Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Продолжено исследование пространства ассоциированного с весовым пространством Соболева $W_p^1(v_0,v_1)$ на открытом промежутке $I$ числовой прямой в общем случае. Активно изучались свойства пространств $W'_{00}$ и $W'_0$ ассоциированных, соответственно, с пространством $W_{00}$ абсолютно непрерывных функций с компактным носителем, входящих в $W_p^1(v_0,v_1)$, и пространством $W_0$, являющимся замыканием $W_{00}$ в $W$. Установлено, что замыкание $C_0^\infty(I)$ в $W_p^1(v_0,v_1)$ совпадает с $W_0$. Получен критерий принадлежности локально суммируемой на $I$ функции этому пространству $W'_0$ в частном случае. Установлена точная форма интегрального функционала, характеризующего неравенство с билинейным оператором на конусе неубывающих функций для всех параметров суммирования.Гольдман, Бахтигареева Проведено исследование связи модулярных оценок и оценок норм положительно однородных операторов. В весовых пространствах Орлича установлены модулярные оценки и оценки норм для положительно однородных операторов на конусах функций с условиями монотонности. Результаты основаны на применении принципа ассоциированной двойственности для конусов. Получены применения этих результатов для пространств Орлича-Лоренца. Доказаны общие теоремы редукции, позволяющие свести оценки для операторов на конусах функций со свойствами монотонности к оценкам для модифицированных операторов на множестве неотрицательных измеримых функций. Приведена конкретизация неравенств в том случае, когда положительный оператор есть оператор Харди. Показано, что в этом случае модифицированный оператор является обобщенным оператором типа Харди, что позволило получить явные конструктивные критерии справедливости модулярных оценок и оценок норм операторов. Получены приложения этих результатов к случаю операторов на конусах в весовых пространствах Лебега. Доказано, что операторы Канторовича мажорируются максимальным оператором Харди-Литтлвуда и равномерно ограничены в пространствах Морри. Получена оценка скорости сходимости к тождественному оператору. Написаны три главы книги по теории операторов в пространствах Морри (соавтор В.С. Гулиев). Найдены примеры, при которых можно пользоваться слабым оператором перехода и сравнивать собственные значения для исходной области определения с возмущенной. Введены и изучены многопараметрические шкалы пространств $L^{0(m),l}_{p, \theta}(G)$, $B^{0(m),l}_{p, \theta}(G)$ функций нулевой гладкости на регулярных и нерегулярных областях $G$ $n$-мерного евклидова пространства. Принадлежность функций такому пространству определяется характером локальных приближений этой функции многочленами в интегральной метрике. Установлены некоторые общие свойства этих пространств, а также вложение весового пространства Соболева $W^m_p(G))$ в весовое пространство $L^{0(m),l}_{p, \theta}(G)$. Весовые функции вблизи границы представляют собой неотрицательные степени расстояния до границы. Получена теорема об атомарном разложении пространств Бесова переменной гладкости. Рассматриваемые пространства совпадают со следами весовых пространств Соболева на гиперплоскости в предельном случае $l=p=1$. Получены мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга на областях с условием гибкого $\sigma$-конуса, причём в зависимости не только от числа $\sigma$, но и от геометрических свойств самого гибкого \sigma-конуса. Обнаружена и устранена неточность в доказательстве теоремы об оценке энтропии двойственного оператора к оператору конечного ранга. Доказаны эквивалентные условия дифференцируемости по Гато для несимметричной полунормы в банаховом пространстве и для опорной функции квазишара (выпуклого замкнутого множества, такого, что ноль принадлежит его внутренности) в сопряженном пространстве.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Продолжено исследование пространств, ассоциированных с весовым пространством Соболева $W_p^1(v_0,v_1)$ первого порядка на открытом промежутке $I$ числовой прямой. Рассмотрен случай, когда замыкание в $W_p^1(v_0,v_1)$ подпространства функций с компактным носителем в $I$ не совпадает со всем $W_p^1(v_0,v_1)$. Установлены двусторонние оценки на нормы элементов в пространствах, ассоциированных с $W_p^1(v_0,v_1)$, функционалами, зависящими только от фиксированных параметров задачи. Получена характеризация билинейных весовых неравенств на конусе монотонных функций. Построены конусы монотонных функций на полуоси, дающие эквивалентные описания конусов убывающих перестановок , для обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Для построенных эквивалентных конусов установлены критерии вложений в банаховы функциональные пространства, что позволяет получить критерии вложений потенциалов в перестановочно инвариантные пространства. Получены в ряде случаев в явной форме эффективные описания оптимальных перестановочно инвариантных пространств для вложений обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Получены новые описания оптимальных оболочек для конусов функций со свойствами монотонности методом нестягивающих операторов при различных отношениях порядка. Получена двусторонняя оценка K- функционала Петре для пары, состоящей из пространства Морри и пространства Соболева-Морри через модуль непрерывности надлежащего порядка для пространств Морри, с помощью которой дано описание интерполяционного пространства (действительный метод) для этой пары пространств. Завершена работа над первым вариантом книги по теории операторов в пространствах типа Морри (соавтор В.С. Гулиев, член-корреспондент Национальной Академии наук Азербайджана). Были получены результаты, обобщающие известную теорему о спектральной устойчивости при возмущении области определения оператора, и рассмотрены примеры применения этих результатов. Установлена теорема вложения весового пространства Соболева на произвольной нерегулярной области из некоторого двухпараметрического семейства областей в весовое пространство функций нулевой гладкости типа пространств Лизоркина. Нулевая гладкость функций классифицирована с помощью поведения локальных приближений функции многочленами, измеряемыми в интегральной метрике. Семейство нерегулярных областей, для которых справедливо данное вложение, расширено сравнительно с рассмотренным в 2017 году. Весовые функции эквивалентны вблизи границы области положительным степеням расстояния до границы. Получены необходимые условия выполнения анизотропных мультипликативных неравенств типа Гальярдо-Ниренберга областях с условием гибкого $\sigma$-конуса, причём в зависимости не только от параметра $\sigma$, но и от геометрических свойств самого гибкого $\sigma$ конуса. Рассмотрен в том числе анизотропный случай. Для областей с условием гибкого конуса показана оптимальность полученных результатов. Построено понятие касательного функционального пространства в точке к данному функциональному пространству. Доказано, что касательное функциональное пространство в заданной точке к пространству Бесова переменной гладкости является пространством Бесова постоянной (обобщенной) гладкости. Найдены достаточные условия для существования разбиения вытянутой матрицы на две подматрицы с экстремально малыми $(2,1)$-нормами, получено обобщение теоремы Кашина на случай почти ортогональной матрицы. Рассмотрены пространства с несимметричной полунормой, порожденной квазишаром. Доказана равномерная непрерывность по Хаусдорфу пересечения двух многозначных отображений, значения одного из которых сильно выпуклы относительно квазишара, а значения другого – слабо выпуклы относительно квазишара.