КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 25-71-10087
НазваниеСовременные методы исследования интегрируемых биллиардов и геодезических потоков с приложениями к задачам механики и математической физики
Руководитель Ведюшкина Виктория Викторовна, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва
Конкурс №111 - Конкурс 2025 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными, приоритетного направления деятельности Российского научного фонда «Поддержка молодых ученых»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-105 - Топология
Ключевые слова Интегрируемая гамильтонова система, интегрируемые биллиарды, геодезический поток, магнитный геодезический поток, метризуемые обыкновенные дифференциальные уравнений, слоение Лиувилля, лагранжево многообразие, CW-комплекс, динамика твердого тела, топологические инварианты, инварианты геодезических потоков, бифуркационная диаграмма, квазиклассические асимпотики (квазимоды), канонический оператор Маслова, условия квантования
Код ГРНТИ27.21.21
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Настоящий проект нацелен на изучение и классификацию различных интегрируемых математических моделей, связанных с интегрируемыми геодезическими потоками и биллиардами. Он объединяет две научные коллаборации молодых ученых, чьи области интересов органично дополняют друг друга:
Настоящий проект нацелен на изучение и классификацию различных интегрируемых математических моделей, связанных с геодезическими потоками и биллиардами. Изучаемые в рамках проекта задачи относятся к следующим направлениям:
- топологическая классификация вполне интегрируемых гамильтоновых систем,
- теория интегрируемых биллиардов, их обобщения и проблема моделирования ими интегрируемых систем,
- построение квазиклассических асимптотик квантовых систем с интегрируемым или близким к интегрируемым символом,
- алгебраические и аналитические методы исследования нелинейных ОДУ,
- построение точных решений квазилинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных,
- построение интегрируемых и суперинтегрируемых геодезических потоков,
- построение магнитных геодезических потоков и изучение вопроса их интегрируемости
Помимо близкого предмета исследований (биллиарды и геодезические потоки), общим для всего коллектива является, в значительной мере, “классификационная” парадигма исследований, выполнявшихся ранее и запланированных в настоящем проекте. Построение классифицирующих, различающих инвариантов (пусть и имеющих разную природу) и их применение при исследовании конкретных задач из приложений, механики и математической физики.
Новые результаты, полученные в рамках применения подходов геометрии операторов Нийенхейса и алгебраических и аналитических методов дифференциальных уравнений, как ожидается, позволят "синтезировать" новые случаи интегрируемости геодезических потоков на двумерных поверхностях. В рамках проекта предлагается сконструировать новые интегрируемые биллиардно-подобные системы. Применение уже разработанных коллективом топологических методов позволит обнаружить скрытые связи между новыми системами и классическими случаями интегрируемости.
Ожидаемые результаты
Результаты исследований настоящего проекта будут, главным образом, относиться к одной из следующих категорий:
- разработка новых методов работы с определенными классами динамических систем;
- нахождение новых примеров и серий интегрируемых систем, изучение их свойств;
- установление эквивалентностей систем разной природы, в частности, моделирование известных интегрируемых систем при помощи интегрируемых биллиардов (принадлежащих тому или иному классу) или доказательство ее невозможности в указанном классе.
Получаемые результаты будут иметь важное научное значение, а некоторые из них также откроют возможность для заинтересованных смежных научных групп опираться на них при дизайне экспериментов, в том числе компьютерных.
В рамках проекта планируется получить результаты по следующим задачам, не ограничиваясь непосредственно ими: как ожидается, получаемые результаты будут становиться отправной точкой для новых задач на последующие годы проекта:
- моделирование интегрируемыми биллиардами систем динамики твердого тела и их аналогов для различных алгебр Ли;
- изучение топологических свойств интегрируемых биллиардов с потенциалами, в том числе на склеенных столах-комплексах,
- построение алгоритмов для вычисления топологических инвариантов слоений, определения типов встречающихся бифуркаций;
- построение новых примеров интегрируемых биллиардов с опорой на недавние результаты и методы геометрии операторов Нийенхейса, изучение их топологических свойств
- топологическая классификация интегрируемых геодезических потоков и биллиардов на поверхностях с неплоской метрикой, включая двумерные пересечениях n-2 софокусных квадрик разных типов.
