Аннотация результатов, полученных в 2019 году
В рамках проекта получены новые приложения теории сумм произведений и инциденций. В классической оригинальной постановке задачи сумм произведений мы нашли наилучшую на сегодняшний день оценку на max{|A+A|, |AA|} для достаточного малого подмножества A из F_p. Для множеств с малым удвоением найдена лучшая на сегодняшний момент оценка на аддитивную энергию, а также на их сумму и разность, найдены проложения к базисным свойствам мультипликативных подгрупп и к распределению максимального расстояния между элементами подгруппы. Получены новые приложения теории сумм произведений и инциденций : найдена точная верхняя оценка на число Зарембовских чисел, а также установлена асимптотическая формула для количества чисел a таких, что a/p имеет ограниченные неполные частные для почти всех точек из промежутка, кроме того, мы связали данный круг вопросов с комбинаторными задачами о числе инциденций в гиперболах. Изучена связь задач сумм и произведений с ростом в группе Гейзенберга и в аффинной группе. Феномен сумм--произведений изучался для подмножеств вещественной прямой дробной хаусдорфовой размерности. Доказан новый критерий плохо-приближаемости n-мерных вещественных векторов, связанный с ростом знаменателей наилучших приближений, получены одномерные и многомерные соотношения на близость функций мер иррациональности двух независимых вещественных чисел, которые оказались точными по порядку. Получена верхняя оценка числа решений алгебраического уравнения P(x,y)=0, для многочлена с ненулевым свободным членом, над полем характеристики p, принадлежащих объединению некоторого количества смежных классов по подгруппе мультипликативной группы поля. Получен ряд результатов о производной функции Минковского (равенство нулю и бесконечности). Получены результаты о распределении длинных сумм характеров. Были получены новые оценки сумм Клоостермана с простыми числами, а именно, найдена нетривиальная оценка суммы Клоостермана с простыми числами по простому модулю q, нетривиальна в случае, когда число слагаемых X превышает модуль в степени 0.5+\epsilon, где \epsilon – скол угодно малое фиксированное число, получена нетривиальная оценка суммы Клоостермана с простыми числами по произвольному (не обязательно простому) модулю q в случае, когда длина X суммы находится между q^(3/4) и q^(3/2), исследованы сопутствующие вопросы. Препринты: arXiv:1911.12005v1 arXiv:1911.07487v1 arXiv:1905.00291 arXiv:1808.08465 arxiv.org/abs/1901.01846 arXiv:1911.10634v1 [math.NT] 24 Nov 2019 arXiv:1911.09981v1 [math.NT] 22 Nov 2019 arXiv: https://arxiv.org/abs/1911.12589

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В рамках проекта получены новые приложения теории сумм произведений и инциденций. Мы получили серию результатов о количественной форме в модулярной гипотезы Зарембы, впервые доказали результат об инциденциях для нелинейных объектов в конечном поле, получили приложения к оценке билинейных сумм Клоостермана с общими весами, получили наилучшую оценки для аддитивная энергии произвольного множества действительных чисел с малым произведением. Собственно в принципе сумм произведений мы нашли наилучшую на сегодняшний момент экспоненту роста, начали изучать принцип сумм-произведений для экспандеров от подмножеств действительных чисел с положительной Хаусдорфовой размерностью. Существенным образом мы продвинулись в гипотезе Эрдеша--Шаркози об аддитивной представимости мультипликативных подгрупп. Изучена новая связь винеровской нормой множеств и его мультипликативной энергией, кроме того, мы доказали что любое симметричное подмножество S абелевой группы имеет ненулевой коэффициент Фурье размера \Omega( |S|^{1/3}). В задаче о производной функции Минковского получен точный ответ, что завершает серию работ И. Кана и Гайфулина совместно с И. Каном. Продолжено изучение неполных сумм Клоостермана и их приложений к задачам аналитической теории чисел. В частности, найдена оценка короткой «однородной» суммы Клоостермана по произвольному модулю, при этом суммирование в которой ведётся по простым числам, исследована аналогичная задача для короткой «неоднородной суммы» Клоостермана. Далее, изучалась осцилляция полных сумм Клоостермана S(n,1,p) по простому модулю p, и получен нетривиальный результат в случае когда длина промежутка осреднения больше корня. С помощью оценок полных сумм Клоостермана и явных формул для них исследовалась представимость заданного вычета m по по модулю вида q = 3^{n} в виде суммы k слагаемых