Аннотация результатов, полученных в 2014 году
Предложен новый подход к проблеме жёсткости эквивариантных родов Хирцебруха. В рамках этого подхода каждому ориентированному гладкому многообразию несущему гладкое действие компактного тора с изолированными неподвижными точками сопоставлено функциональное уравнение жёсткости и градуированное коммутативное кольцо жёсткости. Эти новые инварианты описаны для торических многообразий в терминах комбинаторных данных, а для однородных пространств компактных групп Ли на основе результатов классической теории групп Ли. Предъявлены многообразия, функциональные уравнения жёсткости которых характеризуют важнейшие роды Хирцебруха: сигнатуру, род Тодда, род Кричевера. (Бухштабер). Найден явный вид коцикла, представляющего специальный одномерный класс когомологий графа бизвёздных преобразований ориентированных двумерных симплициальных сфер. Этот коцикл был введён А.А. Гайфуллиным в 2004 году и играет ключевую роль в его построении явной комбинаторной формулы для первого класса Понтрягина триангулированного многообразия. В результате получена более эффективная явная локальная комбинаторная формула для первого класса Понтрягина.(Гайфуллин). В явном виде вычислен фактор по кручению целочисленного кольца когомологий симметрических степеней CW-комплексов. Полученный  результат основан на лемме целочисленности, доказанной Д.В.Гугниным в 2012 г. В качестве основного приложения данного результата получено полное доказательство знаменитой теоремы Макдональда 1962 г.,  вычисляющей кольца целочисленных когомологий симметрических степеней компактных римановых поверхностей. (Гугнин). а) Получена конструкция эквивариантного вещественно-алгебраического мономиального вложения для квазиторических многообразий в линейные пространства. Получена оценка на размерность пространства вложения, что представляет особый интерес, поскольку общая теорема Мостова-Пале об эквивариантном вложении ничего не утверждает о размерности пространства вложения. Размерность оценивается сверху удвоенным числом ребер и вершин соответствующего простого многогранника. Получена связь между весами действия тора на квазиторическом многообразии и весами соответствующего вложению линейного представления компактного тора большой размерности. б) Для произвольного квазиторического многообразия построено проективное эквивариантное вложение, обобщающее голоморфное вложение проективных торических многообразий. Этот результат может быть особо интересен для симплетической геометрии, поскольку позволяет увидеть проективное вложение для симплектического торического многообразия, полученного методом симплектической редукции. В случае общего квазиторического многообразия обратный образ во вторых когомологиях всегда нетривиален и может быть вычислен явно в терминах комбинаторных данных (Кустарёв). Показано, что существует ровно 110244 комбинаторно неэквивалентных пятимерных параллелоэдров. (Гарбер). Доказано, что в когомологиях момент-угол многообразий некоторых граф-ассоциаэдров содержится произвольное кручение во всех размерностях, начиная с 5, причем в сериях пермутоэдров и стеллаэдров, все многогранники в этих размерностях дают кручение в целочисленных когомологиях момент-угол многообразий. Получена характеризация наличия нетривиального кручения в кольцах когомологий момент-угол комплексов граф-ассоциаэдров, частным случаем которой является результат о пермутоэдрах и стеллаэдрах. В качестве следствия, в случае многогранников Сташефа и многогранников Ботта-Таубса кольца целочисленных когомологий момент- угол многообразий свободны от кручений. С другой стороны, в когомологиях момент-угол многообразий граф-ассоциаэдров, графы которых имеют связные компоненты не более чем на 5 вершинах, кручений нет. Доказано, что для всех граф-ассоциаэдров, связные компоненты графов которых содержат не более 4 вершин, в целочисленных когомологиях момент-угол многообразий есть нетривиальные тройные произведения Масси. Таким образом, указанные граф-ассоциаэдры дают в качестве момент-угол многообразий бесконечный класс примеров гладких замкнутых многообразий, не являющихся формальными с точки зрения рациональной теории гомотопий. (Лимонченко). Классифицированы все CP(2)-мультипликативные роды