Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Получены критерии весовой L_p – L_q ограниченности квазилинейных интегральных операторов итерационного типа с ядрами с использованием нового метода принципа двойственности в весовых классах Лебега . На основе изученных ранее интегральных операторов Харди-Стеклова найдена характеризация билинейных неравенств с операторами Харди-Стеклова в весовых классах Лебега, а также секвенциальных билинейных неравенств Харди. Построены базисы всплесков типа сплайнов, адаптированные к исследованиям операторов интегрирования/дифференцирования, построены и они использованы в качестве инструментов декомпозиции элементов пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля с весовыми функциями Макенхаупта локального типа. Исследованы общие свойства операторов, действующих из перестановочно инвариантных пространств в обобщенные пространства типа Морри. Исследованы важные свойства самих обобщенных пространств Морри. Изучена взаимосвязь локальных и глобальных обобщенных пространств Морри и их перестановочно инвариантных аналогов, использующих убывающие и симметрические перестановки функций. При этом в обобщенном пространстве Морри внутренняя норма по шару вычисляется в обобщенном перестановочно инвариантном пространстве, а внешняя - в общем идеальном (квази)банаховом функциональном пространстве на положительной полуоси. Изучена взаимосвязь этих пространств и получены критерии их нетривиальности. Эти результаты позволили выделить широкий класс операторов, сохраняющих неотрицательность и свойства монотонности функций и получить для них точные по порядку оценки норм как операторов, действующих из перестановочно инвариантных пространств в обобщенные пространства типа Морри. В качестве следствий установлены критерии ограниченности оператора вложения и максимального оператора Харди-Литтлвуда из перестановочно инвариантного пространства в локальные и глобальные обобщенные пространства типа Морри. Для операторов, коммутирующих со сдвигом, доказано совпадение норм в локальных и глобальных пространствах. Полученные результаты использованы для установления критерия вложения весового пространства Лоренца с весами общего вида в обобщенное пространство типа Морри. Установлены критерии вложения обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса в перестановочно инвариантные пространства. Для этого получены точные оценки убывающих перестановок для потенциалов, дающие эквивалентные конструктивные описания конуса убывающих перестановок. Использование порядковых накрываний и порядковых эквивалентностей для конусов позволило существенно ослабить требования к ядрам обобщенных потенциалов. Получена интерполяционная теорема типа Марцинкевича для общих пространств типа Морри для квази-аддитивных операторов и применена к получению оценок норм ряда конкретных операторов в пространствах типа Морри. Продолжена работа над книгой по теории операторов в пространствах типа Морри (соавтор профессор В.С. Гулиев). Получена оценка отклонения собственных чисел спектральной задачи для пары самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов при возмущении области определения через функционал, характеризующий близость исходной и возмущенной областей определения. Получены условия предкомпактности некоторых вложений соболевских пространств. Установлено вложение пространств переменной гладкости s=s(x) типа пространств Лизоркина-Трибеля в пространства Лебега на области в R^n с условием гибкого \sigma-конуса (\ sigma>1) при соответствующих соотношениях между параметрами пространств. Гладкость s=s(x) увеличивается при приближении к границе области. . Этим получено естественное обобщение соответствующей теоремы вложения для пространств постоянной гладкости. Получено мультипликативное неравенства типа Гальярдо-Ниренберга для лебеговской нормы функции для областей с условием гибкого $\sigma$-конуса в зависимости от локальной кучности гибких $\sigma$-конусов, вписанных в область. Получены точные описания следов функций из весовых пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля в случае предельных показателей интегрируемости. При этом вес предполагался принадлежащим соответствующему классу Макенхаупта. Рассмотрены функции со значениями в монотонном семействе банаховых пространств. Для таких функций адаптировано понятие интеграла Бохнера. Функции такого типа могут быть использованы в дифференциальных задачах на нецилиндрических областях. Исследованы геодезические (наикратчайшие) на сфере в банаховых пространствах с модулем выпуклости и модулем гладкости порядка 2. Доказано существование ненулевого радиуса инъективности сферы в пространствах с модулем выпуклости и модулем гладкости порядка 2 и получена его оценка снизу.