КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 25-71-30001

НазваниеМатематические основы и разработка многомерных дискретных алгоритмов для высокопроизводительных систем и методов машинного обучения

Руководитель Аптекарев Александр Иванович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное учреждение "Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук" , г Москва

Конкурс №107 - Конкурс 2025 года по мероприятию «Проведение исследований научными лабораториями мирового уровня в рамках реализации приоритетов научно-технологического развития Российской Федерации» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые слова Дискретный комплексный анализ, граф ближайших соседей, коррекция ошибок искусственного интеллекта, классификация текстов, квантовые вычисления, гибридные вычислительные архитектуры, случайные матрицы, спектральный анализ, многомерные разностные операторы, рациональные аппроксимации, асимптотический анализ, уравнения Эйлера-Пуассона, изобарические среды, гидродинамические уравнения, равновесные меры

Код ГРНТИ27.27.00

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Развитие инновационной деятельности в настоящее время связано с созданием математического и программного обеспечения, способного инкорпорировать в себя технологии искусственного интеллекта, такие как анализ больших данных, нейронные сети, машинное обучение. При этом реализация указанных технологий должна быть ориентирована на использование суперкомпьютерных вычислительных систем эксафлопсного уровня. Проект направлен на решение указанной проблемы, которая имеет важное значение с точки зрения перспектив технологического суверенитета. Для ее эффективного решения необходима теоретическая разработка новых классов дискретных алгоритмов, опирающихся как на традиционные методы конечной математики, так и на статистические методы и методы комплексного анализа. В рамках проекта будут рассмотрены следующие задачи. 1. Будут исследованы статистические характеристики распределений случайных графов ближайших соседей, построенных на данных, полученных с использованием криптографически надежных генераторов псевдослучайных чисел (ГПСЧ). Будет проведено тестирование и сравнение получаемых статистик с характеристиками распределений, полученных для генераторов, основанных на ГПСЧ Вихря Мерсенна, по результатам которого будут разработаны новые критерии независимости данных, основанных на анализе статистических характеристик распределений случайных графов ближайших соседей. Будет построен алгоритм коррекции ошибок автоматической классификации больших массивов текстов на естественных языках по их атрибутам. Новый метод распознавания принадлежности фрагмента неструктурированных данных к определенной категории основывается на том, что структура данных определяется набором эталонных распределений, близость к которым в определенных нормах позволит классифицировать меняющуюся по времени или от фрагмента к фрагменту выборочную функцию распределения. Будут разработаны методы реализации булевых функций и булевых операторов в классах легкотестируемых либо самокорректирующихся схем из функциональных элементов, контактных схем и других математических моделей реальных цифровых устройств, что актуально не только в связи с практическим их применением, но и с развитием теоретических оснований для построения алгоритмов логически прозрачного искусственного интеллекта. 2. Будут изучаться разностные уравнения высокого порядка на многомерных целочисленных решетках. Для дискретных операторов, связанных с рекуррентными соотношениями вдоль «степлайнов», открывается широкое поле современных, востребованных приложений. Во-первых, от векторных непрерывных дробей мы перейдем к построению многомерной теории канонических систем Де Бранжа. Во-вторых, спектральная теория дискретных операторов высокого порядка позволит для ансамблей случайных нормальных матриц математически строго описать распределения их собственных значений. В-третьих, мы получим асимптотики частных решений q-разностных уравнений высокого порядка, связанных с квантовыми группами. Для этих задач предлагается развить новые асимптотические подходы, основанные на методах комплексного анализа. 3. В теории систем законов сохранения есть ситуации, когда традиционные разрывные решения не существуют. Приближенные методы, основанные на введении малой вязкости, показывают, что необходимо рассматривать решения, так или иначе содержащие дельтаобразные особенности. Интерпретация таких особенностей для нелинейных систем является проблемой. Система уравнений Эйлера-Пуассона для изобарических сред представляет собой удобный контекст для изучения дельтаобразных особенностей в нелинейных уравнениях. Для случая нескольких, даже двух, пространственных переменных общая теория подобных систем отсутствует. Сложность многомерного случая состоит в том, что в процессе эволюции в обобщенных решениях возникает иерархия особенностей, содержащая дельтаобразные особенности на многообразиях разной размерности. Этот процесс в значительной степени не изучен и представляет собой новую задачу.

