Анализ и управление потоками фильтрации однородных смесей при наличии термодинамических процессов и химических реакций

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 25-71-20008

НазваниеАнализ и управление потоками фильтрации однородных смесей при наличии термодинамических процессов и химических реакций

Руководитель Лычагин Валентин Васильевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №108 - Конкурс 2025 года на получение грантов РНФ по мероприятию «Проведение исследований на базе существующей научной инфраструктуры мирового уровня» Президентской программы исследовательских проектов

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые слова однородные термодинамиеские смеси, фильтрация, уравнения состояния, фазовые переходы, химические реакции, оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина, принцип максимума энтропии

Код ГРНТИ27.35.25

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящён разработке методов анализа, расчета и управления фильтрацией однородных термодинамических смесей, при наличии химических реакций, общих термодинамических процессов, а также с учетом внутренней структуры среды. В проекте уравнения состояния многокомпонентных однородных термодинамических смесей представляются как Лежандровы подмногообразия в термодинамическом фазовом пространстве, снабженные дополнительно структурой Риманова многообразия. Для описания процессов фильтрации используется также термодинамика движущихся сред, которая учитывает геометрию среды и инварианты римановых групп римановой голономии. Термодинамические процессы, такие как например, химические реакции и процессы тепломассообмена, при этом подходе рассматриваются как контактные векторные поля, что позволяет включить их естественным образом в уравнения, описывающие процессы фильтрации, а также указать методы оптимального управления, основанные на принципе махсимумма Понтрягина и принципе максимума энтропии. Более того, геометрическая интерпретация уравнений состояния, как Лежандровых многообразий в контактном термодинамическом фазовом пространстве, а термодинамических процессов как контактных векторных полей в этом пространстве, позволяет содержательным образом анализировать и предсказывать критические явления, такие как фазовые переходы, как первого, так и высших порядков, и ударные волны, возникающие в фильтрационных процессах и химических реакциях, а также конструктивно описывать процессы управления. Особое внимание, при этом, будет уделено процессам фильтрации, проходящим как при воздействии внешних полей, таких как электромагнитное и гравитационное, а также учитывающих внутреннюю структуру среды и дополнительные физико-химических процессы. В проект также включено также развитие термодинамики турбулентности, основанное на информационной и финслеровой геометрии, а также дальнейшее обобщение уравнений Навье-Стокса и отвечающим им уравнениям фильтрации. Практическая реализация выше указанного требует, в первую очередь, знания уравнений состояния среды. В случае, когда известны уравнения состояния компонент, например, если все они задаются уравнениями ван дер Ваальса, то можно найти и уравнения состояния однородной смеси, и тем самым явным образом записать уравнения фильтрации, полностью учитывающую термодинамику среды. На практике, и это составляет существенную часть проекта, необходимо получать уравнения состояния смеси из имеющихся экспериментальных данных. В проекте планируется создание математической модели и программного комплекса для нахождения вириальных разложений для уравнений состояния однородных систем на основании экспериментальных данных, и также нахождения соответствующих областей неустойчивости и фазовых переходов. В результате будет предложен метод нахождения потенциала Гельмгольца реальной системы и нахождения уравнений состояния. Результатом проекта должны быть как математические методы анализа и управления такими процессами, а также программные комплексы, позволяющие производить анализ и управление процессами в реальном времени. Кроме того будет продолжено наполнение библиотеки LychaginTeam/feslib, https://github.com/LychaginTeam получаемыми уравнениями состояния для однородных систем, а также уравнениями и фазовыми портретами химических реакций и других термодинамических процессов с анализом возможных критических явлений и оптимальных управлений.

