Алгебраические инварианты в теории узлов

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 25-21-20084

НазваниеАлгебраические инварианты в теории узлов

Руководитель Таркаев Владимир Викторович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Челябинский государственный университет" , Челябинская обл

Конкурс №100 - Конкурс 2025 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» (региональный конкурс)

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-105 - Топология

Ключевые слова узел, зацепление, инвариант, группа узла, квандл, скобочный полином Кауффмана, узел в утолщенной поверхности

Код ГРНТИ27.19.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Ожидаемые результаты
Планируется полностью описать конструкцию вихревой группы для ориентированных узлов и зацеплений в трёхмерной сфере и установить взаимосвязь между вихревой группой и полиномом Александера. Будут также найдены вихревые группы для нескольких бесконечных серий узлов. Планируется описать конструкцию полиномиального инварианта ориентированных узлов и зацеплений, аналогичную используемой при построении классического скобочного полинома Кауффмана, но использующую отличные от классических веса разрешений перекрестков и окружностей. Будут также рассмотрены и обобщения этого инварианта на узлы в утолщенных поверхностях, включая гомологические и гомотопические версии таких обобщений. Планируется ввести понятие иерархического квандла и доказать, что диквандлы и n-квандлы являются частными случаями иерархических квандлов. Также планируется перенести основные конструкции и понятия теории коциклических инвариантов на случай узлов и зацеплений, раскрашенных конечными квандлами. Планируется описать конструкцию инварианта ориентированных узлов и зацеплений в утолщенных поверхностях, значениями которого являются формальные суммы гомотопических классов ориентированных графов специального вида на поверхности, отвечающих парам перекрестков. Доказать с его помощью нижние оценки диаграммной сложности и виртуального рода узлов. Направления наших исследований тесно взаимосвязаны с наиболее активными исследованиями в теории узлов. По этим направлениям наши результаты будут на уровне лидирующих. Они могут быть включены в курсы, читаемые студентам математических отделений.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Получено полное решение двух задача: задачи (A) о вихревой группе ориентированных зацеплений в трёхмерной сфере, и задачи (B) о построении полиномиальных инвариантов скобочного типа для ориентированных узлов и зацеплений не только в трёхмерной сфере, но и в утолщенных поверхностях. 1. Доказано, что вихревая группа является корректно определённым инвариантом ориентированных узлов и зацеплений в трёхмерной сфере. 2. Доказано, что порядок абелианизированной редуцированной вихревой группы зацепления в точности совпадет с определителем зацепления, то есть с модулем значения полинома Александера этого зацепления в точке -1. 3. Найдены редуцированные вихревые группы для узлов с двумя мостами. Доказано, что эти группы всегда являются конечными циклическими. 4. Доказано, что предлагаемое обобщение скобочного полинома Кауффмана является корректно определенным инвариантом ориентированных узлов и зацеплений. 5. Проведён вычислительный эксперимент, в ходе которого предлагаемое обобщение скобочного полинома Кауффмана вычислено для всех примарных классических узлов, представляемых диаграммами до 11 перекрестков. Полученные результаты показывают, что наше обобщение сильнее своего классического прототипа. 6. Рассмотрены варианты нашего инварианта для ориентированных узлов и зацеплений в утолщении ориентируемой поверхности, в том числе и принимающие значения в свободных модулях, порождённых гомологическими (или гомотопическими) классами петель на соответствующей поверхности.

Публикации

1. Кораблёв Ф.Г. Вихревая группа для узлов и зацеплений в трехмерной сфере Труды Института математики и механики УрО РАН, Кораблёв Ф.Г., Вихревая группа для узлов и зацеплений в трехмерной сфере // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2025, Т. 31, № 4, С. 203–213. (год публикации - 2025)
10.21538/0134-4889-2025-31-4-203-213