Аннотация результатов, полученных в 2014 году
Установлены теоремы вложения весового пространства Соболева в весовое пространство Лебега для пространств функций, определенных на нерегулярных областях евклидова пространства. Введена классификация нерегулярных областей, определяющая специфику теорем вложения. Получены точные условия на функциональные параметры, характеризующие общие пространства типа Морри (а для определенной области значений числовых параметров необходимые и достаточные условия), обеспечивающие ограниченность широкого класса сублинейных операторов из одного общего пространства типа Морри в другое. Исследована асимптотика сингулярных чисел корректных сужений равномерно эллиптических операторов произвольного порядка 2l, определенных на ограниченной области в R^n с достаточно гладкой границей, которые в общем случае не являются самосопряженными операторами. Для обобщенных банаховых функциональных пространств развита теория ассоциированной двойственности и результаты об оптимальных вложениях. Результаты применены для решения задачи о построении оптимального обобщенного банахова функционального пространства по заданному конусу неотрицательных измеримых функций со свойствами монотонности. Получены точные двусторонние оценки двухвесовых операторов суммирования на дереве при дополнительных условиях на веса и на деревья. Найдены порядковые оценки поперечников весовых классов Соболева в весовом пространстве Лебега в случаях, когда область удовлетворяет условию Джона и веса являются функцией расстояния до h-множества, а также в случае, когда область имеет один пик. Установлены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности для обобщенных потенциалов Бесселя. С их помощью получены эквивалентные описания конусов модулей непрерывности потенциалов и установлены критерии их вложений в обобщенные банаховы функциональные пространства. Это позволило найти критерии вложений обобщенных потенциалов Бесселя в пространства Кальдерона и дать точные описания оптимальных пространств Кальдерона для таких вложений. Получено обобщение принципа двойственности на классе неотрицательных функций в весовых пространствах Соболева первого порядка на полуоси. При этом норма в пространстве Соболева включает сумму двух лебеговских норм с разными показателями интегрирования. На этой основе охарактеризованы неравенства вложения указанного весового соболевского пространства в весовое пространство Лебега на полуоси на классе финитных функций. Был охарактеризован класс весовых неравенств, содержащих квазилинейные операторы. При помощи полученных результатов дан критерий ограниченности максимального оператора Харди-Литтлвуда в весовых Г-пространствах Лоренца. Установлена теорема вложения анизотропных по порядку производных и лебеговскому показателю пространств Соболева в пространства Лебега для нерегулярных областей евклидова пространства. Охарактеризован след функций из весового пространства Соболева на плоскостях различных размерностей и на границе некоторых нелипшицевых областей.

Аннотация результатов, полученных в 2015 году
Получены теоремы вложения пространства Соболева W^s_p (G) (s ∈ N) и пространства B^s_{pθ}(G) (s > 0) в пространства функций нулевой гладкости для нерегулярных областей G ⊂  R^n с условием гибкого σ-конуса, где 1 < p < q <∞, σ ≥  1, s = (σ(n - 1) + 1)/p - n/q. Доказаны теоремы вложения для весовых пространств Соболева на области, удовлетворяющей условием Джона, в весовое пространство Лебега L_{q,v} . Предполагается, что веса имеют особенность в точке, а вес v не интегрируем в степени q. В случае, когда веса имеют специальный вид, получены порядковые оценки поперечников весовых пространств Соболева. Получены точные двусторонние оценки норм двухвесовых операторов суммирования на дереве из пространства l_p в пространство со смешанной нормой l_q(l_p) в случае, когда веса являются функциями расстояния до корня дерева. Получены новые весовые неравенства типа Харди при 0<p<1 с точными постоянными на конусе функций, удовлетворяющих слабому условию типа монотонности, для общих весовых функций. Доказано существование экстремальных функций для общих весовых функций, а для случая радиальных весовых функций дано полное описание всех экстремальных функций. Получены точные оценки отклонения собственных чисел двумерного оператора Лапласа с однородными граничными условиями Дирихле при изменении области определения для широкого класса областей, путем применения теории конформных отображений, через характеристики близости конформных отображений областей на единичный круг. Получены критерии ограниченности сублинейных интегральных операторов с ядрами Ойнарова в весовых пространствах Лебега на полуоси. Получена полная характеризация весовых L_p−L_q неравенств типа Харди на конусах квазивогнутых функций для всех значений параметров 0 < p, q < 1. Охарактеризованы весовые неравенства, соответствующие вложению одного класса абсолютно непрерывных функций в пространство Соболева дробного порядка. Получены критерии ограниченности операторов Харди-Стеклова в весовых пространствах Лебега в формулировке, альтернативной к ранее полученным результатам. Новые критерии представлены для всех параметров суммирования в терминах прямой и двойственной фарватер-функции. Введена концепция идеального квазинормированного функционального пространства (кратко: ИП). Исследованы общие свойства таких пространств: полнота, ассоциированные нормы, принцип двойственности. Развит общий метод растягивающих операторов для построения минимального ИП, содержащего заданный конус неотрицательных измеримых функций. Разработаны конкретные конструкции оптимальных ИП для различных конусов. Для пространства обобщенных потенциалов при условии их вложения в пространство непрерывных ограниченных функций получены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности и аппроксимативных чисел операторов вложения. Найдены для них критерии вложений в пространства Кальдерона без каких либо априорных ограничений на функциональные параметры пространств. Синтез этих результатов с установленными конструкциями оптимальных ИП позволил получить точные описания оптимальных пространств Кальдерона для указанных вложений. Для конуса неотрицательных убывающих функций в весовых пространствах Лебега с общими весами получено точное описание идеальной нормированной оболочки. Установлена непрерывность по Хаусдорфу пересечения двух многозначных отображений, одно из которых является слагаемым гладкого квазишара, а другое является слабо выпуклым относительно гладкого квазишара и множество его значений равностепенно квазиограничено относительно гладкого квазишара. Для нерегулярных областей с условием гибкого σ-конуса получены анизотропные по порядку производных и степени интегрирования мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга (для различных по набору обобщенных частных производных случаев). Рассмотрено и изучено новое пространство Бесова переменной гладкости, норма в котором определятся с помощью двукратно усредненных разностей. Показано, что это пространство является следом весового пространства Соболева с весом, принадлежащим соответствующему классу Макенхаупта. С помощью методов нелинейной сплайн-аппроксимации получена теорема об атомарном разложении функций из пространства Бесова переменной гладкости. Получено полное описание следов на гиперплоскости пространства Бесова переменной гладкости и весового пространства Бесова с весом, принадлежащим соответствующему классу Макенхаупта.

