Аннотация результатов, полученных в 2017 году
Исследована комбинаторика класса многогранников Погорелова — трёхмерных выпуклых многогранников, которые реализуются как ограниченные многогранники с прямыми двугранными углами в трёхмерном пространстве Лобачевского. Имеется серия многогранников Погорелова, состоящая из k-бочек (многогранников Лёбелля), поверхность которых получается склейкой вдоль границ из двух частей, состоящих их k-угольника, окружённого 5-угольниками. Эти многогранники являются неприводимыми относительно операций срезки пары смежных рёбер и связной суммы с додекаэдром. В рамках проекта доказано, что любой многогранника Погорелова, кроме k-бочек, комбинаторно получается из 5- или 6-бочки при помощи последовательности операций срезки пары смежных рёбер и операций связной суммы с 5-бочкой вдоль 5-угольника. Фуллереном называется простой выпуклый 3-мерный многогранник, у которого все грани являются 5- или 6-угольниками. Каждый фуллерен является многогранников Погорелова. Имеется 1-параметрическая серия фуллеренов, состоящая из додекаэдра (5-бочки) и (5,0)-нанотрубок -- многогранников, получаемых связной суммой додекаэдров вдоль 5-угольников, окружённых 5-угольниками. Эти многогранники неприводимы относительно операций срезки пары рёбер. Показано, что любой другой фуллерен получается из 6-бочки при помощи последовательности операций срезок пар смежных рёбер так, что на промежуточных шагах возникают только фуллерены и многогранники Погорелова с 5-,6-угольными гранями и одной 7-угольной гранью, смежной с некоторым 5-угольником. (Изв. РАН. Сер. матем., 81:5 (2017), 15—91, https://doi.org/10.4213/im8665) Доказано, что абелево накрытие простого 3-мерного многогранника P, рассматриваемого как орбифолд, имеет структуру компактного гиперболического многообразия тогда и только тогда, когда P является многогранником Погорелова. Множество абелевых накрытий над данным простым многогранником P содержит единственный максимальный элемент - универсальное абелево накрытие (также известное как вещественное момент-угол-многообразие R_P), а минимальными элементами являются так называемые малые накрытия (среди которых содержатся вещественные торические многообразия). Доказано, что коммутант прямоугольной группы Артина RA(Г) является (бесконечнопорождённой) свободной группой тогда и только тогда, когда Г - хордовый граф. Описана минимальная система образующих коммутанта RA(Г)' в общем случае. (http://arxiv.org/abs/1702.00446) В конце 1990-х годов И.В. Изместьев предложил конструкцию, сопоставляющую каждому простому многограннику произвольной размерности шарнирный механизм в трёхмерном евклидовом пространстве, конфигурационное пространство которого гомеоморфно момент-угол-многообразию, соответствующему этому простому многограннику. В рамках проекта изучены конфигурационные пространства шарнирных механизмов общего положения, близких к шарнирному механизму, построенному Изместьевым. Вычислены явно их размерности. Частично описано их топологическое строение. Было завершено доказательство 10R-теоремы, которая утверждает, что если во множестве Делоне все 10R-кластеры конгруэнтны, множество является правильной системой, т. е. множеством, чья группа симметрий действует на множестве точек транзитивно. Подчеркнем, что, как доказано в недавней, совместной с другими, работе автора, радиус правильности для множеств Делоне типа (r,R) в трехмерном пространстве не меньше 6R. Аналогичная оценка получена для более широкого класса множеств – для t-множеств в R^3. Было доказано, что t-множество, у которого все 6t-кластеры конгруэнтны, – правильная t-система. https://www.youtube.com/watch?v=UwZjMHeLlCs&feature=youtu.be При помощи методов эквивариантной топологии были исследованы пространства матриц с фиксированным спектром и нулями на заданных позициях. Классическим примером является пространство изоспектральных трехдиагональных эрмитовых матриц: это пространство является гладким многообразием с естественным действием тора половинной размерности, а его пространство орбит - простой многогранник, пермутоэдр. В рамках проекта были рассмотрены несколько обобщений. Во-первых, ступенчатые эрмитовы матрицы с фиксированным простым спектром. Они образуют гладкое многообразие, которое может быть эффективно исследовано с помощью теории Морса и ГКМ-теории. Во-вторых, пространство матриц-стрелок с фиксированным простым спектром. Было доказано, что это гладкое многообразие, имеющее естественное действие тора половинной размерности. Его пространство орбит уже не является многогранником. Были описаны кольца когомологий и эквивариантных когомологий пространства матриц-стрелок с помощью методов спектральных последовательностей и коммутативной алгебры. Результаты, полученные в этом направлении, могут найдти применения в оценке эффективности численных методов для задачи поиска собственных значений матрицы. Построен в явном виде