Аннотация результатов, полученных в 2017 году
1. Получены новые оценки для аппроксимации максимума фрактального броуновского движения по дискретному случайному блужданию. Улучшено ранее известное значение константы Пикандса. Улучшена асимптотика математического ожидания фрактального броуновского движения при значении параметра Харста, стремящемся к к нулю. Рассматривалась задача последовательного различения гипотез для фрактального броуновского движения. В соответствующей задаче об оптимальной остановке была найдена асимптотика границ. В частности, установлено, что в зависимости от значения параметра Харста H расстояние между оптимальными границами стремится к нулю со скоростью порядка показательной функции (H>1/2) или стремится к бесконечности со скоростью порядка логарифма (H<1/2). 2. Для задачи последовательного различения гипотез для процесса Орнштейна-Уленбека были исследованы несколько естественных минимизационных критериев, используемых в постановке Вальда. Изучены асимптотические свойства оптимальных правил и взаимосвязь указанных критериев. 3. Для надкритических случайных блужданий на многомерной решетке с конечным числом источников генерации частиц одинаковой интенсивностью без какого-либо ограничения на дисперсию скачков были получены новые предельные теоремы. Для оператора эволюции средних численностей частиц, при интенсивности источников близкой к критической, установлено асимптотическое поведение функции Грина и собственного значения. Выявлен эффект «предельного слипания» собственных значений для расположения источников, при котором расстояния между ними попарно стремятся к бесконечности. 4. Найдена новая нижняя оценка максимальной степени вершины в b-простом, b>1, и n-однородном гиперграфе с хроматическим числом больше r. Построена модификация метода случайной перекраски для класса b-простых гиперграфов. 5. Рассмотрена слабо нелинейная цепочка осцилляторов, подверженная слабому случайному возмущению, пропорциональному заданному профилю температуры. Исследовано поведение стационарной меры системы и стационарного потока энергии при последовательных пределах сила взаимодействия в цепочке вместе с силой стохастического возмущения стремятся к нулю, а затем профиль температуры стремится к постоянному. 6. Изучены асимптотические свойства оценок дифференциальной энтропии Шеннона случайного вектора и оценок взаимной информации (двух случайных векторов), основанные на оценке условной энтропии многомерного распределения. Доказана асимптотическая несмещенность и L2-состоятельность оценок Козаченко – Леоненко энтропии случайного вектора, использующих статистики ближайших соседей. Для этого введены функционалы, являющиеся аналогами максимальной функции Харди – Литтлвуда, и исследованы их свойства. Показано, что предложенные условия выполнены для произвольного невырожденного многомерного гауссовского распределения. Определена новая оценка условной энтропии. Теоремы, описывающие ее асимптотическую несмещенность и состоятельность дополнены компьютерным моделированием. Анализ логистической модели с гауссовскими предикторами показал, что новый подход может дать более точный результат в смысле среднеквадратического отклонения по сравнению с методами, основанными на сведении задачи оценивания условной энтропии к оцениванию безусловных энтропий. 7. Предложено доказательство теоремы кодирования в случае квантовых гауссовских широкополосных калибровочно-ковариантных каналов, которая дает выражение для классической пропускной способности канала в спектральных терминах. Показано, что гипотеза квантовых гауссовских оптимизаторов верна для всех гауссовских каналов, действующих в классе Шаттена S_q. 8. Получены точные оценки вариации квантовой условной взаимной информации, хи-величины, основных пропускных способностей конечномерных квантовых каналов, зависящие как от выходной, так и от входной размерности. Доказана полунепрерывность снизу разности между входной и выходной хи-величинами любого ансамбля квантовых состояний (как функции ансамбля). Доказано существование хи-оптимального ансамбля для любого канала с энергетическими ограничениями. 9. Доказано, что спектры частичных состояний фермионных систем совпадают при условии выполнения правил суперотбора. Показано, что множеству оптических квантовых томограмм можно предать структуру пространства Фреше. В этом случае дуальное пространство будет состоять из символов квантовых наблюдаемых, включая все полиномы от операторов координаты и импульса. Построены квантовые коды, исправляющие ошибки (квантовые антиклики) для некоммутативных операторных графов, порожденных обобщенными матрицами Паули. 10. Установлен закон больших чисел для квадратичных форм стационарных регулярных последовательностей со сколь угодно “длинной памятью”. Вычислено предельное спектральное распределение выборочных ковариационных матриц, отвечающих независимым реализациям данных последовательностей, в стандартной асимптотике в теории случайных матриц. Доказана универсальность предельного спектрального распределения выборочных ковариационных матриц m-зависимых временных рядов в случае, когда размерность ряда сравнима с числом его элементов (наблюдений), и при этом квадратичные формы элементов ряда обладают свойством слабой концентрации.