Аннотация результатов, полученных в 2016 году
Установлено вложение пространств Собоева в пространства локально суммируемых функций нулевой гладкости типа пространств Лизоркина и аналогичное утверждение для потенциалов Рисса и Бесселя. Теорема вложения распространяется на случай вложения пространств Соболева, определенных на нерегулярных областях. Формулировка теоремы зависит от геометрических свойств области определения функций. Были введены новые пространства типа Бесова и Лизоркина-Трибеля. Было показано, что некоторые из них являются следами весовых пространств Бесова. Показано, что эти пространства являются естественным обобщением одновременно как весовых пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля, так и известных “микролокальных” пространств, активно изучаемых математиками из Германии. Установлена точная форма функционалов, описывающих норму элементов в пространстве, ассоциированном с весовым пространством Соболева W_p^1(v_0,v_1). Найденные функционалы не зависят от элементов W_p^1(v_0,v_1) и выражены в терминах весовых функций v_0, v_1 и параметра р. Кроме этого, они включают в себя специальные функций a(x) и b(x) на x\in(0,\infty), построенные по схеме Ойнарова-Отелбаева на основе весов v_0 и v_1. Для решения данной задачи применялись ранее полученные результаты об исследованиях свойств ограниченности операторов Харди-Стеклова в пространствах Лебега на полуоси. Исследованы билинейные неравенства, содержащие интегральные операторы с ядрами, удовлетворяющими условию Ойнарова. Установлена связь этих неравенств с ограниченностью сублинейных интегральных операторов. Полученные ранее в рамках проекта для этих сублинейных операторов результаты были применены для характеризации рассматриваемых билинейных неравенств. Построены идеальные квазинормированные пространства с квазинормами, согласованными с различными отношениями порядка. Построены идеальные квазинормированные оболочки, согласованные с различными отношениями порядка для конусов неотрицательных функций с условиями монотонности. Разработан общий метод построения идеальных квазинормированных оболочек для конусов неотрицательных функций с помощью нелинейных невырожденных операторов. Получены точные по порядку оценки норм монотонных операторов на конусах убывающих функций из весового пространства Орлича. Установлены точные описания ассоциированных норм для весовых пространств Орлича-Лоренца. На основе этих описании получены точные модулярные неравенства и неравенства для норм положительных операторов в весовых пространствах Орлича. Получены мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга на областях, удовлетворяющих условию гибкого σ-конуса, формулировка которых зависит от геометрии области. Получены точные оценки отклонения собственных чисел двумерного оператора Лапласа с однородными граничными условиями Неймана при изменении области определения для широкого класса областей, путем применения теории конформных отображений, через характеристики близости конформных отображений областей на единичный круг. Получены достаточные условия предкомпактности множеств в общих пространствах типа Морри совпадающие для определенной области числовых параметров с необходимыми. Получены достаточные условия на функциональные параметры общих пространствах типа Морри (близкие к необходимым), обеспечивающие полную непрерывности усеченных потенциалов Рисса как операторов, действующих из одного общего пространства типа Морри в другое. Получены оценки сверху для колмогоровских, линейных и гельфандовских поперечников весового класса Соболева на области с особенностями. Эта область задается метрическим деревом, расположенным в пространстве, и шарами с центрами в точках этого метрического дерева. Радиус шара и значения весовых функций связаны с номером вершины дерева, из которой выходит участок кривой, содержащий центр шара. Были получены оценки для приближения функций из весового класса Соболева W^{r}_{p,q} полиномом степени не выше r-1 на подобласти, порожденной поддеревом. Затем с помощью общего результата об оценке поперечников функциональных классов на множестве с древоподобной структурой были получены верхние оценки поперечников. В некоторых случаях были получены и оценки снизу. В частности, было показано, что, в отличие от области с одной особенностью, в невесовом случае «распределенная» степенная особенность может влиять на порядки поперечников. Получен результат о выпуклости контингентного конуса к слабо выпуклому относительно квазишара множества. С его помощью доказана теорема об отделимости сильно выпуклого и слабо выпуклого множества границей квазишара. Доказано существование непрерывного селектора в геометрической разности квазишара и его слагаемого.