КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-71-10087
НазваниеСовременные методы исследования интегрируемых биллиардов и геодезических потоков с приложениями к задачам механики и математической физики
Руководитель Ведюшкина Виктория Викторовна, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва
Конкурс №111 - Конкурс 2025 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными, приоритетного направления деятельности Российского научного фонда «Поддержка молодых ученых»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-105 - Топология
Ключевые слова Интегрируемая гамильтонова система, интегрируемые биллиарды, геодезический поток, магнитный геодезический поток, метризуемые обыкновенные дифференциальные уравнений, слоение Лиувилля, лагранжево многообразие, CW-комплекс, динамика твердого тела, топологические инварианты, инварианты геодезических потоков, бифуркационная диаграмма, квазиклассические асимпотики (квазимоды), канонический оператор Маслова, условия квантования
Код ГРНТИ27.21.21
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Настоящий проект нацелен на изучение и классификацию различных интегрируемых математических моделей, связанных с интегрируемыми геодезическими потоками и биллиардами. Он объединяет две научные коллаборации молодых ученых, чьи области интересов органично дополняют друг друга:
Настоящий проект нацелен на изучение и классификацию различных интегрируемых математических моделей, связанных с геодезическими потоками и биллиардами. Изучаемые в рамках проекта задачи относятся к следующим направлениям:
- топологическая классификация вполне интегрируемых гамильтоновых систем,
- теория интегрируемых биллиардов, их обобщения и проблема моделирования ими интегрируемых систем,
- построение квазиклассических асимптотик квантовых систем с интегрируемым или близким к интегрируемым символом,
- алгебраические и аналитические методы исследования нелинейных ОДУ,
- построение точных решений квазилинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных,
- построение интегрируемых и суперинтегрируемых геодезических потоков,
- построение магнитных геодезических потоков и изучение вопроса их интегрируемости
Помимо близкого предмета исследований (биллиарды и геодезические потоки), общим для всего коллектива является, в значительной мере, “классификационная” парадигма исследований, выполнявшихся ранее и запланированных в настоящем проекте. Построение классифицирующих, различающих инвариантов (пусть и имеющих разную природу) и их применение при исследовании конкретных задач из приложений, механики и математической физики.
Новые результаты, полученные в рамках применения подходов геометрии операторов Нийенхейса и алгебраических и аналитических методов дифференциальных уравнений, как ожидается, позволят "синтезировать" новые случаи интегрируемости геодезических потоков на двумерных поверхностях. В рамках проекта предлагается сконструировать новые интегрируемые биллиардно-подобные системы. Применение уже разработанных коллективом топологических методов позволит обнаружить скрытые связи между новыми системами и классическими случаями интегрируемости.
Ожидаемые результаты
Результаты исследований настоящего проекта будут, главным образом, относиться к одной из следующих категорий:
- разработка новых методов работы с определенными классами динамических систем;
- нахождение новых примеров и серий интегрируемых систем, изучение их свойств;
- установление эквивалентностей систем разной природы, в частности, моделирование известных интегрируемых систем при помощи интегрируемых биллиардов (принадлежащих тому или иному классу) или доказательство ее невозможности в указанном классе.
Получаемые результаты будут иметь важное научное значение, а некоторые из них также откроют возможность для заинтересованных смежных научных групп опираться на них при дизайне экспериментов, в том числе компьютерных.
В рамках проекта планируется получить результаты по следующим задачам, не ограничиваясь непосредственно ими: как ожидается, получаемые результаты будут становиться отправной точкой для новых задач на последующие годы проекта:
- моделирование интегрируемыми биллиардами систем динамики твердого тела и их аналогов для различных алгебр Ли;
- изучение топологических свойств интегрируемых биллиардов с потенциалами, в том числе на склеенных столах-комплексах,
- построение алгоритмов для вычисления топологических инвариантов слоений, определения типов встречающихся бифуркаций;
- построение новых примеров интегрируемых биллиардов с опорой на недавние результаты и методы геометрии операторов Нийенхейса, изучение их топологических свойств
- топологическая классификация интегрируемых геодезических потоков и биллиардов на поверхностях с неплоской метрикой, включая двумерные пересечениях n-2 софокусных квадрик разных типов.
- разработка новых подходов для исследования интегрируемости и разрешимости гамильтоновых математических систем. Планируется детально изучить аналитические и топологические свойства геодезических потоков на двумерных поверхностях и связанных с ними проективных структур. Планируется исследовать существование и функциональные классы инвариантов для геодезических потоков.
- изучение интегрируемых магнитных геодезических потоков, обладающих дополнительным первым интегралом на конечном числе попарно различных уровней энергии. В частности, будут исследованы суперинтегрируемые магнитные геодезические потоки, обладающие полиномиальными по импульсам первыми интегралами.
- разработка метода решения задачи метризуемости для неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений Льенара. Планируется детально исследовать интегрируемость некоторых важных для приложений метризуемых уравнений Льенара.
- нахождение квазиклассических асимптотических решений (квазимод) спектральной задачи для систем, отвечающих примерам интегрируемых биллиардных книжек, вдоль ребер которых может склеиваться более двух плоских листов.
- нахождение квазиклассических асимптотических решений для квантовых аналогов классических систем динамики. При этом интересно установить, в каких зонах параметров и первых интегралов системы находит свое применение какой из развитых в школе В.П.Маслова методов.