Аннотация результатов, полученных в 2018 году
В задаче о проверке гипотез для значения коэффициента сноса фрактального броуновского движения в постановке Г. Чернова было получено уравнение для оптимальный границ остановки наблюдений при параметре Херста H>1/2. Получено новое представление процессов дробного броуновского движения при всех значениях индекса Херста H, 0 < H < 1, в терминах стохастических интегралов относительно стандартного броуновского движения. С помощью этого представления выведены предельные распределения оптимальных (байесовских) оценок и оценок максимального правдподобия параметров в нерегулярных статистических моделях наблюдений сигналов на фоне белого шума в предположении, что интенсивность шума стремится к нулю. Решена задача последовательного тестирования гипотез для стационарного процесса Орнштейна-Уленбека. Рассмотрена вальдовская постановка задачи. Найдено асимптотически оптимальное решающее правило, которое является решающим правилом Вальда. Для изучения спектра эволюционного оператора численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании был разработан метод сведения исследования соответствующих эволюционных уравнений для моментов численностей частиц к уравнениям в конечномерном пространстве. Использование методов теории положительных и положительно-определенных симметрических операторов позволило получить "почти явные" уравнения для собственных значений. Резольвентный анализ ограниченных симметричных операторов с многоточечным возмущением, генерирующих ветвящееся случайное блуждание на решетке, позволил выявлять фазовые переходы в надкритическом ветвящемся случайном блуждании в зависимости от конфигурации источников в пространстве. Разработанные методы носят достаточно общий характер, что позволяет надеяться на возможность их дальнейшего применения. Найдена новая нижняя оценка числа ребер в b-простом, b>1, и n-однородном гиперграфе с хроматическим числом больше r. Полученная оценка улучшает ранее известные результаты для всех n, достаточно больших по сравнению с r и b. В задаче о цепочке слабо взаимодействующих осцилляторов, подверженных слабому случайному возмущению, исследовано эффективное уравнение, выведенное на предыдущем этапе работы. Показано, что в пределе, когда длина цепочки стремится к бесконечности, его решение и стационарная мера сходятся к единственному решению и единственной стационарной мере эффективного уравнения для цепочек бесконечной длины. С помощью этого доказано, что усредненный стационарный поток энергии в эффективном уравнении при указанном пределе становится пропорционален локальному градиенту температуры. Предложена идентификация неоднородностей сложных стохастических структур, основанная на использовании новых статистических оценок дивергенции Кульбака – Лейблера между определенными мерами и техники адаптированных (скользящих) окон наблюдений. Для этой цели на основе методов, разработанных в рамках проекта в статье A.Bulinski, D.Dimitrov (2018), доказаны предельные теоремы, описывающие поведение оценок дивергенции Кульбака – Лейблера, построенных с помощью статистик ближайших соседей. В отличие от известных работ M.Kulldorff (1997), G.Walther (2010), P.Alonso-Ruiz, E.Spodarev (2016) рассматриваются случайные векторы со значениями в достаточно гладких многообразиях. Это позволяет, в частности, исследовать модели стохастических волокнистых структур, когда направления волокон-отрезков задаются в соответствии с некоторым распределением вероятностей на единичной сфере, а центры этих отрезков описываются пространственным точечным пуассоновским процессом. Асимптотическая нормальность введенных новых статистик доказана с помощью методов статей M.Penrose, J.Yukich (2013) и S.Delattre, N.Fournier (2016). Кроме того, проведены компьютерные симуляции, показавшие эффективность разработанных методов выявления неоднородностей волокнистых материалов. В работе A.Bulinski, A.Kozhevin, объемом 35 страниц, (сдана в Международный журнал ESAIM в 2018, из редакции получена положительная рецензия) проведено исследование новых статистических оценок условной энтропии. Тем самым построены новые оценки взаимной информации. Упомянутая взаимная информация играет важную роль, поскольку позволяет улавливать нелинейные связи между изучаемыми случайными векторами. Это обстоятельство существенно при выявлении значимых факторов, влияющих на некоторый случайный отклик. При весьма широких условиях А.