Ожидаемые результаты
1) Создание комплекса программ, позволяющего находить уравнения состояния термодинамически однородных смесей на основе экспериментальных данных, а также нахождения соответствующих областей устойчивости и фазовых переходов как первого, так и высших порядков. 2) Разработка и анализ процесса фильтрации и управления на основе получаемых уравнений состояния и учитывающих как внутреннюю структуру среды, так и проходящие в среде термодинамические процессы, а также действующие внешние силы. 3) Анализ будет учитывать возможные критические явления (такие как фазовые переходы и области неустойчивости), возникающие в процессе фильтрации. 4) Предполагается протестировать предлагаемые методы и программы на примерах расчета конкретных газовых месторождений. 5) Будут разработаны также дифференциально-геометрические методы анализа уравнений фильтрации, учитывающие как термодинамические процессы, так и геометрию среды, в частности, римановы группы голономии и их вклад в термодинамику движущихся сред. 6) Разработать методику оптимального управления термодинамическими процессами, в частности химическими реакциями на основе контактной геометрии и принципа максимума Понтрягина. 7) Предложить методы оптимального управления и планирования интенсивностью как в существующей так и вновь создаваемой системы скважин. 8) Используя методы финслеровой и информационной геометрии, получить обощение уравнений Навье-Стокса на случай случайных векторных полей и уравнений фильтрации, учитывающих турбулентность проходящих процессов. 9) Нахождение симметрий,законов сохранения и дифференциальных инвариантов систем дифференциальных уравнений фильтрации, а также поиск интегрируемых структур и нахождение точных решений (см., например I.S. Krasil’shchik, O.I. Morozov, The Calogero--Bogoyavlenskii--Schiff breaking soliton equation: recursion operators and higher symmetries, Journal of Geometry and Physics Volume 192, October 2023, 104927 и I.S. Krasil’shchik, O.I. Morozov, The equations of the Darcy--Brinkman flow: the Lie symmetry classification, conservation laws, and traveling wave solutions, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, V. 44, no. 9, 3941--3944