Хирцебруха. Показано, что неспециальный CP(2)-мультипликативный род является двупараметрическим родом Тодда, а специальный CP(2)-мультипликативный род является новым родом. Последний является частным случаем как рода Кричевера, так и общего эллиптического рода. (Бухштабер, Нетай). В рамках исследования геометрии некэлеровых комплексных структур на момент-угол-многообразиях Z доказано существование специальных слоений и трансверсально-кэлеровых форм на этих многообразиях при некоторых ограничениях на комбинаторные данные, определяющие эти многообразия. Построенные трансверсально-кэлеровы формы использованы для описания кривых, дивизоров и общих комплексных подмногообразий в Z для комплексных структур общего положения. В частности доказано, что алгебраическая многообразия Z в общем положении равна 0 (отсутствуют непостоянные мероморфные функции). (Панов). Завершена работа над монографией "Toric Topology" (520 стр.), которая принята к печати в издательстве Американского Математического Общества и будет опубликована в 2015 г. в одной из самых известных серий "Mathematical Surveys and Monographs". (Бухштабер, Панов). Действие тора (S^1)^m на связном топологическом пространстве X называется максимальным, если для некоторой точки x\in X размерность пространства X есть сумма размерности стабилизатора точки x и размерности тора - m. Мы изучаем геометрию компактных комплексных многообразий M, допускающих максимальной действие тора, сохраняющее комплексную структуру на M. Действие тора на всяком таком многообразии продолжается до действия группы (C^*)^m. Нами доказано, что всякое компактное комплексное многообразие с максимальным действием тора допускает трансверсально кэлерову форму, если частично-упорядоченное множество (C^*)^m-орбит изоморфно частично-упорядоченному множеству граней "симплициального разрешения" выпуклого многогранника. В качестве приложения описаны все аналитические подмножества на общей эквиваринатной деформации таких многообразиях. В частности, доказано, что все они являются замыканиями (C^*)^m-орбит. (Устиновский). Изучены аналоги действия алгебры Ландвебера-Новикова на кольце кобордизмов. Построено хопфовское действие алгебры Лейбница-Хопфа на кольце симплициальных комплексов. Изучено действие алгебры Ландвебера-Новикова на парах (простой многогранник, характеристическая функция). Действие явно вычислено в случае, когда степень элемента равна размерности многогранника, то есть дан алгоритм вычисления характеристичских чисел. (Ероховец). Получена явная формула для особого вектора в модуле Верма серии S_{n,2} в том же виде, что и известная формула Бенуа-Сент-Обана для случая S_{n,1}. Этот результат дает возможность выписать явно все матричные элементы в дифференциалах резольвенты Роча-Карриди-Уоллаха-Фейгина-Фукса алгебры L_1 («нильпотентная часть алгебры Вирасоро»). Как следствие получен эффективный алгоритм подсчета когомологий алгебры L_1 с коэффициентами в любом L_1-модуле. (Миллионщиков). Доказана теорема о том, что всякий h-параллелоэдр (то есть выпуклый многогранник, который допускает разбиение пространства своими гомотетами) удовлетворяет всем трем условиям Минковского-Венкова для параллелоэдров. Таким образом, доказано, что всякий h-параллелоэдр является стандартным параллелоэдром. Доказано: если во множестве Делоне X все 2R-кластеры антиподальны, то и множество X в целом центрально симметрично относительно каждой своей точки. Доказано, что локально антиподальное множество Х при условии N(2R)=1 является правильной системой. Доказно, что всякое локально антиподальное множество является кристаллом, то есть кристаллографической орбитой некоторого конечного множества. (Долбилин). Исследован класс совершенных призмоидов. Совершенные призмоиды связаны с гипотезой Калаи о том, что у любого выпуклого центрально-симметричного многогранника не менее 3^d граней, а ровно 3^d граней, содержат только многогранники Ханнера. Любой многогранник Ханнера является совершенным призмоидом (обратное не верно). Доказано, что любой совершенный призмоид аффинно эквивалентен некоторому 0/1-многограннику той же размерности. Это означает, что любой совершенный призмоид является решётчатым многогранником. Также доказано, что любой совершенный призмоид аффинно эквивалентен некоторому решетчатому многограннику Делоне. (Козачок).