Ожидаемые результаты
1. Будут исследованы статистические характеристики распределений графов ближайших соседей, построенных на случайных данных, генерируемых с использованием криптографически надежных псевдослучайных генераторов. Также будет проведено тестирование статистических критериев независимости данных, основанных на собранных статистиках графов ближайших соседей, построенных на случайных данных, генерируемых с использованием криптографически надежных псевдослучайных генераторов. Будет проведено сравнение различных алгоритмов распознавания автора текста на полном корпусе литературных произведений на русском языке с целью выявления структуры ошибок и разработке методов их коррекции. Ожидаемые результаты улучшат точность машинной обработки больших массивов данных. Развиваемые методы могут быть использованы во многих прикладных областях, связанных с анализом высокоинтенсивных потоков событий в задачах телеметрии и биометрии. Внедрение результатов настоящего проекта повысит предсказательную точность алгоритмов искусственного интеллекта и повысит эффективность управления сложными процессами в условиях неполной информации. 2. Предполагается построить теорию Крейна для операторов высокого порядка. Для этого планируется исследовать векторные аналоги таких классических объектов, как цепные дроби, функции Вейля, проблема моментов. Построение этой теории даст мощный инструмент для решения появляющихся в последние годы открытых прямых и обратных спектральных задач для многомерных и (или) высокого порядка дифференциально-разностных операторов. В этих задачах сочетание дискретных и непрерывных входных данных характерно как для прямых, так и для обратных постановок. Кроме того, будут исследованы алгебраические и предельные свойства решений разностных уравнений на целочисленных решетках. Конкретно, для ансамблей случайных нормальных матриц (коммутирующих со своей сопряженной) с не интегрируемыми (по всей комплексной плоскости) функциями распределений, планируется найти функции совместного распределения их собственных значений. При этом, будут использованы рекуррентные соотношения высокого порядка для многочленов, ортогональных по отношению к плоской лебеговской мере, с носителем в комплексной плоскости на предельном множестве, заполняемым собственными значениями, при стремлении размера матриц к бесконечности. В задаче о q-рекуррентных соотношениях, связанных с гипотезой объёма, предполагается разработать процедуру, позволяющую применять ВКБ - асимптотический анализ для частных решений (последовательности окрашенных многочленов Джонса) и разработать комплекс компьютерных программ для численной проверки гипотезы объёма для узлов с большим количеством пересечений с помощью ВКБ - анализа q-рекуррентных соотношений. 3. Ожидается получить представление различных видов особенностей для обобщенных решений уравнения Эйлера-Пуассона в случае изобарических сред на основе использования принципа динамики прилипания, рассмотреть двумерный и трехмерный случаи в условиях отсутствия и наличия гравитации. Для многомерных гиперплоскостей с особенностью плотности предполагается получить описание, не требующее решения дифференциальных уравнений. На уровне численных расчетов ожидается воспроизвести картину возникновения и взаимодействия сильных особенностей в двумерном случае. Предполагается разработать алгоритм для решения трехмерных задач в средах без давления для высокопроизводительных вычислительных средств гибридной архитектуры; с помощью данного алгоритма предполагается воспроизвести на качественном уровне современные представления о крупномасштабной структуре Вселенной. Предполагается, что полученная группа результатов позволит получить общую картину эволюции особенностей в средах без давления без учета и с учетом гравитации. Получение такой картины представляет собой нерешенную научную проблему мирового уровня. Разработанные теоретические представления и численные методы могут быть использованы в программных комплексах, посвященных решению таких задач совершенно различной природы, как течения при наличии порошковых сред (например, при работе твердотопливных ракетных двигателей с двухфазными продуктами сгорания) и космология в больших масштабах. Предполагается изучить свойства статистических решений и равновесных состояний многомерных моделей систем взаимодействующих частиц в непрерывном поле (Дирака, Максвелла-Дирака и т.п.) и построить их гидродинамическое описание. Это позволит исследовать одну из центральных проблем статистической физики - проблему вывода гидродинамических уравнений из уравнений движения системы частиц – на примере новых многомерных моделей.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---