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Найдены пространства, ассоциированные с весовыми классами Соболева первого порядка на произвольном интервале действительной оси. Рассматривается три вида классов функций: с компактными носителями, замыкание этого класса и класс функций общего вида. Норма в пространствах Соболева традиционно представлена суммой весовых L_p-норм Лебега от функции и ее слабой производной. В силу неидеальности нормы Соболева возникают шесть видов ассоциированных пространств. В постановке данной задачи весовые функции в двух компонентах нормы Соболева, вообще говоря, различны и удовлетворяют минимально возможным требованиям, а именно условиям локальной суммируемости. Именно по ним в ходе решения строятся специальные функций Ойнарова–Отелбаева, связывающие фиксированные параметры исходных классов пространств Соболева с нормами элементов ассоциированных к ним пространств, представленных, в отличие от исходных, интегральными выражениями. Указанные особенности позволили применить в решении задачи ранее полученные результаты для операторов Харди–Стеклова с двумя переменными пределами интегрирования. С использованием нового метода принципа двойственности в весовых классах Лебега получены критерии весовой L_p – L_q ограниченности билинейных многомерных интегральных операторов на шаре, а также секвенциальных билинейных неравенств Харди. Получены условия выполнения весовых неравенств для норм операторов интегрирования натуральных порядков, действующих в весовых пространствах типа Бесова и Лизоркина-Трибеля. Установленные результаты применяются для исследования поведения последовательностей энтропийных и аппроксимативных чисел посредством сведения исходной задачи к аналогичной для вложений пространств указанных типов. Интерес к дискретным и интегральным неравенствам восходит к пионерским работам английского математика Г.Г. Харди. Такие неравенства играют важную роль в вопросах аппроксимации и теории приближений, а следовательно, в вычислительных процессах. Ярким примером приложения дискретных неравенств является квантовый анализ – особое исчисление, появившееся сравнительно недавно на стыке теории функций и математической физики [P. Cheung, V. Kac. Quantum calculus. Edwards Brothers, Inc., Ann Arbor, MI, USA, 2000]. Получена характеризация билинейных весовых дискретных неравенств типа Харди и аналогичных неравенств в рамках квантового анализа для всех возможных параметров суммирования. Исследованы общие свойства операторов, действующих из перестановочно инвариантных пространств в обобщенные пространства типа Морри. Исследованы важные свойства самих обобщенных пространств Морри. Изучена взаимосвязь локальных и глобальных обобщенных пространств Морри и их перестановочно инвариантных аналогов, использующих убывающие и симметрические перестановки функций, получены критерии их нетривиальности. Для операторов, коммутирующих со сдвигом, доказано совпадение норм в локальных и глобальных пространствах. Исследованы дифференциальные свойства обобщенных потенциалов Бесселя, установлены критерии их вложений в пространства типа Кальдерона и получены описания оптимальных пространств Кальдерона для таких вложений. Для функций из обобщенных пространств Никольского – Бесова получены новые результаты об оценках убывающих перестановок, позволяющие исследовать вопросы о вложении этих пространств в обобщенные пространства типа Морри, а также в локальные и глобальные обобщенные пространства Морри. Получена интерполяционная теорема типа Марцинкевича для общих пространств типа Морри для широкого класса нелинейных операторов. С ее помощью получены оценки норм нелинейных интегральных операторов Урысона. Доказана теорема о повторных нормах для общих пространств типа Морри. Получены критерии компактности некоторых вложений соболевских пространств. Продолжена работа над книгой по теории операторов в пространствах типа Морри (соавтор профессор В.С. Гулиев). Для областей с условием гибкого конуса установлено вложение пространств функций B_{p,r}^s переменной положительной гладкости s в пространство B_{p,r}^t (t-переменное). Получена теорема вложения пространства Соболева с весом, зависящем как от расстояния точки до границы, так и от локального строения границы. Получено мультипликативное неравенства типа Гальярдо-Ниренберга для лебеговской нормы обобщенной частной производной для областей с условием гибкого $\sigma$-конуса в зависимости от локальной кучности гибких $\sigma$-конусов, вписанных в область. Доказана плотность гладких функций для анизотропных весовых пространств типа Соболева и пространств с доминирующей смешанной производной, с весами, локально ограниченными и локально отделенными от нуля. Получено точное описание следа пространства Соболева первого порядка на области, граница которой имеет меру ноль. Соответствующих критерий дан во внутренних терминах. Проведено сравнение обычного пространства Соболева, определенного через слабые производные, с пространством Решетняка–Соболева и с ньютоновским пространством; в частности, установлены достаточные условия, когда все три определения эквивалентны. Также рассматривается определение пространства Соболева через конечные разности. Приводятся условия, при которых липшицево отображение сохраняет пространство Соболева. Исследовано поведение кривой, соединяющей две точки на слабо выпуклом множестве. Доказано, что поперечник множества в котором лежит селектор, асимптотический совпадающий с геодезической по длине, на слабо выпуклом множестве (в том числе на сфере) имеет порядок модуля гладкости.