алгебраический функтор на категории связных градуировано коммутативных колец, имеющих в каждой градуировке свободную абелеву группу конечного ранга, со значениями в этой же категории. А именно, этот функтор перерабатывает целочисленное кольцо когомологий фактор по кручению произвольного связного CW-комплекса X конечного типа в такое же кольцо n-ой симметрической степени X. Построена явная конструкция кусочно-линейных разветвленных накрытий произвольных n-мерных ориентируемых малых накрытий над n-сферой степени 2^(n-1). В частности, эта конструкция годится для n-мерного тора. В этом важном частном случае полученная степень 2^(n-1) является первой оценкой, которая асимптотически меньше n!. До этого результата все известные разветвленные накрытия n-мерного тора над n-сферой были неэффективны, и их степень росла быстрее n!. Получена классификация алгебр Карно медленного роста. Алгебры Ли этого класса имеют важные применения в самых разных разделах математики: от геометрии нильмногообразий до геометрических методов в теории управления. (https://mediacenter.univ-reims.fr/videos/?video=MEDIA170912174736425 https://arxiv.org/pdf/1705.07494.pdf , УМН, 72:6(438) (2017), 203-204, https://doi.org/10.4213/rm9805) Теория комплексных кобордизмов является современной и важной областью алгебраической топологии. Одной из актуальных задач этой теории является построение представителей с заданными дифференциально-геометрическими и алгебро-топологическими свойствами. В рамках проекта доказано, что каждый элемент кольца комплексных кобордизмов каждой (четной) градуировки, большей 2, содержит квазиторическое полностью нормально расщепимое многообразие. В рамках проекта изучались комбинаторные и геометрические свойства орбит борелевской подгруппы, действующей на двойном многообразии флагов. Эти орбиты являются естественными обобщениями клеток Шуберта, а частичный порядок, определяемый их примыканиями, дает обобщение хорошо известного порядка Брюа. ( https://www.mccme.ru/~smirnoff/papers/flags_rus.pdf ) В 2012 г. В.А.Кириченко, Е.Ю.Смирнов и В.А.Тиморин, основываясь на идеях А.В.Пухликова и А.Г.Хованского, разработали новый подход к исчислению Шуберта на многообразии полных флагов. Он позволяет сводить вычисления в кольце когомологий многообразия флагов к манипуляциям с гранями некоторого многогранника (многогранника Гельфанда-Цетлина). В рамках данного проекта получено обобщение этого подхода для К-теории многообразия полных флагов.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
Получено явное описание коммутантов, первых членов нижнего центрального ряда и ассоциированных градуированных алгебр для прямоугольных групп Артина и Кокстера. Задача комбинаторной классификации фуллеренов привела к задаче комбинаторной классификации простых трёхмерных многогранников с 5-, 6- и не более чем одной 7-угольной гранью, которая при этом граничит с 5-угольником. Показано, что каждый такой многогранник, в том числе и фуллерен, получается из 5-и 6-бочки при помощи последовательности операций из конечного набора 8 операций таким образом, что промежуточные многогранники тоже принадлежат этому классу. (Symmetry Basel, https://www.mdpi.com/2073-8994/10/3/67) Классы гомологий топологических пространств представляются циклами, то есть цепями без границы. Однако эти циклы могут иметь сколь угодно сложные особенности. Согласно классическому результату Р. Тома любой класс гомологий по модулю 2 может быть представлен циклом вообще без особенностей, однако этот результат не даёт никакой явной конструкции такой гладкой реализации. В рамках проекта найдена явная комбинаторная конструкция реализующего цикла, но немного в более слабой постановке задачи - не обязательно гладкого, но лишь с конечным числом стандартных типов особенностей. Были продолжены исследования по локальной теории правильных систем, как множеств Делоне так и t-множеств. Этот цикл теоретических работ непосредственно связан с объяснением процессов кристаллообразования, был начат и развит в отделе геометрии МИАН по инициативе Б.Н.Делоне. В отчетном году была продолжена работа по улучшению верхней и нижней оценок для радиуса регулярности для множеств Делоне и t-множеств в R^3 в терминах параметров R и t, соответственно. Семейство множеств Делоне, в каждом из которых 2R-кластеры попарно конгруэнтны, было разбито на два класса. В первый класс вошли множества, в которых группа 2R-кластера имеет хотя бы одну башню не короче 5. Во второй класс вошли множества с группой, у которой все башни короче 5. Доказано, что для множеств из первого класса конгруэнтность (1.5t)-кластеров влечет правильность t-множества. Для правильности множеств второго класса в силу локального критерия достаточно конгруэнтности 5t-кластеров. Характерно, что во второй класс вошли множества Энгелева типа, в которых для любого epsilon>0 встречаются неправильные множества c конгруэнтными (3t-epsilon)-кластерами. (European