Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Одной из важнейших задач квантовой механики является вычисление корреляционных функций квантовых систем, так как именно корреляционные функции измеряются экспериментально. В рамках квантового метода обратной задачи они строятся из более простых блоков, которые, в свою очередь, являются скалярными произведениями особого вида. Для успешного вычисления корреляционных функций необходимо иметь простые, компактные выражения для этих скалярных произведений. Традиционно такими удобными выражениями считаются представления в виде определителей матриц конечного порядка. Однако подобные представления известны далеко не во всех квантовых моделях. В нашей работе была рассмотрена спиновая цепочка, в которой исходная пространственная симметрия нарушена за счет нетривиальных граничных условий. Данное нарушение приводит к тому, что приходится модифицировать подходы и методы, традиционно применявшиеся к исследованию спиновых цепочек. Нами было вычислены скалярные произведения, которые содержат физические состояния рассматриваемой квантовой системы. Ответы получены в компактном виде и представляют собой определители матриц, размер которых равен длине спиновой цепочки. Эти скалярные произведения могут быть использованы для вычисления корреляционных функций спиновых цепочек с нарушенной пространственной симметрией. Работа, выполненная в рамках данного проекта, размещена по ссылке https://www.emis.de/journals/SIGMA/2019/066/sigma19-066.pdf Построена динамическая GL(MN)-значная квантовая R-матрица смешанного типа. В частном случае она воспроизводит известные ранее ответы для динамических R-матриц Фельдера (при N=1) и для нединамических R-матриц вершинных моделей (при M=1). Ответ представлен в виде, содержащем естественную блочную структуру, и предполагающем, что вершинные GL(N)-значные R-матрицы удовлетворяют не только квантовому уравнению Янга-Бакстера но и квадратичному соотношению, известному, как ассоциативное уравнение Янга-Бакстера. Полученный ответ позволяет построить R-матричное квантование системы взаимодействующих волчков. Результаты исследований представлены по ссылкам http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9897&option_lang=rus https://arxiv.org/pdf/1905.08724.pdf Описана новая эллиптическая интегрируемая система взаимодействующих волчков Эйлера-Арнольда. Ответ получен в виде пары Лакса размера NM на NM со спектральным параметром на эллиптической кривой. Динамика описывает взаимодействие M релятивистских волчков с группой симметрии GL(N), наделенных также координатами и импульсами. В случае M=1 воспроизводится полученное ранее семейство интегрируемых релятивистских волчков, а в случае N=1 – эллиптическая спиновая модель Русейнарса-Шнайдера. Для описанной системы получены и явно выписаны уравнения движения и аналоги тензоров инерции, Результаты исследований представлены по ссылкам http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=9767&option_lang=rus https://arxiv.org/pdf/1910.08246.pdf Проведен анализ эллиптических решений интегрируемых нелинейных дифференциальных и разностных уравнений (уравнения Кадомцева-Петвиашвили, B-версии уравнения Кадомцева-Петвиашвили, двумеризованной цепочки Тода) и получены уравнения движения для их полюсов. Динамика полюсов дается интегрируемой многочастичной системой типа Калоджеро-Мозера или Руйсенаарса-Шнайдера. Основное техническое средство – вспомогательные линейные задачи для волновой функции, с помощью которых выводятся уравнения движения полюсов вместе с представлением Лакса или тройки Манакова для них. Были также изучены интегралы движения и свойства спектральных кривых. В нашей работе были исследованы решения B-версии уравнения Кадомцева-Петвиашвили (B-КП), которые являются эллиптическими функциями переменной x (первое время иерархии В-КП). Было показано, что полюса эллиптических решений как функции третьего времени иерархии двигаются в соответствии с уравнениями движения некоторой новой, неизвестной ранее многочастичной системы, которые получены в явном виде. Отличительная черта этих уравнений движения — наличие трехчастичного взаимодействия и зависимость от первых производных по времени. Показано также, что вместо представления Лакса данные уравнения движения допускают матричное представление типа тройки Манакова. Найдена также самодуальная форма уравнений динамики полюсов эллиптических решений В-версии уравнения КП. Изучены свойства соответствующей спектральной кривой (задаваемой характеристическим полиномом матрицы Лакса). Показано, что уравнение спектральной кривой является производящей функцией интегралов движения. Несколько интегралов движения найдены в явном виде для произвольного числа частиц N. Высказана гипотеза, что данная динамическая система является интегрируемой. Исследованы аналитические свойства волновой функции (общего решения вспомогательных линейных задач) на спектральной кривой и показано, что она обладает свойствами функции Бейкера-Ахиезера. Результаты опубликованы и доступны по ссылкам: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0393044019301883?via%3Dihub https://arxiv.org/pdf/1905.11383.pdf В отчетном году, А.