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Кольцо комплексных кобордизмов изоморфно кольцу полиномов от счетного числа образующих (теорема Милнора--Новикова). В рамках знаменитой проблемы Милнора—Хирцебруха решена известная задача, а именно, доказано, что в качестве полиномиальных образующих этого кольца можно выбрать последовательность гладких проективных торических многообразий. Доказательство основывается на использовании семейства эквивариантных модификаций (бирациональных изоморфизмов) произвольного комплексного гладкого многообразия. В качестве приложения получено, что любой комбинаторно жесткий род Хирцебруха является специализацией двупараметрического рода Тодда. В рамках обобщённой проблемы Милнора—Хирцебруха показано, что в размерностях больше четырёх любой набор чисел Чженя реализуется связным многообразием с почти комплексным действием двумерного тора. Это усиливает известный результат о том, что любой набор чисел Чженя реализуется связным почти комплексным многообразием. Замкнутое n-мерное многообразие называется универсальным многообразием в проблеме реализации циклов (коротко – URC-многообразием), если любой n-мерный целочисленный класс гомологий любого топологического пространства может быть с некоторой кратностью реализован образом фундаментального класса некоторого конечнолистного накрытия над этим многообразием. Проблема существования URC-многообразий была недавно решена А.А. Гайфуллиным. Простейшее из ранее известных n-мерных URC-многообразий – так называемое многообразие Томеи является малым накрытием над n-мерным пермутоэдром. Найден ряд более простых примеров URC-многообразий среди малых накрытий над граф-ассоциэдрами. Простейшими найденными примерами URC-многообразий являются малые накрытия над обычными ассоциэдрами (многогранниками Сташефа). Эти многообразия устроены гораздо проще, чем многообразия Томеи (например, имеют гораздо меньшие числа Бетти), так как ассоциэдр имеет гораздо меньше гиперграней, чем пермутоэдр. Симметрические степени римановых поверхностей играют важную роль в ряде направлений математики и математической физики. Показано, что к открытому многообразию Z^2n_gk, являющемуся n-й симметрической степенью компактной Римановой поверхности рода g с k проколами можно канонически пришить край Q^(2n-1)_gk. Доказано, что при n>2 фундаментальная группа данного края Q^(2n-1)_gk является свободной абелевой группой ранга s=2g+k-1. В стабильной размерности n>s+1 показано, что край Q^(2n-1)_gk не имеет кручения в целочисленных гомологиях и вычислены его числа Бетти. В июле 2015 г. опубликована монография "Toric Topology" в одной из самых известных серий "Mathematical Surveys and Monographs" Американского Математического Общества, в соответствии с заявленным планом на 2015 г. В монографии изложены понятия и результаты новой, активно развивающейся области исследований исследований на стыке комбинаторики, топологии, алгебраической и симплектической геометрии. Одним из фундаментальных приложений торической топологии явилось построение квазиторических многообразий --- широкого класса гладких многообразий с эффективным действием компактного тора. Актуальной стала задача эффективизировать классические теоремы вложения (Громова—Тышлера, Мостова—Пале, Кодаиры) в случае таких многообразий. Для квазиторического многообразия M, полученного факторизацией момент-угол многообразия Z_P по гладкому действию торической подгруппы K, и характера этой группы K дан алгоритм построения эквивариантного вложения квазиторического многообразия M в комплексное проективное пространство. Показано, что в случае, когда M - торическое многообразие, это вложение совпадает с проективным вложением, известным из алгебраической геометрии. Описан класс колец Стенли-Райснера, тор-алгебры которых имеют тривиальное над любым полем умножение Колмогорова-Александера и тривиальны все высшие операции Масси, а также класс колец Стенли-Райснера минимально неголодовских симплициальных комплексов. Построен класс симплициальных комплексов, целочисленные гомологии полных подкомплексов которых свободны, но их момент-угол комплексы не гомотопически эквивалентны букетам сфер. Это решает известную актуальную проблему в торической топологии. Получены необходимые и достаточные условия того, что операция подстановки симплициальных комплексов в комплекс, введенная А.