КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 14-11-00433

НазваниеКомбинаторные, геометрические и аналитические проблемы теории чисел

РуководительШкредов Илья Дмитриевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2017 г. - 2018 г.

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности Российского научного фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-103 - Теория чисел

Ключевые словакомбинаторная теория чисел, геометрия чисел, аналитическая теория чисел, аддитивная комбинаторика, тригонометрические суммы, дзета-функция, теоремы переноса, эргодическая теория чисел, комплексное интегрирование, цепные дроби, множества ограниченного остатка, диофантовы приближения

Код ГРНТИ27.15.21

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Настоящий проект посвящен решению актуальных проблем теории чисел. В своих исследованиях мы используем комбинаторные, аналитические методы, методы геометрии чисел и эргодической теории. Проект является естественным продолжением этапа 2014-2016 гг. С помощью метода Степанова и его обобщений, полученных на предыдущем этапе Проекта мы оценим числа решений совокупности полиномиальных уравнений P_i(x,y)=0, i=1,...,h над полем Z_p вычетов по простому модулю p, удовлетворяющих условиям типа принадлежности решений некоторой подгруппе G мультипликативной группы Z_p^* поля вычетов или фиксированному ее смежному классу. Получение верхней оценки полиномиальной энергии подгруппы G, а также получение нижней оценки величины #{P(x,y) | x,y\in G}, относящейся к теории сумм произведений. Исследование структуры множества решений уравнения Маркова x^2+y^2+z^2=3xyz над полем вычетов по простому модулю. Мы планируем провести исследования по E_k -нормам, декомпозиционным результатам в различных полях для энергий и величин D^*, D^+, что даст нам усиление теоремы Балога-Вули. Планируется получение нетривиальных оценок для мощностей подгрупп, так что их разность также принадлежит некоторой подгруппе. Продолжение исследований по подгруппе Хейльбронна. Применение принципа сумм произведений (а также классического метода анализа Фурье) к решению нескольких линейных уравнений в множествах. Нахождение новых оценок для мощности клик в графе Пэли. Доказательство критерия разрешимости линейных трехчленных уравнений в терминах аддитивной энергии. Нахождение новых оценок в задаче Колмоша, Силюка и Семереди о мощности максимальной арифметической прогрессии в произвольном подмножестве целых чисел из n элементов. С помощью методов, разработанных на предыдущем этапе Проекта ( метод дифференцирования индуцированных разбиений, метод многомерных возвратных отображений симплексов, метод факторизации унимодулярных матриц на матрицы элементарных возвратных отображений) мы создадим новые алгоритмы разложения в многомерные цепные дроби. Планируется максимально расширить область возможной аппроксимации, включая алгебраические иррациональности высшей степени и многомерные приближения произвольных действительных чисел. В проекте предполагается исследование общих конструкций разбиений многомерных торов на множества ограниченного остатка. Мы планируем найти комбинаторно-геометрические условия, при которых разбиение многомерного тора состоит из множеств ограниченного остатка, найти необходимые условия, при которых последовательность итераций геометрических подстановок, соответствующих унимодулярной подстановке Пизо, порождает разбиение тора на множества ограниченного остатка, показать, что при выполнении этих условий соответствующая оценка остатка является эффективно вычислимой, показать, что оценка остатка для множеств ограниченного остатка, получаемых путем итерации одной подстановки, не зависит от номера итерации. Предполагается изучить свойства различных функций мер иррациональности, получение новых сведений о её поведении, диофантовых спектров и многомерные обобщения. Предполагается получить ряд результатов в таких известных задачах, как проблема Литтлвуда, задача о поведении диофантовых экспонент, в теории спектров Маркова и Лагранжа и их обобщений. Исследования по диофантовым экспонентам будут вестись в трёх связанных друг с другом направлениях: экспоненты Вольфганга Шмидтом, диофантовы экспоненты решёток и многомерные цепные дроби. В ходе наших исследований мы получим ряд результатов, приближающих решение этих задач, а также продолжим исследования, начатые в рамках Проекта 2014-2016, и получим новые результаты о структуре спектра диофантовых экспонент решёток. Предполагается исследовать короткую сумму Клоостермана по простому модулю, слагаемые которой снабжены весовыми множителями – мультипликативными функциями, удовлетворяющими некоторым естественным ограничениям (например, ее значения по модулю не превосходят единицы). Развитую при этом технику предполагается также применить к оценкам коротких сумм характеров Дирихле по простому модулю с весами, а также к «сдвинутым» суммам. Кроме того, предполагается исследовать обобщенную сумму Клоостермана, переменная суммирования в которой пробегает так называемую последовательность Пятецкого-Шапиро. В рамках Проекта 2017-2018 планируется разработать новые подходы к проблеме о распределения чисел с ограничениями на количество их простых делителей, основанные на оценках тригонометрических сумм и изучении поведения дзета-функции Римана. Несмотря на достигнутый нами ранее прогресс по этой задаче в ней проявляются необычные эффекты, природу которых еще предстоит объяснить.