Journal of Combinatorics, https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0195669818300180?via%3Dihub; Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-319-78434-2_6) В рамках известной задачи о многообразиях, обладающих каноническими динамическими системами, изучено пространство эрмитовых (либо симметричных) матриц, имеющих заданные собственные значения и нули на заданных позициях. Оказывается, что топология таких пространств существенно зависит от позиций, на которых расположены нули. Широко известны случаи пространства всех изоспектральных матриц (это пространство есть пространство полных флагов в C^n или, соответственно в R^n), а также пространство трехдиагональных изоспектральных матриц. Мы обобщили эти случаи в нескольких направлениях. Во-первых, если рассматривать не трехдиагональные матрицы, а матрицы ступенчатой формы, то изоспектральное пространство таких матриц также является гладким. Его топология тесно связана с топологией так называемых многообразий Хессенберга, известных в алгебраической геометрии. Во-вторых, мы рассмотрели случай матриц-стрелок, - матриц, у которых ненулевые элементы допускаются только на диагонали, в первой строке и в первом столбце. Мы доказали, что это пространство гладкое и привели описание его топологии. (ArXiv, https://arxiv.org/pdf/1803.01132v2.pdf; курс лекций школы Современная математика: https://www.mccme.ru/dubna/2018/courses/ayzenberg.html) В явном виде построено действие конечной группы Z_2^(k-1) на произведении k экземпляров сфер произвольных размерностей, фактор-пространством которого является стандартная сфера. Таким образом, получена первая явная конструкция разветвленного накрытия произведения сфер над сферой. Этот результат важен в связи с классическим результатом Александера (1920 год) о существовании разветвленного накрытия произвольного ориентируемого компактного многообразия над сферой той же размерности. Отметим, что в конструкции Александера степень (число листов) разветвленного накрытия n-мерного многообразия над n-мерной сферой была очень велика (больше, чем n!). Доказано, что на любой (2n+1)-сфере есть структура двузначного умножения с единицей (напомним, что только на 1-, 3- и 7-мерных сферах есть однозначное умножение с единицей). Доказательство использует свойство градуированной коммутативности умножения Уайтхеда на гомотопических группах пространств. Также с помощью построенного разветвленного накрытия произведения сфер над сферой показано, что на 4-,6-,8-,10- и 14-сферах есть 4-х значное умножение с единицей. Теория многозначных групп была построена в цикле работ В.М.Бухштабера более 30 лет назад. Ключевым примером этой теории была структура 2-значного умножения на 2-сфере. В рамках проекта показано, что на всех остальных четномерных сферах имеется 8-значное умножение с единицей. (Принято к печати в журнале Функциональный анализ) Завершена классификация узких естественно градуированных алгебр Ли, важного класса медленно растущих бесконечномерных алгебр Ли. Именно такие алгебры Ли представляют интерес с точки зрения приложений к теории гиперболических уравнений в частных производных. Две алгебры Ли из найденного списка отвечают характеристическим алгебрам Ли двух важнейших уравнений – синус-Гордона и Цицейки. (Доклады Академии наук, том 483, выпуск 5; Труды Математического института им. В.А. Стеклова, том 302, стр. 316-333, http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=3931&option_lang=rus) ПНР-многообразием называется многообразие, у которого стабильное нормальное расслоение расщепляется в сумму одномерных комплексных расслоений. Показано, что из условия ПНР вытекает, что любое комплексное расслоение над данным квазиторическим ПНР-многообразием расщепляется в сумму одномерных комплексных расслоений. Для описания квазиторических многообразий, допускающих ПНР-структуру, были получены различные эквивалентные критерии в терминах кольца когомологий, К-теории и многочлена объема. Доказано, что симплициальный комплекс, ассоциированный с n-мерным многогранником моментов торического ПНР-многообразия, не имеет пустых симплексов на n вершинах. В частности, для торических ПНР-многообразий комплексной размерности 3 многогранник моментов является флаговым. (Труды Математического института им. В.А. Стеклова, том 302, стр. 377-399, http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=3925&option_lang=rus) Изучена комбинаторная структура множества орбит борелевской подгруппы, действующей на двойном комикровесовом многообразии флагов. Для случая обычного многообразия флагов эти орбиты являются клетками Шуберта, а частичный порядок, определяемый их примыканиями, есть хорошо известный порядок Брюа. Получено полное комбинаторное описание орбит борелевской подгруппы для всех двойных комикровесовых многообразий флагов. Подготовлен обзор «Кратные многообразия флагов»(http://mi.mathnet.ru/into295).