КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-71-00070
НазваниеАвтоморфизмы алгебраических моноидов
Руководитель Шафаревич Антон Андреевич, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва
Конкурс №110 - Конкурс 2025 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными, приоритетного направления деятельности Российского научного фонда «Поддержка молодых ученых»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-106 - Алгебраическая геометрия
Ключевые слова Моноиды, алгебраические группы, теория инвариантов, группа автоморфизмов
Код ГРНТИ27.17.33
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Понятие группы является центральным в математике. Моноиды представляют собой обобщение групп. Моноид — это алгебраическая структура, состоящая из множества и одной бинарной операции, обладающей двумя ключевыми свойствами: ассоциативностью и наличием нейтрального элемента. Целые числа, квадратные матрицы, многочлены — все эти множества являются моноидами относительно операции умножения.
В математике и физике важную роль играют алгебраические группы. Это группы, наделённые структурой алгебраического многообразия. Примерами алгебраических групп могут служить группа невырожденных квадратных матриц или группа ортогональных матриц. По аналогии можно рассмотреть алгебраические моноиды — моноиды, являющиеся алгебраическими многообразиями. Множества квадратных матриц и комплексных чисел являются примерами алгебраических моноидов относительно операции умножения.
При изучении любой алгебраической структуры важно исследовать группу её автоморфизмов. Группу автоморфизмов можно рассматривать как инвариант, однако часто автоморфизмы позволяют раскрыть различные свойства самой структуры. Группы автоморфизмов алгебраических групп хорошо изучены (особенно в случае полупростых или редуктивных групп) и стали предметом многочисленных исследований.
В рамках данного проекта планируется изучение групп автоморфизмов алгебраических моноидов. Под автоморфизмом алгебраического моноида подразумевается биективное отображение моноида на себя, сохраняющее операцию, причём как само отображение, так и его обратное являются морфизмами алгебраических многообразий. Основной акцент будет сделан на случай, когда группа обратимых элементов моноида является редуктивной алгебраической группой. Также планируются исследования автоморфизмов моноидов, изоморфных как алгебраические многообразия аффинной плоскости или аффинному пространству.
Алгебраические моноиды — весьма естественный объект в математике. Мы убеждены, что новые результаты об автоморфизмах алгебраических моноидов окажутся интересными для многих математиков.
Ожидаемые результаты
1) Мы ожидаем получить описание группы автоморфизмов для алгебраических моноидов, у которых группа обратимых элементов — редуктивная алгебраическая группа. Эти моноиды представляют собой сферические многообразия и были изучены в трудах Э.Б. Винберга, а также А. Риттаторе. Мы рассчитываем, что удастся найти достаточно точное описание группы автоморфизмов таких моноидов, хотя бы в случае, когда группа обратимых элементов является прямым произведением полупростой группы и алгебраического тора.
2) Мы намерены описать группу автоморфизмов алгебраических моноидов, которые как алгебраические многообразия изоморфны аффинной плоскости либо трёхмерному аффинному пространству. Такие моноиды были классифицированы в работах Р.С. Авдеева, И.В. Аржанцева, С.Д. Брагина и Ю.И. Зайцевой.
Для обоих случаев планируется исследовать множество неподвижных точек относительно группы автоморфизмов, а также орбиты этой группы.
Все полученные результаты будут новыми. Мы надеемся, что они заинтересуют специалистов в теории инвариантов, алгебраической геометрии, а также абстрактной алгебре.