Ожидаемые результаты
Получить новые оценки числа решений совокупности полиномиальных уравнений P_i(x,y)=0, i=1,...,h над полем Z_p, вычетов по простому модулю p, удовлетворяющих условиям типа принадлежности решений некоторой подгруппе G мультипликативной группы Z_p^* поля вычетов или фиксированному ее смежному классу. Приложениями данной оценки могут стать такие задачи как верхняя оценка полиномиальной энергии подгруппы G, а также нижняя оценка величины #{P(x,y) | x,y\in G}. Планируется найти некоторые приложения результата о полиномиальной энергии подгруппы к исследованию структуры множества решений уравнения Маркова x^2+y^2+z^2=3xyz над полем вычетов по простому модулю. Исследования по E_k -нормам, декомпозиционные результаты в различных полях для энергий и величин D^*, D^+, что дает усиление теоремы Балога-Вули. Получение нетривиальных оценок мощностей подгрупп, так что их разность также принадлежит некоторой подгруппе. Продолжение исследований по подгруппе Хейльбронна. Применение принципа сумм произведений к решению нескольких линейных уравнений. Нахождение новых оценок для мощности клик в графе Пэли. Доказательство критерия разрешимости линейных трехчленных уравнений в терминах аддитивной энергии. Получение новых оценок от сумм мультипликативных характеров. Нахождение новых оценок в задаче Колмоша, Силюка и Семереди. Доказательство точности теоремы Блюма. Исследовать общую задачу о периодических ядерных разложениях в многомерные цепные дроби единиц и более общих чисел алгебраических полей произвольной степени. Доказать многомерное обобщение теоремы Лагранжа для некоторых классов алгебраических иррациональностей произвольной степени. Построить cимплекс-ядерный алгоритм разложения вещественных чисел в многомерные цепные дроби, дающие наилучшие приближения и являющиеся многомерным обобщение дробей Фарея. Предполагается посвятить исследованию вопроса о том, когда известные конструкции, используемые при построении фракталов Рози порождают разбиения торов на множества ограниченного остатка. Предполагается уделить внимание приложениям полученных конструкций, полученных в 2017 году, а именно, используемых при построении фракталов Рози и порождающих разбиения торов на множества ограниченного остатка. Получение верхней границы для интеграла функции меры иррациональности. Изучить распределение чисел, количество простых делителей которых принадлежит заданному классу вычетов, обращая внимание на принципиальное отличие случая модуля, большего двух, от рассмотренного раньше случая модуля равного двум. Изучить распределение нулей вещественных тригонометрических сумм. Получить нижние оценки модуля дзета-функции Римана на коротких промежутках. Получить нетривиальные суммы Клоостермана по простому модулю и модулю, равному степени простого числа, в случае, когда переменная пробегает последовательность чисел Пятецкого – Шапиро (т.е. числа, представимые в виде целой части от фиксированной дробной степени переменной суммирования). Получить оценку суммы Клоостермана по простому модулю с мультипликативным весовым множителем в случае, когда длина суммы незначительно превышает корень квадратный из модуля. Предполагается, что понижающий множитель в искомой оценке должен иметь порядок логарифма модуля. Получить оценку суммы значений характера Дирихле по простому модулю с мультипликативным весовым множителем. Аргумент характера и аргумент мультипликативного веса отличаются на постоянное слагаемое («сдвинуты» относительно друг друга). Планируется изучать геометрические вопросы теории многомерных диофантовых приближений и некоторые задачи о приближении одного вещественного числа. Ожидается ряд результатов о структуре наилучших совместных диофантовых приближений, о приближениях с одной и несколькими линейными формами и пр. Планируется открытие новых закономерностей поведения последовательных минимумов семейств решеток и ряд результатов в задаче Шмидта-Зуммерера. Работа с диофантовыми экспонентами решёток и многомерными цепными дробями. Ожидается получение результатов о структуре спектра диофантовых экспонент решёток и доказательство многомерных аналогов утверждений, связывающих диофантову экспоненту числа и его разложение в цепную дробь. Работа с экспонентами Шмидта. Ожидается получение результатов о приближении заданного подпространства рациональными подпространствами фиксированной размерности, приближающих решение задач, поставленных Шмидтом. Таким образом все заявленные нами результаты находятся на мировом уровне и касаются ключевых задач исследуемой области. Способы обнародования : серия статей в престижных российских и международных журналах, размещение в архиве математических электронных публикаций arXiv.org.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---