Айзенбергом и обобщающая операцию мультибукета, дает комплекс Голода или минимально неголодовский комплекс. Найден вид универсальной формальной группы, экспонентой которой является эллиптическая функция уровня 3. Для эллиптической функции уровня 3 явно заданы её выражения как в терминах эллиптических функций, так и функций Бейкера-Ахиезера. Сопоставление этих результатов с полученными ранее позволило описать все роды Хирцебруха, жёсткие на СP(2), и предъявить различные модели эллиптических кривых, определяющие один и тот же род. Получено явное описание образующих алгебры Понтрягина (гомологий пространства петель) момент-угол-комплексов и пространств Дэвиса Янушкевича как итерированных высших произведений Самельсона канонических одномерных классов. Эти произведения Самельсона сопряжены высшим произведениям Уайтхеда канонических двумерных сферических классов. Исследованы классы момент угол-комплексов, для которых алгебра Понтрягина является свободной ассоциативной алгеброй и ассоциативной алгеброй с одним соотношением. Геометрически это соответствует случаю букета сфер и связной суммы произведений сфер; тем самым получены новые семейства симплициальных комплексов, для которых соответствующий момент-угол комплекс имеет столь явно описываемый гомотопический тип. Образом отображения моментов квазиторического многообразия является простой многогранник. Актуальной стала задача получения простого многогранника при помощи элементарных перестановок. В связи с этим развита теория усечений простых многогранников. Введена и исследована операция граф-усечения простых n-мерных многогранников, использующая понятие графа набора граней коразмерности два данного простого многогранника. Дан критерий того, что полученный в результате граф-усечения многогранник, является простым. Показано,что эта операция переводит флаговый многогранник во флаговый. Исследована операция (s,k)-усечения простых трёхмерных многогранников, представляющая собой срезку s последовательных рёбер k-угольной грани. Обратная операция является распрямлением вдоль ребра и не всегда определена. Она определена для любого ребра тогда и только тогда, когда многогранник является флаговым. В отчётный период показано, что для простых трёхмерных многогранников, у которых все двумерные грани являются пятиугольниками или шестиугольниками, кроме не более одной исключительной грани, которая является четырёхугольником или семиугольником, определена операция распрямления вдоль любого ребра. При этом результат является флаговым многогранником тогда и только тогда, когда пересечение ребра с четырёхугольной гранью не является вершиной. http://arxiv.org/abs/1510. Применение когомологических методов и аппарата бесконечномерных алгебр Ли (алгебры Вирасоро и алгебр токов простых алгебр Ли) позволило классифицировать важный класс естественно градуированных алгебр Ли квазифилиформного типа. На основе этой классификации найдены ограничения на скорость убывания размерностей идеалов нижнего центрального ряда нильпотентной алгебры Ли с интегрируемой комплексной структурой. По классическим проблемам выпуклой геометрии получены следующие результаты: Теорема 1. Локально антиподальное разбиение пространства R^d центрально симметрично в целом относительно центра любого тайла. Однако антиподальности лишь тайлов разбиения недостаточно для анти- подальности 1-корон и тем более для антиподальности разбиения «в целом». Теорема 2. Локально антиподальное разбиение однозначно определяется своей 1-короной, то есть если два локально антиподальных разбиения имеют общую 1-корону, то разбиения совпадают в целом. Из теоремы 2, в частности, следует Теорема 3. Локально антиподальное разбиение, в котором все 1-короны попарно конгруэнтны, является изоэдральным. Установлена теорема для локально антиподальных множеств Делоне о том, что эквивалентность 2R-кластеров имплицирует правильность множества Делоне в пространстве любой размерности в терминах R, независимо от другого параметра r множества Делоне. Завершается работа над статьей обзорного характера «Локальная идентичность и глобальный порядок» (предварительное название). Исследовано частично упорядоченное множество орбит борелевской подгруппы, действующей на сферическом кратном многообразии флагов. Для случая обычного многообразия флагов эти орбиты являются клетками Шуберта, а возникающий на них порядок есть хорошо известный порядок Брюа. Описаны комикровесовые многообразия флагов; их геометрия ранее исследовалась в работе П.