Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Разработан метод и алгоритм оптимального размещения стабилизаторов в электроэнергетической системе на основе спектрального разложения грамиана управляемости. Проведено численное моделирование оптимального размещения в сети тестовой электроэнергетической системы IEEE с 68 шинами. Показано, что новый селективный подход позволяет улучшить размещение стабилизаторов в сети для подавления выбранных межрайонных колебаний по сравнению с базовым методом при условии, что число стабилизаторов достаточно мало, чтобы охватить все значимые колебания системы. Разработан новый подход к исследованию устойчивости непрерывной линейной динамической системы, в том числе сложной энергетической системы с помощью спектральных разложений грамианов базовой системы, заданной уравнениями системы в канонических формах: модальной, управляемости (наблюдаемости). Передаточная функция базовой системы равна обратному характеристическому полиному системы. Определены энергетические метрики устойчивости базовых систем и получены их спектральные разложения для простых и кратных собственных чисел матриц динамики. Доказаны основные свойства базовых систем и предложены алгоритмы вычисления энергетических метрик устойчивости. Разработаны энергетические метрики устойчивости базовых систем в виде спектральных разложений квадрата Н2-нормы или квадрата Н_infinity-нормы передаточной функции для различных режимов функционирования энергетических систем. Эти метрики зависят только от значений собственных чисел матриц динамики и их кратности для фиксированного режима функционирования. Разработан метод и алгоритм поэлементного вычисления матрицы обратного грамиана управляемости базовой системы, заданной уравнениями системы в канонических формах управляемости (наблюдаемости), на основе решения спектрального разложения матричного дифференциального уравнения Сильвестра. Разработан метод и алгоритм рекуррентного вычисления вычетов передаточной функции базовых систем, у которых передаточная функция имеет кратные полюса при условии ограниченности размера системы. Разработан усиленный критерий устойчивости Рауса – Гурвица для линейных непрерывных стационарных динамических систем с многими входами и многими выходами (в том числе графовых моделей энергетических систем) высокой размерности. Новый критерий использует таблицы Рауса обычного критерия Рауса-Гурвица, спектр матрицы динамики и энергетические метрики устойчивости базовой системы, вычисленные на основе квадрата H2- и H_infinity-нормы её передаточной функции. Доработана постановка задачи синтеза избирательно демпфирующего регулятора с использованием энергетических метрик на основе элементов спектрального разложения решения матричных дифференциальных уравнений Ляпунова в качестве целевых функций для оптимизационных процедур. В новой постановке используется частичный грамиан для выхода и полный для управления вместо только частичного для обоих сигналов. Определен порядок нахождения начального приближения и ограничений зоны поиска решения для методов численной оптимизации в задаче синтеза регулятора. Получены экспериментальные подтверждения эффективности доработанного метода. Разработан метод и алгоритм последовательных преобразований подобия уравнений состояния сложной непрерывной линейной неустойчивой динамической системы. Первое преобразование состоит в декомпозиции матрицы динамики в форму Шура. Последующие преобразования полученной системы в каноническую форму управляемости и затем в модальную каноническую форму позволяют вычислить все сингулярные числа матрицы смешанного грамиана управляемости системы. Разработан метод и алгоритм вычисления спектрального разложения смешанного грамиана управляемости для линейной неустойчивой системы, заданной уравнениями в канонической форме управляемости. При этом предполагается, что система полностью управляема включая ее устойчивые и неустойчивые моды, ее матрица динамики имеет простой спектр, а собственные числа не принадлежат мнимой оси. Разработан метод и алгоритм вычисления матриц сингулярных разложений прямых и обратных смешанных грамианов управляемости. На основе полученных ранее разложений грамиана наблюдаемости по собственным значениям матрицы динамики линейной динамической системы предложен метод понижения размерности, предполагающий одновременное устранение из динамической системы как собственных значений матрицы динамики (мод), так и переменных состояния. Сформулирована и доказана теорема о связи квадратичной функции Ляпунова и H2-нормы передаточной функции линейной динамической системы полной и пониженной размерности. На основе данной теоремы предложено несколько способов оценки степени значимости удаляемых мод и состояний, а также разработан итеративный алгоритм метода двойного усечения. Полученные результаты распространены на случай понижения размерности автономных нелинейных аппроксимаций моделей динамических систем, линеаризованных методом Карлемана. Эффективность предложенного метода редуцирования продемонстрирована в ходе вычислительных экспериментов, проведённых на трёх линейных моделях, и одной квадратичной аппроксимации. В линейном случае предложенный метод даёт стабильно хорошее приближение исходной системы, однако уступает методам модального и сбалансированного усечения как по точности, так и по быстродействию. В случае автономных нелинейных аппроксимаций, за счёт реализации селективного по переменным состояния редуцирования, предложенный метод позволяет на порядок повысить точность редуцирования в сравнении с другими известными методами усечения. По результатам выполнения проекта в 2025 году принято в печать 2 статьи в журналах: “Автоматика и телемеханика” (1 уровень “Белого списка” журналов, WoS) и “Управление большими системами” (3 уровень “Белого списка” журналов); подано две статьи в журналы IEEE Transactions on Automatic Control (IF JCR = 7.0, Q1 WoS) и “Автоматика и телемеханика”, которые проходят рецензирование. Результаты работы по проекту были представлены на пленарном докладе на XVIII международной конференции “Управление развитием крупномасштабных систем” (MLSD’2025) в г. Москве и на международной конференции «Системные исследования в энергетике-2025» в г. Иркутске.