Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Построены новые верхние оценки для величины Холево для дискретных и непрерывных ансамблей квантовых состояний, зависящие от референтного состояния (как свободного параметра). Показано, что при правильном выборе референтного состояния можно получить эпсилон-точные верхние оценки, которые улучшают известные ранее. Получена верхняя оценка для пропускной способности Холево конечномерного квантового канала, зависящая от метрической характеристики (чебышевского радиуса) множества выходных состояний канала. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ppi&paperid=2292&option_lang=rus Получены необходимые и достаточные условия дифференцируемости сильно непрерывных квантовых динамических полугрупп относительно нормы полной ограниченности с энергетическим ограничением. Получены достаточные условия представимости сильно непрерывных квантовых динамических полугрупп в виде экспоненциального ряда, равномерно сходящегося на множестве состояний с ограниченной энергией. Построены примеры сильно непрерывных квантовых динамических полугрупп, имеющих экспоненциальное представление на множестве состояний с ограниченной энергией. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ljm&paperid=186&option_lang=rus Изучена структура операторных графов, порождённых приводимыми унитарными представлениями коммутативной группы поворотов и некоммутативной группы Гейзенберга-Вейля. Построено сингулярное возмущение полугруппы неунитальных *-эндоморфизмов алгебры всех ограниченных операторов в антисимметричном пространстве Фока, определяемой полугруппой сдвигов в одночастичном пространстве. На основе математической модели квантового инструмента исследованы квантовые операции, уменьшающие след. Выделены два класса операций: 1) демпфированные квантовые каналы, одинаково уменьшающие след всех входных состояний; 2) операции, вероятность реализации которых зависит от состояния системы. Рассмотрена уменьшающая след операция, описывающая эволюцию фотонов с двумя поляризационными степенями свободы при отражении от границы раздела и сопровождаемая потерей фотонов. Осуществлён переход к непрерывному по времени пределу и выведено динамическое уравнение на субнормированную поляризационную матрицу плотности. Для составной двухфотонной системы исследована квантовая динамика, в результате которой каждая из подсистем испытывает асимметричную по поляризациям потерю фотонов и дополнительный деполяризующий шум. Применяя квантовую теорему Синкхорна к построенному уменьшающему след отображению, удалось полностью охарактеризовать квантовые операции, разрушающие и аннигилирующие сцепленность квантовых состояний. Найдены максимальное время сохранения cцепленности и оптимальное начальное сцепленное состояние, сохраняющее максимальную степень сцепленности. Исследована равномерная сходимость условных выходных состояний экспериментально реализуемых операций вычитания и добавления фотона к нормированным выходным состояниям для отображений с одним оператором Крауса, пропорциональным оператору уничтожения или рождения фотонов в фиксированной моде излучения. Показано, что в случае добавления фотона равномерная сходимость имеет место для состояний с ограниченным вторым моментом оператора энергии. В случае вычитания фотона равномерная сходимость имеет место для состояний с ненулевой энергией и ограниченным вторым моментом оператора энергии. Полученные результаты обобщены на случаи вычитания и добавления нескольких фотонов. URL: https://link.springer.com/article/10.1134/S199508021910010X , https://arxiv.org/abs/1908.02207 .

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
В серии работ, посвященных многомодовым гауссовским измерительным каналам, установлено фундаментальное свойство ``гауссовского максимизатора'', на основе которого вычислены важнейшие информационные характеристики таких каналов. Получена достижимая информация калибровочно-инвариантного гауссовского ансамбля состояний, что закрыло вопрос, поставленный еще в начале 1970-х гг. URL: https://ieeexplore.ieee.org/document/9067030. Получено удобное выражение для пропускной способности измерительного канала для передачи (классической) информации при естественном ограничении энергетического типа на входе в терминах дифференциальной энтропии, которое конкретизируется для неприводимо ковариантных измерительных каналов. Вычислена классическая пропускная способность измерительного канала, удовлетворяющего``пороговому условию'', которое охватывает калибровочно-инвариантный случай. Получены результаты, упрощающие вычисление пропускной способности с использованием сцепленности для гауссовского измерительного канала и сводящие вычисления к случаю гауссовских калибровочно-инвариантных состояний. Доказано, что максимум редукции энтропии на множестве состояний с конечными вторыми моментами достигается на гауссовском состоянии, при этом для максимума редукции энтропии получено явное выражение. На этой основе найдена пропускная способность с использованием сцепленности для квантового гауссовского измерительного канала типа 1. URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8121/ab7df8, URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8121/aba91f Предложен универсальный метод получения асимптотически точных оценок модуля непрерывности для энтропийных и информационных характеристик квантовых систем и каналов с