Ахингера и Н.Перрена, однако вопрос о комбинаторной структуре орбит ранее изучался только для групп типа А. Для всех сферических комикровесовых кратных многообразий флагов полупростых алгебраических групп получена полная классификация В-орбит и описан слабый порядок Брюа порядок на их множестве. Момент-угол-комплекс Z_K представляет собой пространство с действием тора, сопоставляемое симплициальному комплексу K. Соответствие К -→Z_K лежит в основе торической топологии. В случае, когда K --- триангуляция сферы, Z_K представляют собой гладкие многообразия обладающие фундаментальными геометрическими структурами. Образующие алгебры когомологий пространства петель на Z_K в случае,когда K --- флаговый комплекс, были описаны ранее. Стала задача описания соотношений в таких алгебрах. В ходе работ по проекту эта задача решена в случае когда K --- граница пятиугольника или шестиугольника. В этом случае известно, что Z_K представляет собой связную сумму произведений сфер, по две сферы в каждом произведении (результат Макгаврана). Таким образом в алгебре Понтрягина имеется всего одно соотношение, которое и найдено. Отсюда, в частности, следует результат Макгаврана. Этот результат оказался нетривиальным, а именно полученные соотношения в алгебре Понтрягина включают итерированные произведения Уайтхеда, образы которых при гомоморфизме Гуревича нулевые. Поэтому эти соотношения нельзя получить, опираясь только на результат Макгаврана. Описаны конструкции фуллеренов с числом шестиугольников p6 не больше семи. Опираясь на результаты В. М. Бухштабера и Н. Ю. Ероховца о том, что любой фуллерен может быть получен из додекаэдра при помощи только 7 операций усечения, предъявлены последовательности операций, позволяющие получить фуллерены c p6 не больше семи из куба и додекаэдра.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Момент-угол-многообразия образуют широкий класс некэлеровых компактных комплексных многообразияй. Комплексное момент-угол-многообразие Z строится по некоторому набору комбинаторных данных, называемому полным симплициальным веером. В случае рациональных вееров многообразие Z является пространством голоморфного расслоения над торическим многообразием со слоем компактный комплексный тор. В общей ситуации, комплексное момент-угол-многообразие Z снабжено каноническим голоморфным слоением F, которое эквиваринатно по отношению к (C*)^m-действию. Примеры момент-угол многообразий включают многообразия Хопфа, многообразия Калаби-Экмана и их деформации. Нами построены трансверсально кэлеровы метрики на момент-угол-многообразиях, при некоторых ограничениях на комбинаторные данные. Доказано, что любое кэлерово подмногообразие (или подмногообразие Фудзики класса C) в момент-угол-многообразии содержится в листе слоения F. Для момент-угол-многообразия Z общего положения в своём комбинаторном классе доказано, что все подмногообразия являются момент-угол-многообразиями меньшей размерности. Это означает, в частности, что алгебраическая размерность Z равна нулю, то есть Z не допускает непостоянных мероморфных функций. Опубликовано: Panov, T., Ustinovskiy, Y. Verbitsky, M. Math. Z. (2016) 284: 309. http://link.springer.com/article/10.1007/s00209-016-1658-1, arXiv:1308.2818. Изучены коциклы в коцепном комплексе T^* нечётных функций на множестве ориентированных комбинаторных триангуляций сфер, задающие локальные формулы для рациональных классов Понтрягина. В результате вычислены значения коцикла, соответствующего k-ому классу Понтрягина, на границах 4k-мерных циклических многогранников с не более чем 6k+1 вершинами. Построены примеры универсальных многообразий в проблеме реализации циклов (URC-многообразий), гораздо более простые чем известные ранее. Доказано, что URC-многообразиями являются: (1) все ориентируемые малые накрытия над граф-ассоциэдрами для связных графов, (2) двулистные ориентируемые накрытия