольцом характеристики 0 и 2 (Для нечетной характеристики такие примеры известны только для ранга 1.)
4) Существуют примеры L-замкнутых, но не инвариантных ковров любого ранга над кольцом характеристики 0 и 2. (Для нечетной характеристики из L-замкнутости следует замкнутость очевидным образом.) https://kmc.sfu-kras.ru/conf2025/
Члены научного коллектива принимали участие в работе следующих трех конференций, где были представлены результаты по данному проекту.
1. Международная конференция "Алгебра и динамические системы" , посвященная 90-летию со дня рождения В.А. Белоногова, Нальчик, 3 — 7 июня 2025 г. — Нальчик: Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, 2025
2. V Конференции математических центров России, Красноярск, Красноярский математический центр, Сибирский федеральный университет, ИВМ СО РАН, 11--- 16 августа 2025г.
https://kmc.sfu-kras.ru/conf2025/
3. Международная конференция Мальцевские чтения, Новосибирск, ИМ СО РАН, 10–14 ноября 2025 г.,
Публикации
1.
Марковская И.А., Нужин Я.Н.
О порождаемости групп GLn(q) и PGLn(q) тремя инволюциями, две из которых перестановочны
Труды Института математики и механики УрО РАН, №4, Том 31, стр. 247-259. (год публикации - 2025)
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-03
2. Гвоздев Р.И. , Нужин Я.Н., Петруть Т.С., Соколовская А.М. Минимальное число порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно 1, групп PSp4(q) Сибирские электронные математические известия, №2, Том 22, стр. 989-1005 (год публикации - 2025)
3. Нужин Я.Н. Кольца Ли и группы, определяемые коврами симплектического типа Сибирский математический журнал (год публикации - 2026)
4. Марковская И.А. On Generating Sets of Matrix Groups over Finite Fields Журнал Сибирского федерального университета. Серия «Математика и физика», №6, том 18, стр. 756-769 (год публикации - 2025)
5. Гвоздев Р.И., Нужин Я.Н. Группы G2(2^m) и ^3D4(2^3m) как группы автоморфизмов регулярных политопов ранга 3, 4 и 5 Международная конференция Мальцевские чтения, тезисы докладов, стр. 140 (год публикации - 2025)
6. Гвоздев Р.И. , Нужин Я.Н., Соколовская А.М., Минимальное число порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно 1, унитарной группы PSU5(q^2) для нечетного q Международная конференция Мальцевские чтения, тезисы докладов, стр. 141 (год публикации - 2025)
7. Троянская Е.Н. О связях свойств ковровой подгруппы и коврового кольца Ли Международная конференция Мальцевские чтения, тезисы докладов, стр. 176 (год публикации - 2025)
8. Нужин Я.Н. Достаточные условия замкнутости ковра аддитивных подгрупп Международная конференция Мальцевские чтения, тезисы докладов, стр. 165 (год публикации - 2025)
9. Гвоздев Р.И. Порождающие множества сопряженных инволюций групп G_2(2^n) и ^3D_4(2^3n) Алгебра и динамические системы, тезисы докладов, 36 (год публикации - 2025)
10. Марковская И.А. О порождаемости группы GLn^{/pm1}(q) тремя инволюциями, две из которых перестановочны Алгебра и динамические системы, тезисы докладов, стр. 109-110 (год публикации - 2025)
11. Троянская Е.Н. О связях замкнутости, инвариантности и L-замкнутости ковра аддитивных подгрупп Алгебра и динамические системы, тезисы докладов, стр. 168-170 (год публикации - 2025)
12. Марковская И.А. О порождающих тройках инволюций матричных групп над кольцом целых чисел и над конечными полями Материалы докладов V Конференции математических центров России, стр. 31-32 (год публикации - 2025)
13. Троянская Е.Н. О связях ковровой подгруппы и коврового кольца Ли Материалы докладов V Конференции математических центров России, стр. 50-53 (год публикации - 2025)
14. Гвоздев Р.И. Порождающие множества сопряженных инволюций групп G_2(2^n) и ^3D_4(2^3n) Материалы докладов V Конференции математических центров России, стр. 16-17 (год публикации - 2025)
15. Марковская И.А. О порождаемости некоторых линейных групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны Международная конференция Мальцевские чтения, тезисы докладов, стр. 160 (год публикации - 2025)