энергетическими ограничениями. С помощью этого метода доказана усиленная версия теоремы о равномерной конечномерной аппроксимации для основных пропускных способностей бесконечномерных квантовых каналов с энергетическими ограничениями. URL: https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11128-020-2581-2 Получены характеризации сильной сходимости квантовых каналов в терминах представления Стайнспринга и представления Крауса. Доказана селективная непрерывность комплементарной операции относительно сильной сходимости квантовых каналов. Доказана разрывность унитарной дилатации квантового канала относительно сильной сходимости с помощью построения сильно сходящейся последовательности квантовых каналов, которая не может быть представлена в виде редукции сильно сходящейся последовательности унитарных каналов. Доказана полунепрерывность снизу разности величин Холево ансамбля квантовых состояний и образа ансамбля под действием квантового канала, рассматриваемой как функция пары (канал, входной ансамбль). Получены условия непрерывности для выходной величины Холево квантового канала как функции пары (канал, входной ансамбль). URL: https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.5134660 Введено определение некоммутативного операторного графа квантового канала в случае бесконечномерных квантовых систем. Доказано, что для того, чтобы граф порождался операторами Крауса некоторого квантового канала необходима замкнутость операторного графа в слабой операторной топологии. В случае сепарабельных гильбертовых пространств для заданного операторного графа построен квантовый канал, ошибки в котором описываются этим операторным графом. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=qip&paperid=8&option_lang=rus На основе теоремы Наймарка о дилатации положительных операторозначных мер до проекторозначных мер построены операторы Крауса, определяющие ошибки, которые порождают граф, отвечающий исходной мере. URL: https://arxiv.org/abs/2008.00290 Построена модель возмущения квантово-классического канала Вейля, приводящего к каналам, для которых верхняя граница Холево аддитивна относительно операции взятия тензорного произведения. Найдена классическая пропускная способность таких каналов. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s11128-020-02900-5 Проведено исследование свойств делимости фазоковариантных кубитных отображений. На основе квантовой теоремы Синкхорна и известных свойств унитальных кубитных каналов впервые установлены условия на скорости декогеренции, при которых фазоковариантное кубитное отображение является положительно делимым (https://arxiv.org/abs/1911.09468). Исследованы свойства делимости уменьшающих след квантовых отображений. Каждому уменьшающему след отображению поставлен в соответствие обобщенный стирающий канал. Введено понятие скоростей передачи информации (квантовой, классической) для отображений, уменьшающих след, через соответствующие величины для обобщенного стирающего канала. Найдены формулы для расчета классической и квантовой пропускных способностей при использовании однобуквенного кодирования в случае поляризационной оптоволокнонной линии с разными коэффициентам поглощения для ортогональных поляризаций. Для максимально сцепленного чистого состояния двух кудитов произвольной размерности d ≥ 2 найдены собственные значения его корреляционной матрицы, характеризующей степень нелокальности этого состояния и устойчивость его нелокальности к локальному шуму. На основе этого аналитически показано, что (i) помимо состояний Белла для двух кубитов, оценка Цирельсона для квантового нарушения неравенства СHSH достигается на максимально сцепленном чистом состоянии двух кудитов произвольной четной размерности d >2, и что (ii) для максимально сцепленного чистого состояния двух кудитов нечетной размерности d >2 и бесследовых наблюдаемых с операторной нормой не более единицы максимальное значение математического ожидания CHSH равно 2 (d-1)/d √2 / URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8121/ab5ea3 Для исследования динамики сцепленности состояний квантовой системы в нестационарных задачах развит новый подход, описывающий унитарную эволюцию конечномерной квантовой системы произвольной размерности d≥2 на основе эволюции зависящего от времени вектора в экспоненциальном представлении унитарного оператора эволюции и, связанного единичного вектора, соответствующего унитарному оператору эволюции при обобщенном отображении Гелл-Манна. Для широкого класса однокубитных гамильтонианов найдено точное аналитическое решение, включающее, как частные случаи, нестационарные решения, известные в литературе. URL: https://www.mdpi.com/1099-4300/22/5/521

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