В.Булинским и А.А.Кожевиным доказана асимптотическая несмещенность и L2-состоятельность новых оценок условной энтропии Шеннона для смешанной модели, в которой вектор предикторов имеет абсолютно непрерывное распределение, а изучаемый случайный отклик принимает значения в произвольном конечном множестве. Такого рода модели важны, например, при анализе медико-биологических данных. При этом, в отличие от работы W.Gao et al. (2018), не делается никаких предположений топологического характера о структуре множества, в котором принимает значения рассматриваемый отклик. Получена также оценка скорости стремления к нулю смещения предложенной оценки, когда число наблюдений растет к бесконечности. Теоретические исследования дополнены компьютерными симуляциями, показывающими определенные преимущества новых оценок условной энтропии в модели логистической регрессии с гауссовским вектором предикторов. Завершается подготовка к представлению в научный журнал двух новых работ, выполненных в рамках данного проекта, а именно, статьи А.В.Булинского, Д.В.Димитрова и статьи А.В.Булинского, А.А.Кожевина. Дан конструктивный положительный ответ на гипотезу известного американского математика У. Арвесона о существовании квантовых динамических полугрупп с тривиальной алгеброй в области определения производящего оператора. Построен некоммутативный аналог диффузии на полупрямой с отскоком в фиксированное квантовое состояние, производящий оператор которой не представляется в стандартной форме Линдблада. Предложена модификация метода Алиского-Фаннеса, которая позволяет доказывать равномерную непрерывность на множестве квантовых состояний с ограниченной энергией любой локально почти аффинной функции, имеющей ограниченную скорость роста при увеличении максимальной энергии. С помощью этого метода доказана асимптотическая непрерывность относительной энтропии сцепленности и ее регуляризации при энергетическом ограничении на одну из подсистем. Получены независящие от канала оценки модуля непрерывности квантовой взаимной информации на выходе локального канала и выходной величины Холево при входных энергетических ограничениях. Построены функциональные представления пространства операторов Шварца и дуального к нему. Изучены некоммутативные операторные графы, порожденные разложениеми единицы, ковариантными относительно проективных унитарных представлений локально-компактных групп. Получены асимптотические уравнения для резольвент выборочных ковариационных матриц, отвечающих анизотропным распределениям, в предположении, что отношение размерности распределений к размеру выборки стремится к ненулевой константе, а квадратичные формы от случайных векторов с такими распределениями в первом порядке приближаются своими средними значениями. Установлены оценки точности аппроксимаций резольвент решениями соответствующих детерминированных асимптотических уравнений. Показано, как данные результаты применяются в установлении скоростей сходимости эмпирических спектральных распределений выборочных ковариационных матриц к своим пределам. В рамках модели риска Спарре Андерсена найдена оценка сверху для вероятности разорения акционерной страховой компании при условии, что интервалы между моментами поступления требований имеют гамма-распределение и страховая компания использует линейную барьерную стратегию выплаты дивидендов. Охарактеризовано множество терминальных значений max-непрерывного локального мартингала и его максимума в предположении, что процесс также является замкнутым супермартингалом. Доказано, что это множество терминальных значений не изменится, если ограничиться специальным подклассом мартингалов с единственным скачком вниз, а также подклассом минимальных решений задачи вложения Скорохода.