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Разработан алгоритм нахождения потенциалов Гельмгольца, основывающийся на численной аппроксимации вириальных разложений, получаемой из экспериментальных данных, и на основе этого алгоритма создан и протестирован пакет программ для нахождения уравнений состояния реальных газов и построения отвечающим им Лежандровых многообразиям. Разработанный пакет программ обеспечивает обработку экспериментальных данных (P–V–T) и определение нескольких первых вириальных коэффициентов с оценкой их погрешностей. На основе полученного вириального разложения реализована возможность построения приближённых уравнений состояния. Работа комплекса включает систематизацию и предварительную обработку экспериментальных данных, их численную аппроксимацию, построение функциональных зависимостей для вириальных коэффициентов, оценку качества модели и визуализацию результатов. Проведённая апробация на широком наборе экспериментальных данных подтвердила корректность реализованных методов и точность вычислений. В рамках работы выполнено развитие библиотеки классов FESLIB (доступна в открытом репозитории: github.com/LychaginTeam/feslib). FESLIB содержит набор функций и демонстрационных примеров, предназначенных для исследования фазовых переходов, термодинамической устойчивости и процессов фильтрации. В библиотеке реализованы различные уравнения состояния, что обеспечивает её применение в задачах моделирования реальных газов и анализа их фазовых превращений. В работе Ермолаева А.И., Ахметзянова А.В., Латипова А.Р. «Управляемый случайный поиск и отношение правдоподобия в задачах булева программирования» (Автоматика и Телемеханика), показано, что управление потоками фильтрации однородных смесей (нефти, газа) и сопутствующие термодинамические процессы напрямую зависят от геометрии размещения источников и стоков (нагнетательных и добывающих скважин). Формализованы эвристические правила рационального размещения, направленные на обеспечение равенства областей дренирования и максимального охвата пласта, что является необходимым условием для стабильности фильтрационных потоков и предотвращения преждевременных прорывов флюидов. Предлагаемая математическая модель сводит задачу к линейному булеву программированию, где целевая функция учитывает запасы углеводородов и взаимное расположение блоков залежи. На базе вычислительных экспериментов показано, что предложенный алгоритм управляемого случайного поиска позволяет находить решения, близкие к оптимальным, значительно быстрее точных методов (метода ветвей и границ), особенно для задач большой размерности (сотни блоков и десятки скважин). Это имеет критическое значение при моделировании сложных процессов фильтрации с учетом химических реакций и термодинамики, так как позволяет оперативно определять начальную конфигурацию системы разработки без необходимости проведения ресурсоемких гидродинамических расчетов на этапе предварительного проектирования. Для (2 + 1) уравнений Эйлера была построена локальная вариационная структура Пуассона и Гамильтонов оператор. Обратная структура определила нелокальную симплектическую структуру на уравнении Эйлера. Описаны также действия Гамильтонов оператора на бесконечно малые контактные симметрии в терминах дифференциальных накрытий над уравнением Эйлера. Кроме того, построен нелокальный оператор рекурсии для косимметрий и локальная вариационная структура Пуассона для уравнения Эйлера в виде завихренности на двумерных римановых многообразиях. Эти результаты были опубликованы в этом году в работе I.S.Krasilshchik, O.I.Morozov. Integrability structures of the (2+1)-dimensional Euler equation в Journal of Geometry and Physics, Volume 215, September 2025, 105543. В работе Lychagin V.V. On geometry of turbulent flows, Journal of Geometry and Physics 217 (2025) 105646. применялся метод геометризации случайных векторов, к турбулентным средам, которые мы понимаем как случайные векторные поля на базовых многообразиях. Это приводит к возникновению различных геометрических структур как на касательных, так и на кокасательных расслоениях. Среди них наиболее важной является метрика Махаланобиса на касательном расслоении, которая позволяет получить все необходимые ингредиенты для описания течений и фильтраций в турбулентных средах. Рассмотрены приложения к потокам реальных газов, которые определяют турбулентные среды на основании статистики Максвелла–Больцмана. Потоки в таких средах описываются обобщенными уравнениями Навье-Стокса, которые описываются как потоки на Римановых многообразиях с метрикой, зависящей от температуры и давления. Если наряду с движением жидкости происходят дополнительные термодинамические процессы, такие как тепло и массообмен, или химические реакции в этом случае возникает необходимость задать контактные векторные поля для представления этих дополнительных процессов. Вместе с уравнениями Навье–Стокса эти уравнения состояния позволяют нам описать эволюцию всех термодинамических переменных в ходе технологического процесса. Итак, турбулентная структура на многообразии приводит к следующей геометрической картине. Во-первых, это многообразие Лежандра, которое определяет две функции: гамильтониан, который также известен в статистической физике как свободная энергия, а также лагранжиан, который соответствует приросту информации, и преобразование Лежандра, которое преобразует гамильтониан в лагранжиан и служит заменой музыкальному изоморфизму в римановой геометрии. Гессиан лагранжиана, наряду с касательным структурным оператором, определяет горизонтальную квадратичную форму на касательном расслоении, называемую метрикой Махаланобиса. Это позволяет определить риманову метрику, а также аффинную связность для любого гладкого векторного поля на базовом многообразии. Векторные поля, описывающие потоки в турбулентной среде, это векторные поля являющееся средними значениями случайного векторного поля, которое представляет турбулентную среду. Ограничение метрики Махаланобиса на сечение касательного расслоения, соответствующее среднему векторному полю, индуцирует квадратичную положительно определенную дифференциальную форму, а также связность Леви-Чивиты на базовом многообразии. Таким образом, получаются все необходимые ингредиенты для построения уравнений Навье–Стокса в турбулентных средах.

Публикации

1. Лычагин В.В. On geometry of turbulent flows Journal of Geometry and Physics Volume 217, November 2025, 105646, Journal of Geometry and Physics 217 (2025) 105646 (год публикации - 2025)
10.1016/105646

2. Красильщик И.С., Морозов О.И. Integrability structures of the (2 + 1)-dimensional Euler equation Journal of Geometry and Physics, 215 (2025) 105543 (год публикации - 2025)
https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2025.105543

3. И.С. Красильщик On variational bivectors Lobachevskii Journal of Mathematics, 2025, № 11 (год публикации - 2025)

4. Ермолаев А.И., Ахметзянов А.В., Латипов А.Р. Управляемый случайный поиск и отношение правдоподобия в задачах булева программирования Автоматика и телемеханика (год публикации - 2026)