- разработка новых подходов для исследования интегрируемости и разрешимости гамильтоновых математических систем. Планируется детально изучить аналитические и топологические свойства геодезических потоков на двумерных поверхностях и связанных с ними проективных структур. Планируется исследовать существование и функциональные классы инвариантов для геодезических потоков.
- изучение интегрируемых магнитных геодезических потоков, обладающих дополнительным первым интегралом на конечном числе попарно различных уровней энергии. В частности, будут исследованы суперинтегрируемые магнитные геодезические потоки, обладающие полиномиальными по импульсам первыми интегралами.
- разработка метода решения задачи метризуемости для неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений Льенара. Планируется детально исследовать интегрируемость некоторых важных для приложений метризуемых уравнений Льенара.
- нахождение квазиклассических асимптотических решений (квазимод) спектральной задачи для систем, отвечающих примерам интегрируемых биллиардных книжек, вдоль ребер которых может склеиваться более двух плоских листов.
- нахождение квазиклассических асимптотических решений для квантовых аналогов классических систем динамики. При этом интересно установить, в каких зонах параметров и первых интегралов системы находит свое применение какой из развитых в школе В.П.Маслова методов.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Аннотация результатов, полученных в 2026 году
За 1 год проекта выполнены все основные пункты плана работ. Результаты вошли в 2 принятые к печати в высокорейтинговых журналах статьи (эквивалент 4 единиц), в т.ч. статья руководителя проекта В.В.Ведюшкиной. Статья основных исполнителей С.В.Агапова и М.В.Беловой находится на рецензии. Подготовлен ряд препринтов, их планируется вскоре сдать в печать. Тексты и материалы проекта доступны на сайте https://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php. Результаты и тематика проекта представлена членами коллектива в 20 докладах на конференциях (из них 9 - пленарные) и 7 докладов на ведущих научных семинарах, в т.ч. семинаре «Спектральная теория дифференциальных операторов», «Дифференциальная геометрия и приложения», прочитано 3 миникурса для студентов и аспирантов на научных школах.
Премии Президента РФ в области науки и инноваций для молодых ученых за 2025 год “за открытие обобщенных биллиардов и топологическое моделирование гамильтоновых систем” был удостоен цикл результатов членов коллектива из МГУ (проф. В.В.Ведюшкина, доц. В.А.Кибкало, асс. Г.В.Белозеров) по изучению интегрируемых биллиардов и систем, их приложениям. Проект развивает данную тематику и нацелен на изучение взаимосвязей с рядом смежных областей, в. т.ч. на приложения.
Значительный блок результатов связан с интегрируемыми биллиардами на квадриках и их обобщениями, в т.ч. добавлением подходящего потенциала или склейкой стола-комплекса из листов вдоль их общих дуг границы (введенные Ведюшкиной в 2018 г. биллиардные книжки – CW-комплексы с коммутирующими перестановками). При совпадении топологических инвариантов биллиарда и классического случая механики или физики имеем, что система (и эффекты ее движения) наглядно моделируются данным биллиардом.
1) Описан вид (схема) топологического инварианта Фоменко-Цишанга слоения Лиувилля произвольной биллиардной книжки. Определены типы 3-атомов, которые могут отвечать проходящим через фокусы квадрик траекториям.
Приложением стало завершение анализа реализуемости и нереализуемости биллиардными книжками интегрируемых систем Жуковского и Горячева Чаплыгина. Первая система является волчком Эйлера с добавленным постоянным гиростатом, а вторая имеет интеграл степени 3 (т.е. ее реализация биллиардом означает «понижение» степени»).