Смирнов в сотрудничестве с З. Жу (Стэндфордский университет, США) выполнил исследование квантовой геометрии гиперторических многообразий. В гиперторическом случае были получены явные комбинаторные формулы для эллиптических стабильных оболочек, вертексных функций а так же разностных уравнений которым удовлетворяют вертексные функции. Используя данные формулы было доказано, что в эквивариантных эллиптических когомологиях произведения гиперторического многообразия и двойственного гиперторического многообразия существует выделенный класс, который при ограничении совпадает с эллиптическими стабильными оболочками. Таким образом, доказана гипотеза о трехмерной зеркальной симметрии в гиперторическом случае. В совместной работе А.Смирнова и Х. Динкинса (университет северной Каролины, США) изучены вертексные функции (решения уравнений qKZ) для многообразий Накаджимы типа А. Получены представления данных функций в виде сходящихся q-гипергеометрических рядов по динамическим параметрам и в виде контурных интегралов. Были изучены асимптотические свойства данных функций. Доказано что в пределе бесконечно больших эквивариантных параметров вертексные функции сходятся к произведению q-гамма функций, вычисленных в специальных точках. Показано, что данные специальные точки определяются характерами касательного пространства в неподвижной точке тора на симплектически двойственном многообразии. Эти результаты опубликованы в препринте https://arxiv.org/pdf/1908.01199.pdf В первом году реализации проекта была начата программа исследований soN -инвариантных квантовых интегрируемых моделей с использованием токового формализма рациональных деформаций алгебр Каца–Муди и метод проекций на пересечение различных борелевских подалгебр. В рамках данного метода off-shell векторы Бете определяются в терминах генераторов соответствующих бесконечномерных алгебр. RTT-формулировка этой алгебры использует ту же R-матрицу, что и сплетающее соотношение для матрицы монодромии soN-инвариантной квантовой интегрируемой модели. Главной целью проделанной работы было нахождение формул для действия элементов матрицы монодромии на векторы Бете с помощью токового подхода и метода проекций. Было показано, что данный подход позволяет получить такие формулы и записать результаты действия элементов матрицы монодромии как конечные линейные комбинации off-shell векторов Бете. Отметим, что для получения этих формул не использовались явные представления для векторов Бете в виде полиномов от элементов матрицы монодромии, действующих на циклический вектор. Такие явные представления до сих пор не получены в общем виде, но они и не являются необходимыми для задачи вычисления скалярных произведений векторов Бете. Было показано, что метод проекций позволяет полностью избежать подобных представлений. Несмотря на то что so3-инвариантные квантовые интегрируемые модели фактически эквивалентны моделям, основанным на алгебре gl2, расчеты, которые приводят к векторам Бете и формулам для действия матричных элементов, весьма заметно различаются. Для моделей с gl2-симметрией эти формулы отражают общую glN-схему, а для моделей с so3-симметрией они ближе к подходу, основанному на симметрии soN. Данные результаты свидетельствуют о том, что метод проекций для определения векторов Бете работает и в случае soN - и sp2n- инвариантных моделей. Соответствующее исследование будет проведено в следующие два года реализации проекта. Работа, выполненная в рамках данного проекта, размещена по ссылке http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=9762&option_lang=rus https://arxiv.org/pdf/1906.03202.pdf

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В рамках изучения неравновесных процессов в квантовых интегрируемых системах было вычислено скалярное произведение волновых функций гамильтонианов изотропной спиновой цепочки, отвечающих различным граничным условиям. Показано, что при определенных соотношениях между параметрами твиста, задающих граничные условия, полученная формула сводится к одному детерминанту матрицы конечного порядка. Размер матрицы равен количеству параметров Бете, которые задают одну из волновых функций. Получена система линейных уравнений, решениями которой являются скалярные произведения on-shell и off-shell векторов Бете в 8-вершинной модели. Доказана ее разрешимость. Получено решение системы в виде детерминанта матрицы, размер которой равен количеству корней уравнений Бете, задающих on-shell вектор. Таким образом, найдено представление в виде детерминанта для скалярного произведения