всех неориентируемых малых накрытий над граф-ассоциэдрами, отвечающими связным графам. Впервые построена серия URC-многообразий, полное число Бетти которых растёт экспоненциально с ростом размерности. Опубликовано: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=8714&option_lang=rus Для любого целого положительного n дана конструкция t-множества X на R^2, в котором N(a) конечно при любом a меньше nt и N(a) бесконечно при любом a больше nt, где N(a)-число неизоморфных кластеров радиуса a. Доказан локальный критерий правильности t-множества: Пусть для t-множества X в R^d существует такое a_0, что выполняются два условия: (1) N(a_0+t) = 1; (2) для некоторой точки x из X следующие группы S_x(a_0) и S_x(a_0+t) совпадают. Тогда (1) Группа симметрий G множества X действует транзитивно на X транзитивно. (2) Для любой точки x из X aff(C_x(a_0)) = aff(C_x(a_0+t))= aff(X). Подготовлена статья в архиве: N.Dolbilin, Delone Sets: Local Identity and Global Order, https://arxiv.org/abs/1608.06842 Найден вид универсальной формальной группы, экспонентой которой является эллиптическая функция уровня 4. Ранее решения этой задачи были известны лишь для уровней 2 и 3. Решение найдено в виде алгебраического соотношения на функции, задающие вид формальной группы Бухштабера. Получены результаты о кольце её коэффициентов. Известно, что не существует конечного набора операций роста, такого чтобы граф связей фуллеренов был связен. Получено эффективное описание трёх классов многогранников, состоящих из фуллеренов и фуллеренов с особенностью, и соответствующих конечных наборов операций роста, таких что граф связей связен и содержит все фуллерены. Первый класс состоит из фуллеренов, а также фуллеренов с особенностью – 4-угольной гранью и фуллеренов с особенностью – 7-угольной гранью, такой что семиугольник граничит с некоторым пятиугольником, и либо к нему подходит ребро–пересечение двух 5-угольников, на другом конце которого лежит 6-угольник, либо из любых двух смежных 5-угольников ровно один смежен с 7-угольников. Второй класс является подклассом в первом классе и состоит из многогранников без 4-угольников. Третий класс является подклассом во втором классе. Он состоит из фуллеренов и фуллеренов с особенностью-7-угольной гранью, соседней с 5-угольником, без смежных 5-угольников. Чем меньше класс многогранников, тем больше требуется операций роста. Все операции являются композициями усечений рёбер и усечений пар смежных рёбер. Опубликована статья Victor M.Buchstaber, Nikolay Yu.Erokhovets, “Finite sets of operations sufficient to construct any fullerene from C_20”, Structural Chemistry, 2016, 1–10, http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11224-016-0885-8, arXiv:1611.05298 Описаны способы построения всех фуллеренов с числом 6-угольников не больше 8 методами операций усечения и операций изомеризации. Исследованы закономерности ряда числа изомеров в зависимости от числа 6-гольных граней. Cуществует глубокая связь между интегрируемыми комплексными структурами на вещественной нильпотентной алгебре Ли и рядом алгебраических свойств самой нильпотентной алгебры Ли. Существование интегрируемой комплексной структуры накладывает, в частности, сильные ограничения на скорость убывания размерностей идеалов нижнего центрального ряда. В частности, филиформные алгебры Ли (нильпотентные алгебры Ли с самым длинным для их размерности нижним центральным рядом) не могут иметь таких структур. Таким образом возникает задача: классифицировать естественно градуированные алгебры Ли, близкие по свойствам к филиформным алгебрам Ли, но допускающие интегрируемые комплексные структуры. Основными характеристиками таких положительно градуированных алгебр Ли является малая линейная скорость убывания размерностей идеалов нижнего центрального ряда. Алгебры Ли с линейной скоростью убывания размерностей центрального ряда изучались Е. Зельмановым и А. Шалевым как алгебры с размерностью Гельфанда-Кириллова равной 1. Получены следующие результаты: Классифицирован подкласс естественно градуированных алгебр Ли g с линейной скоростью убывания размерностей идеалов нижнего центрального ряда ширины два по Шалеву и Зельманову со свойством, что сумма размерностей двух соседних однородных компонент не меньше 