2) Для биллиарда в эллипсе с потенциалом произвольной четной степени
2.1) построен алгоритм описания системы в неособой зоне энергии (в терминах инварианта Фоменко-Цишанга), т.е. описаны бифуркации замыканий решений
2.2) определены типы нерасщепляемых по Зунгу особенностей ранга 0 (содержащих положения равновесия), возникающих в слоениях Лиувилля таких систем. Седловые особенности эквивалентны произведению пар 2-атомов B, B2, C2 и C4, возможно с факторизацией по инволюции. Также выписаны условия на коэффициенты потенциала, при которых некоторые особенности станут расщепляемыми
3) Для пересечения n-2 софокусных квадрик в R^n выполнена комбинаторная классификация биллиардных областей, а топологическая классификация в случае компактного пересечения дана в терминах инвариантов Фоменко-Цишанга.
4) При построении многомерного аналога классической конструкции Штауде (метода построения трехосного эллипсоида с помощью нерастяжимой нити фиксированной длины) Г.В.Белозеровым изучена топология слоений биллиарда с потенциалом Гука внутри n-мерного эллипсоида произвольной размерности и поведение переменных действия в такой системе. Изучается взаимосвязь последних с требуемым обобщением конструкции Штауде.
5) Разработан метод построения первых интегралов проективных структур и соотв. им геодезических потоков на 2-поверхностях на основе теории инвариантов, что позволяет находить трансцендентные по первой производной (по импульсам) первые интегралы.
6) Изучались суперинтегрируемые магнитные геодезические потоки на двумерных поверхностях, имеющие сразу на всех уровнях энергии два дополнительных полиномиальных по импульсам первых интеграла степеней M=1 и N. При помощи метода Матвеева-Шевчишина (2011) в случае N=1 полностью описаны метрики, магнитные поля и соответствующие первые интегралы, а уравнения магнитных геодезических проинтегрированы в явном виде. В случае N=2 найдены определенные препятствия к существованию квадратичного интеграла как сразу на всех, так и хотя бы на одном уровне энергии.
7.1) Изучены топологические свойства классической задачи для биллиардной книжки, склеенной из 3 и более листов по общему ребру. Исследованы условия на линии склейки, обеспечивающие самосопряженность оператора Лапласа на этой книжке, и его спектральные свойства.
7.2) Изучены топологические свойства вырождающегося биллиарда с полужесткими стенками, отвечающего береговым волнам на воде – волнам Стокса–Урселла. Описана топология слоений Лиувилля, регулярные и особые слои. Показано, что бифуркация при вырождении компоненты импульса вдоль отвечает переходу волн Урселла в обобщенные собственные функции непрерывного спектра, описываемые с помощью функций Бесселя. Другая бифуркация – при вырождении энергии (типа эллипс в точку) отвечает переходу волн Урселла в волны Стокса.
Участники проекта ведут научно-образовательную деятельность:
- принята к защите докт. диссертация основного исполнителя М.В.Беловой (совет при ФИЦ ИУ РАН)
- защищены канд. диссертации членов коллектива Г.В.Белозерова (А.Т.Фоменко) и С.Е.Пустовойтова (А.Т.Фоменко, В.В.Ведюшкина) в совете МГУ
- 6 дипломов подготовлено под рук. членов коллектива (Ведюшкина, Белова, Миненков, Кибкало, Белозеров)
- на мехмате МГУ члены коллектива ведут спецкурс и научно-учебный семинар по тематике гранта, просеминар.
Участниками проекта с партнерами в Межд. Матем. центре «Сириус» организованы конференция и научная школа для студентов и аспирантов по темам гранта:
- Школа “ Современные геометрические и топологические методы в задачах механики ”, 6-14.04.2026. https://siriusmathcenter.ru/021s
- Конференция “Асимптотические, геометрические и качественные методы в приложении к механике и математической физике”, 13-17.04.2026. https://siriusmathcenter.ru/067w
Публикации
1. Туниянц Д.А., Ведюшкина В.В. Слоение Лиувилля ограниченного эллипсом биллиарда с полиномиальным потенциалом чётного порядка Математический сборник (год публикации - 2026)
2. Белозеров Г.В. Многомерные эллиптические биллиарды и их особенности Математический сборник (год публикации - 2026)