on-shell и off-shell векторов Бете в 8-вершинной модели Бакстера. Нормированное скалярное произведение свободно от неоднозначностей. https://arxiv.org/abs/2005.11224 Для каждой кососимметричной унитарной квантовой GL(N) R-матрицы в фундаментальном представлении группы GL(N), которая удовлетворяет квадратичному ассоциативному уравнению Янга-Бакстера, описана релятивистская интегрируемая GL(NM)-моделей, обобщающая, с одной стороны, классические спиновые системы Руйсенарса–Шнайдера (случай N=1), а с другой – классические релятивистские интегрируемые волчки на группе Ли GL(N) (случай M=1). В частности, при выборе эллиптической квантовой R-матрицы Бакстера-Белавина, в случае N=1 получается известная эллиптическая спиновая система Руйсенаарса-Шнайдера, описанная Забродиным и Кричевером, а в случае M=1 известный релятивистский GL(N)-волчок. Модели описываются через пары Лакса со спектральным параметром. Получены уравнения движения. Результаты опубликованы в статье И. А. Сечин, А. В. Зотов, “Интегрируемая система обобщенных релятивистских взаимодействующих волчков”, ТМФ, 205:1 (2020), 55–67; https://arxiv.org/abs/2011.09599 Был изучен специальный класс сингулярных решений матричной иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП) и установлена их связь со спиновым обобщением интегрируемой системы Калоджеро-Мозера. Именно, рассмотрены решения матричной иерархии КП, которые являются тригонометрическими функциями первого иерархического времени. Показано, что эволюция полюсов и матричных вычетов в полюсах тригонометрических решений по k-му иерархическому времени матричной иерархии КП задается гамильтоновым потоком, который представляет собой линейную комбинацию первых k гамильтоновых потоков, отвечающих высшим гамильтонианам спиновой системы Калоджеро-Мозера. Эта линейная комбинация найдена в явном виде. Другой результат, тесно связанный с предыдущим, - это введение дискретной по времени интегрируемой версии спиновой тригонометрической системы Калоджеро-Мозера, уравнения движения которой получены в явном виде. Метод получения этого результата основан на изучении динамики полюсов тригонометрических решений матричной иерархии КП с дискретным временем (более точно, так называемой полудискретной матричной иерархии КП, в которой пространственная переменная остается непрерывной, а временная становится дискретной). В работах А. Смирнова совместно с Я. Коновым были доказаны гипотеза Окунькова о факторизации К-теорных пределов эллиптических стабильных оболочек и гипотеза Горского-Негута о связи тороидальных и тригонометрических Р-матриц. Было построено преобразование Фурье-Мукая, описывающее трехмерную зеркальную симметрию в К-теории симплектических пространств. Доказано, что данное преобразование отображает стабильные базисы в К-теории в стабильные базисы в К-теории двойственного пространства. Результаты исследований опубликованы в серии из двух статей в arXiv и направлены в журналы для публикации. https://arxiv.org/abs/2004.07862 https://arxiv.org/abs/2008.06309 В работе А. Смирнова совместно с З. Жу получены комбинаторные формулы описывающие эллиптические стабильные оболочки гиперторических многообразий. Было построено ядро преобразования Фурье, связывающее вертексные функции двойственных пространств. Результаты данного исследования опубликованы в arXiv и направлены в журнал Advances in Mathematics для публикации. https://arxiv.org/abs/2006.00118 В работе А. Смирнова совместно с Х. Динкинсом были получены явные комбинаторные формулы для вертексных функций с потомками, в случае нульмерных многообразий Накаджимы типа А. Были получены формулы описывающие монодромии данных функций и их связь с эллиптическими оболочками симплектически двойственного пространства. Получены формулы характеров тавтологических расслоений для пространств Накаджимы с произвольными условиями стабильности. Результаты данного исследования опубликованы в виде двух статей. Первая опубликована в журнале International Mathematics Research Notices, вторая направлена в журнал Advances in Mathematics. https://arxiv.org/abs/1912.04834 https://arxiv.org/abs/2005.12980 Во втором году реализации проекта была выполнена одна из основных задач данного исследования. Были получены убедительные доказательства того, что метод проекций для исследования пространства состояний квантовых интегрируемых моделей ассоциированный с деформациями алгебр Каца-Муди различных серий работает в случаях алгебр отвечающих всем классическим сериям простых алгебр Ли. Наиболее подробно были исследованы пространства состояний в квантовых интегрируемых моделях серии В. В частности, была продемонстрирована возможность представления off-shell векторов Бете в таких моделях в виде проекции от упорядоченного произведения токов, отвечающих простым корням подлежащей простой алгебры Ли. Далее были получены явные формулы