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Для двумерных билинейных неравенств с прямоугольными операторами Харди с тремя различными параметрами суммирования и тремя весовыми функциями получены критерии их выполнения в весовых нормах пространств Лебега с указанием точных интегральных функционалов, эквивалентных наилучшей константе в неравенстве. Характеризация сингулярных преобразований в весовых классах представляет трудную задачу. С помощью явных выражений для ассоциированной нормы, найдены условия на весовые функции, достаточные для ограниченности преобразования Гильберта из весового пространства Соболева в весовое пространство Лебега на полуоси. Исследованы новые классы функций типа Чезаро и Копсона на полуоси и их связь с пространствами Соболева первого порядка со степенными весами. Найдены условия выполнения неравенств вложения (под)пространств образов и прообразов операторов интегрирования произвольных порядков, действующих в пространствах Бесова с весовыми функциями Мукенхоупта. Исследованы дифференциальные свойства обобщенных потенциалов Бесселя, установлены точные оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов и даны точные описания мажорант модулей непрерывности на единичном шаре пространства потенциалов. Получены новые критерии вложений обобщенных потенциалов Бесселя в пространства типа Кальдерона и приведены описания оптимальных пространств Кальдерона для таких вложений. Доказаны общие теоремы о вычислении нормы монотонного оператора на конусе функций со свойствами монотонности в идеальном пространстве. Приведены приложения этих общих результатов для вычисления нормы интегрального оператора на конусе монотонных функций. Исследованы свойства поточечного и интегрального накрывания для конусов неотрицательных монотонных функций в перестановочно инвариантных банаховых функциональных пространствах. Установлены оценки поточечных и интегральных мажорант на таких конусах. Результаты применены для получения явных описаний поточечной и интегральной мажорант убывающих перестановок для обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса, ядра которых удовлетворяют условиям поточечного или интегрального накрывания. Продолжено получение интерполяционных теорем для нелинейных операторов для общих пространств типа Морри, в частности для нелинейных интегральных операторов Урысона. Исследована взаимосвязь пространств Морри и пространств Никольского. Исследована ограниченность анизотропных дробных максимальных операторов и дробных потенциалов Рисса в анизотропных пространствах типа Морри. Доказано неравенство Гельдера для лебеговых пространств с переменным показателем суммируемости с улучшенной постоянной. На области G={x=(x_1,...,x_n)=(x',x_n) :x_n>h(x')} рассмотрены пространства функций переменной гладкости s=s(x) из (0,m). в метрике L_p. Гладкость задаётся с помощью локальных приближений функции многочленами степени m-1. Найдены условия на функцию h, достаточные для вложения таких пространств в пространство Лебега L_q, 1<p<q. Рассмотрены также обобщения на случай весовых пространств. Получены необходимые условия выполнения соответствующих мультипликативных неравенств типа Гальярдо-Ниренберга. Доказана плотность гладких функций для анизотропных весовых пространств (с весами, локально ограниченными и локально отделенными от нуля) типа Соболева более общего вида (по набору производных, нормы которого входит в норму пространства Соболева), в том числе и для пространств с доминирующей смешанной производной. Построены явные конструкции мер типа Фростмана на произвольных плоских спрямляемых кривых. Получены новые точные внутренние описания следов пространств Соболева первого порядка на плоских спрямляемых кривых. Рассмотрены возможные определения функций Соболева, принимающих значения в семействах банаховых пространств. Потребность в таких объектах обусловлена исследованием эволюционных проблем (например, в задачах на движущихся гиперповерхностях или на нецилиндрических областях). Получен конструктивный алгоритм построения кривой, приближающей наикратчайшую, на слабо выпуклом множестве в гильбертовом пространстве и найдена оценка сверху на длину построенной кривой.