вида g(p), где p – простое число из промежутка с малой длиной, а g(x) = ax*+bx (mod q). Изучалось поведение главного члена асимптотики для числа решений в зависимости от параметров a,b,m и k задачи. Показано, что множество простых чисел, таких, что суммы символов Лежандра положительны на всех начальных отрезках вещественного луча, имеет плотность, стремящуюся к нулю. Установлена взаимосвязь между этим вопросом, случайными мультипликативными функциями и максимумами гауссовских процессов. Доказано, что параметр стохастичности множества квадратичных вычетов может значительно отличаться от своего среднего значения, кроме того, доказано, что множество тех модулей, для которых этот параметр меньше соответствующего среднего значения, имеет положительную нижнюю плотность. Препринты: arXiv:2008.00764v1 [math.CO] arXiv:2010.03020v2 [math.NT] arXiv:2004.10038v1 [math.CO] arXiv:2003.12785v1 [math.NT] arXiv:1912.03483v1 [math.NT] arXiv:1911.12005v1 [math.CO] arXiv:1911.07487v1 [math.NT] arXiv:1905.00291v1 [math.NT] arXiv:1911.10634v1 [math.NT] arXiv:1911.12589v2 [math.NT] arXiv:1911.09981v1 [math.NT] arXiv:1901.01846v2 [math.NT] arXiv:2005.05315v1 [math.NT] arXiv:2008.08684v1 [math.CO] arXiv:2002.00433v1 [math.NT] arXiv:2010.04982v2 [math.NT] arXiv:2011.11468v1 [math.NT]

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Получена нетривиальная верхняя оценка на константы удвоения и аддитивную/мультипликативную энергию комбинаторного куба в множестве действительных чисел, а также на мультипликативную энергию любого куба размера O(p^{13/23}) в поле F_p. Получена новая оценка, связывающая первое нетривиальное собственное значение оператора Лапласа на графе и диаметр этого графа. Изучено понятие удвоения для сохраняющих меру отображений счетной абелевой группы. Впервые, так-называемые GCD--суммы приложены к задачам аддитивной комбинаторики и теории чисел. Исследовано специальное сравнение с обратными величинами по произвольному модулю. Установлено, что для неполной суммы Клоостермана длины N по модулю q вида p^r, где p – простое число, r > 3 – целое, нетривиальная оценка со степенным понижением возможна уже в случае, когда N > q^{1/(r-1)+\eps}. Решена задача о равномерных оценках функции Минковского для всех возможных значений производной, построены соответствующие примеры, доказывающие оптимальность. Показано, что оптимальная константа для равномерных оценок ровно в два раза меньше, чем для локальных. Проведено исследование по случайным мультипликативным функциям, при помощи адаптации методов А. Харпера получена оценка на считающую функцию вида m(N)<<(ln N)^{-c} для c=0.0368. Улучшена оценка на количество остатков последовательности n! по простому модулю, на отрезках длины меньшей p. Удалось получить оптимальные оценки в нескольких задач с суммами и произведениями для плотных множеств в конечном поле с помощью новой техники врапперов. Изучены последовательности натуральных чисел с мультипликативной структурой вида kf(k), где f --  мультипликативная фукция, найдены порядки роста считающих функций таких последовательностей для случаев функции делителей, функции числа простых делителей и функции Эйлера. Получены новые результаты о неоднородных приближениях со взаимно простыми числами, доказана теорема о совместном поведении нескольких функций мер иррациональности вещественных чисел, установлен новый критерий плохо приближаемых вещественных векторов. Доказано, что всякое число из спектра Дирихле в задаче о двумерных совместных приближениях в евклидовой норме достигается на хорошо приближаемом векторе. Были рассмотрена задача представления подгруппы в виде образа полинома от двух переменных и доказано, что, если подгруппа G=P(A,B) то это возможно, только если мощности множеств A и B близки в sqrt{|G|}). Найдено нелинейное обобщение теоремы Конягина и Шпарлинского: пусть P(x,y) - многочлен над F_p, имеющий нулевой свободный член, но имеющий хотя бы два ненулевых монома минимальной степени тогда число его нулей, принадлежащих объединению h различных смежных классов по подгруппе G мультипликативной группы поля, не более чем C(h|G|)^{2/3}. Препринты: http://arxiv.org/abs/2004.10038 arXiv:2010.03020v2 [math.NT] 24 Oct 2020 arXiv:2008.00764v1 [math.CO] 3 Aug 2020; arXiv:2111.05751 arXiv:2106.09615 arXiv:2103.14670 arXiv:2101.09770 https://arxiv.org/abs/2107.00461 https://arxiv.org/abs/2105.06910 https://arxiv.org/abs/1911.10634 https://arxiv.org/abs/2011.11468 https://arxiv.org/abs/2108.08778 https://arxiv.org/abs/2102.00543