действия элементов матрицы монодромии на эти вектора и эти вычисления базировались на относительно простых коммутационных соотношениях в соответствующей деформированной алгебре токов. Далее формулы действия для верхне-треугольных элементов матрицы монодромии были проинтерпретированы как рекуррентные соотношения на вектора Бете, которые могут быть в дальнейшем использованы для изучения скалярных произведений этих векторов и форм-факторов в рассматриваемых моделях. Аналогичные исследования для серий C и D будут продолжены в следующем году и будут представлять из себя решение различных технических задач, специфических для каждой из оставшихся серий. Работа, выполненная в рамках данного проекта размещена по ссылке https://www.emis.de/journals/SIGMA/2020/120/ Для коммутаторных тождеств, выражающих коммутатор [A^n,B], n>2, элементов A и B ассоциативной алгебры, дано выражение через многократные коммутаторы B с элементами A и A^2. Полученные иерархии коммутаторных тождеств переходят в иерархии линейных дифференциальных уравнений при введении независимых времен t_1, t_2,..., t_n посредством B_{t_i}=[A^i,B]. Мы провели процедуру одевания, основанную на d-bar задаче, где элемент B выступает в качестве данных рассеяния, и доказали, что старшие члены этой иерархии приводят к нелинейным интегрируемым уравнениям иерархии Кадомцева-Петвиашвили. Далее, мы ввели элемент s ассоциативной алгебры, такой что [A,s]=0, {s,B}=0, где {,} означает антикоммутатор, и s^2=1. Легко видеть, что тождественно [A^2,B]=[A,[As,B]]. Вводя новый набор независимых переменных x_1,...,x_n посредством B_{x_i}=[A^is,B], мы получаем новый набор коммутаторных тождеств, где коммутаторы A^i и A^is с элементом B разлагаются по многократным коммутаторам с A и As. В результате мы получаем две иерархии линейных дифференциальных уравнений, младшими элементами которых выступают линеаризованные версии уравнений Деви-Стюартсона, точнее говоря, ДС-1 (или ДС-2) и ДС-3. Мы проводим процедуру одевания и доказываем, что каждое из этих линейных уравнений может быть продолжено до нелинейных интегрируемых уравнений этих иерархий. Таким образом построены новые иерархии интегрируемых уравнений методом одевания в ассоциативных алгебрах.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Используя сплетающую матрицу IRF-Vertex соответствия, было предложено детерминантное представление для производящей функции коммутирующих гамильтонианов двойной эллиптической системы. Более точно, эта производящая функция является отношением нормально упорядоченных детерминантов, которое становится одним детерминантом в классическом случае. С помощью полученных результатов были воспроизведены собственные значения квантовых гамильтонианов для модели, дуальной эллиптической системе Руйсенарса-Шнайдера. Классический аналог описанной конструкции дает выражение для спектральной кривой и соответствующий L-оператор, полученный явно в виде усреднения матрицы Лакса типа Склянина или Руйсенарса по решетке периодов подобно тому, как это заложено в определении тета функции. По построению L-оператор удовлетворяет представлению Манакова вместо представления Лакса. Была начата работа по исследованию формфакторов и корреляционных функций в XYZ цепочке Гейзенберга с помощью обобщенного алгебраического анзаца Бете. На первом этапе рассматривалась XY цепочка, поскольку для этой модели существует альтернативный подход, основанный на представлении собственных векторов гамильтониана в виде когерентных состояний. Нами была установлена связь между когерентными состояниями и on-shell векторами Бете. Для цепочек небольшой длины нам удалось построить обобщенные когерентные состояния, зависящие от двух дополнительных параметров и совпадающие с off-shell векторами Бете. Было предложено геометрическое описание квантового разностного уравнения для схемы гильберта точек на плоскости. Получено описание монодромии данного уравнения в терминах К-теорных и эллиптических стабильных оболочек. В частности, дано полное описание монодромии квантового дифференциального уравнения Окунькова-Пандарипанде. Доказано, что операторы монодромии равны К-теорным R-матрицам для симплектически двойственной схемой Гильберта. Получены явные формулы для производящих функций индексов пространств модулей квазиотображений в многообразия Накаджимы. Было доказано, что данные функции равны эквивариантной Эйлеровой характеристике классов стабильных оболочек на симплектически двойственных многообразиях. В частности, доказано что производящие функции являются рядами Тейлора рациональных функций. Была построена новая иерархия интегрируемых уравнений в размерности (2+1). Характерным свойством этой иерархии является включение времен с отрицательными номерами, т. е. интегрируемых уравнений, порождаемых отрицательными степенями оператора A в коммутаторах. Построение проводится на примере