3. Классификация представляет собой таблицы дискретных серий таких алгебр с полным описанием коммутационных соотношений. Выявленно существенное различие таких классификаций в вещественном и комплексном случаях. При этом возникли новые интересные примеры положительно градуированных алгебр Ли. Среди таких алгебр Ли найдены все, допускающие интегрируемую комплексную структуру, что говорит о достижении целей исследования в этом классе алгебр Ли. Опубликовано: Millionshchikov D.V. Complex structures on nilpotent Lie algebras and descending central series Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino (2016 г.) Изучена геометрия замыкания орбит борелевской подгруппы, действующей на прямом произведении двух грассмановых многообразий . Эти многообразия являются аналогами многообразий Шуберта в многообразиях флагов. В результате установлено соответствие между замыканиями B-орбит в данной (BxB)-орбите и матричными многообразиями Шуберта, отвечающими инволюциям в симметрической группе. Тем самым показано, что порядок по включению замыканий на B-орбитах в данной (BxB)-орбите получается из порядка, возникающего на B-орбитах в орбитальных многообразиях нильпотентых матриц с нулевым квадратом. Это совместная работа с А.Кнутсоном. Опубликовано: Smirnov E.Yu. Grassmannians, flag varieties, and Gelfand-Zetlin polytopes Recent Developments in Representation Theory. Proceedings of Maurice Auslander Distinguished Lectures and International Conference, Contemporary Mathematics series, American Mathematical Society (2016 г.) http://www.ams.org/books/conm/673/ Построены нетривиальные n-местные произведения Масси в когомологиях момент-угол многообразий n-мерных 2-усеченных кубов для всех n, начиная с 2. Доказан критерий в терминах комбинаторики графа, когда в когомологиях момент-угол многообразия граф-ассоциаэдра содержится тройное нетривиальное произведение Масси 3-мерных классов. Доказано, что в случае обобщенных ассоциаэдров типов A, B и D такие тройные произведения существуют всегда. Опубликовано: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9712&option_lang=rus Построена теория многочленов объема и алгебр с двойственностью Пуанкаре для полных симплициальных мульти-вееров и показана взаимосвязь этой теории с другими известными разработками: алгебрами Новик-Шварца симплициальных многообразий, соотношениями Минковского в выпуклой геометрии и топологии торических многообразий, двойственностью Маколея в коммутативной алгебре. Дальнейшие исследования открыли еще более захватывающие взаимосвязи с инвариантами трехмерных псевдо-многообразий и теорией узлов. Опубликовано: Dimensions of multi-fan algebras https://arxiv.org/abs/1607.03889 Получено топологическое доказательство известного результата: пусть над простым 3-мерным многогранником существует симплектическое торическое многообразие. Тогда у многогранника существует 3-угольная или 4-угольная грань. Следствие: над фуллеренами не бывает симплектических торических многообразий. Опубликовано: A. Ayzenberg, Toric manifolds over 3-polytopes https://arxiv.org/abs/1607.03377 Доказана гипотеза R.Zivaljevic 2003: для любого n>1 и любых пар (g,k) и (g',k') (род, количество проколов) с условием 2g+k=2g'+k' и g не равно g', симметрические степени Sym^nM_{g,k} и Sym^nM_{g',k'} компактных римановых поверхностей с проколами, являющиеся гомотопически эквивалентными открытыми многообразиями, негомеоморфны. Более того доказано, эти многообразия остаются негомеоморфными и при умножении на любое евклидово пространство R^N. Опубликовано: https://arxiv.org/abs/1606.00453 Продолжено изучение алгебры Понтрягина различных момент-угол-комплексов. Получены результаты о связи с коммутантами прямоугольных групп Артина и Коксетера, исследованы коммутанты этих групп. Разработан метод построения торических многообразий, реализующих мультипликативные образующие в кольце комплексных кобордизмов в некоторых размерностях. В результате завершено решение известной задачи о торических представителях в классах мултипликативных образующих кольца комплексных кобордизмов. Метод использован также для доказательства универсальности двухпараметрического рода Тодда в классе комбинаторно жестких родов Хирцебруха. Опубликовано: https://arxiv.org/abs/1602.02448