В соответствии с годовым планом работы выполнен квантово-вероятностный анализ передачи информации для многомодовых приближенных гауссовских измерений типа 2, физическим прототипом которых является зашумленное гомодинирование в квантовой оптике. Свойство гауссовского максимизатора установлено для редукции энтропии измерений наблюдаемых типа 2, что позволило дать явные формулы для вычисления максимального выигрыша информации для соответствующего измерительного канала. Вычислена достижимая информация для общего квантового гауссовского ансамбля состояний при выполнении определенного ``порогового условия''. Показано, что максимизирующее измерение является гауссовским типа 1b, что представляет собой далеко идущее обобщение процедуры оптического гетеродинирования. (https://link.springer.com/article/10.1007/s11128-021-03046-8, https://doi.org/10.1063/5.0048112) Доказана полунепрерывность снизу потери (уменьшения) квантовой условной взаимной информации многочастичной квантовой системы при действии произвольных локальных каналов как функции на декартовом произведении множества всех состояний составной системы и множеств всех локальных каналов (с топологией сильной сходимости). Получены новые легко проверяемые достаточные условия непрерывности квантовой условной взаимной информации для сходящихся последовательностей квантовых состояний в двухчастичных и многочастичных системах. Установлены особые свойства непрерывности прироста информации квантового измерения с дополнительной квантовой информацией и без нее, которые определяют устойчивость этих характеристик по отношению к возмущениям измерения и измеряемого состояния. (https://doi.org/10.4213/tm4176) Доказано, что при любой наблюдаемой энергии (гамильтониане) квантовой системы, произвольное квантовое состояние с ограниченной средней энергией Е можно представить в виде выпуклой комбинации чистых состояний со средней энергией, не превосходящей Е. (https://doi.org/10.4213/rm9942) Построена модель измерительных квантовых каналов и некоммутативных операторных графов, порождённых операторнозначными мерами, ковариантными относительно унитарных групп Гейзенберга-Вейля, двухмодового квантового осциллятора и группы смещений когерентных состояний в симметричном пространстве Фока. (https://link.springer.com/article/10.1134%2FS0081543821020024) Построена модель возмущения неунитальной квантовой динамической полугруппы в антисимметричном пространстве Фока, полученной подъёмом действия полугруппы сдвигов в одночастичном гильбертовом пространстве. Построенное возмущение является решением интегрального уравнения, содержащего операторнозначную меру на полупрямой. Доказано, что полученное возмущение является потоком унитальных сдвигов на алгебре канонических антикоммутационных соотношений. (https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs13324-020-00457-1) Проведено исследование вполне положительных и уменьшающих след квантовых отображений, которые описывают физический процесс потери носителей информации в реальных линиях связи ( http://quanta.ws/ojs/index.php/quanta/article/view/163 , https://arxiv.org/abs/2109.01546 ). Изучены общие свойства уменьшающих след квантовых отображений: проведена классификация по зависимости вероятности потерь от квантового состояния, найдено минимальное отображение-дополнение, характеризовано множество нормированных образов, введено понятие обобщенного стирающего канала. Для квантовых линий связи с поляризационно-зависимыми потерями найдены области параметров, при которых: (1) канал является деградируемым, при этом квантовая пропускная способность обладает свойством аддитивности; (2) канал является антидеградируемым, при этом квантовая пропускная способность равна нулю; (3) квантовая пропускная способность обладает свойством супераддитивности, т.е. блочное кодирование с использованием многокубитных состояний приводит к большему значению когерентной информации по сравнению со случаем кодирования с использованием однокубитных состояний. (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8121/abfd61 , https://arxiv.org/abs/2101.05686) Доказана полунепрерывность снизу многочастичной сжатой сцепленности (the squashed entanglement) на множестве состояний с конечными маргинальными энтропиями. Получены достаточные условия локальной непрерывности сжатой сцепленности для сходящихся последовательностей квантовых состояний. Показано, что многочастичная сжатая сцепленность любого счетно-неразложимого сепарабельного состояния с конечными маргинальными энтропиями равна нулю (https://doi.org/10.4213/tm4176). Разработан формализм обобщенных векторов Блоха для произвольной конечномерной квантовой систем произвольной размерности d ≥ 2. В рамках этого формализма состояния кудита и их эволюция во времени, наблюдаемые кудита и их математические ожидания, запутанность, нелокальность состояний многокудитных квантовых систем и т. д. описываются в терминах векторов Блоха - векторов в евклидовом пространстве R^(d^2-1) с компонентами, являющимися коэффициентами разложения наблюдаемых и состояний кудита по операторному базису определенного общего типа, в частности, по обобщенному операторному базису Гелл-Манна. В терминах операторных норм получены аналитические выражения для множества обобщенных векторов Блоха всех бесследовых наблюдаемых и множества векторов Блоха состояний кудита, чистых и смешанных. Получены общие уравнения, описывающие временную эволюцию вектора Блоха состояния конечномерной системы, если она изолирована и если она открыта, и найдены основные свойства эволюции вектора Блоха во времени в каждом из этих случаев. Для чистого двухкудитного состояния произвольной размерности d_1×d_2 получено выражение его сцепленности через характеристики векторов Блоха приведенных состояний. Разработанный общий математический формализм важен как для теоретического исследования свойств конечномерных квантовых систем, так и для квантовых приложений, в частности, для оптимального квантового управления. (https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1751-8121/abf1ae) .