иерархии Дэви-Стюартсона, для которого существование иерархии для положительных времен хорошо известно. Мы полагаем здесь B_{t_n} = [A^n ,B], B_{x_n} = [σA^n ,B], где n может принимать отрицательные значения. Таким образом мы приходим к следующему линейному уравнения: B_{x_1 x_1 t_{-1}}−B_{t_1 t_1 t_{-1}}+4B_{t_1}=0. Аналогично получаются и высшие версии этих уравнений. Для построения соответствующих иерархий мы вводим коммутаторные тождества, содержащие коммутаторы с A^{-n} и σA^{-n}. Процедура одевания в применении к данным линейным уравнениям имеет вид «d с чертой» задачи, ядром которой является оператор B с символом, зависящим помимо указанных времен, от доплнительной комплексной переменной z, по сопряженной к которой и рассматривается обратная задача. При этом символ оператора B нормируется на 1 при z стремящемся к бесконечности. Такое определение обратной задачи гарантирует коммутативность всех производных оператора одевания по t_n, x_n при всех n. Это означает, что эволюции по всем временам, как с положительными, так и с отрицательными номерами находятся в инволюции. На этом аналогия обратной задачи для отрицательного времи и положительного номера времен заканчивается. Оказывается, что эволюция по отрицательному времени приводит к обратной задаче, ядро которой требует преобразования подобия: B → A^{-1}BA^{1}. Для решения данной проблемы мы вводим дополнительную дискретную переменную n, так что сдвиг n→ n+1 задается преобразованием подобия. Указанные два уравнения позволяют исключить сдвиг оператора одевания, так что мы приходим к уравнению второго порядка, задающего эволюцию по времени с отрицательным номером. Условие его совместности с положительным временем дает систему двух уравнений, которая нелинейна и интегрируема по построению. При этом одно из уравнений явлется связью. Таким образом получены новые интегрируемые уравнения, ранее не встречавшиеся в литературе. Эти уравнения допускают естественное обобщение на неабелев случай. Кроме того, они приводят к размерным интегрируемым редукциям для уравнений в размерности 1+1. Аналогичным образом мы строим бесконечные иерархии таких уравнений. Найдено и исследовано вложение динамики полюсов эллиптических решений иерархии КП типа В в динамику N-частичной системы Калоджеро-Мозера. Показано, что в фазовом пространстве системы Калоджеро-Мозера имеется подпространство половинной размерности, инвариантное относительно нечетных потоков, и соответствующее попарному «слипанию» частиц. Показано также, что полученные ранее уравнения движения полюсов эллиптических решений уравнения КП типа В совпадают с ограничением потока Калоджеро-Мозера для третьего гамильтониана на инвариантное подпространство в фазовом пространстве, отвечающее таким парам слипшихся частиц. В третьем году реализации проекта результаты, полученные ранее для рациональных квантовых интегрируемых моделей, ассоциированных с дублями Янгианов, были расширены на тригонометрические модели. Эти результаты включают формулы действия элементов матрицы монодромии на вектора Бете, которые могут быть интерпретированы как рекуррентные соотношения для векторов состояний и позволяют получить явные формулы для векторов состояний в квантовых интегрируемых моделях в терминах элементов соответствующей матрицы монодромии. Явные формулы для векторов состояний не являются необходимыми при изучении скалярных произведений векторов Бете и форм-факторов локальных операторов. Комбинация рекуррентного соотношения для левого вектора Бете в скалярном произведении векторов состояний с формулами действия нижне-треугольных элементов матрицы монодромии на правый вектор Бете, позволяет получить рекуррентные соотношения на старшие коэффициенты скалярных произведений. В некоторых случаях, такие рекуррентные соотношения приводят к детерминантному представлению для скалярных произведений. Такое детерминантное представление может быть использовано в термодинамическом пределе для получения физически-значимых результатов в различных квантовых интегрируемых системах. Исследования, начатые в данном проекте, развивают систематический подход к изучению квантовых интегрируемых систем, ассоциированных с g- и Uq(g)-инвариантными R-матрицами для всех простых алгебр Ли g. Описана новая общая gl(NM) модель Годена. Получена соответствующая пара Лакса размера NM на NM с n полюсами на эллиптической кривой. Для описанной системы получены и явно выписаны уравнения движения. В случае M=1 воспроизводится семейство эллиптических моделей Годена, а в случае N=1 — многополюсная спиновая модель Калоджеро-Мозера. Однополюсный случай соответствует динамике взаимодействующих интегрируемых волчков. Определено обобщение этой модели, построенное с помощью R-матриц, удовлетворяющих ассоциативному уравнению Янга–Бакстера. Приводится естественное обобщение полученных результатов на системы Шлезингера.