Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Исследовано предельное распределение числа частиц в момент времени m в слабо докритическом ветвящемся процессе Z(k), k=0,1,2,…, в случайной среде при условии, что процесс не выродился в момент n, стремящийся к бесконечности, и предположении, что m=o(n). Показано, что если распределение шага сопровождающего случайного блуждания с нулевым сносом принадлежит области притяжения устойчивого закона с индексом устойчивости из полуинтервала (1,2], то предельным распределением для случайной величины log Z(m), является распределение процесса Леви соответствующего индекса в момент 1, стартующего из нуля в момент 0 и остающегося положительным на промежутке времени от нуля до бесконечности. Для ветвящегося процесса с иммиграцией в случайной среде, сопровождающее случайное блуждание которого является осциллирующим, доказана функциональная предельная теорема, в которой рассматриваемый процесс нормируется случайным коэффициентом, зависящим только от случайной среды. Распределение предельного процесса описано с помощью строго устойчивого процесса Леви и некоторой не зависящей от него последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. Кроме того, доказана функциональная предельная теорема для логарифма рассматриваемого процесса. Найдена асимптотика хвоста распределения периода жизни критического ветвящегося процесса с иммиграцией, эволюционирующего в случайной среде, производящие функции числа потомков которого являются дробно-линейными с вероятностью единица. В интегро-локальной форме получена точная асимптотика вероятностей больших уклонений для случайных величин logY(n), порождаемых рекуррентной последовательностью Y(n+1) = A(n) Y(n) + B(n), где (A(n),B(n)) – случайные векторы, в которых случайные величины A(n), n=0,1,…, одинаково распределены, а последовательность (A(n), A(n+1),...) не зависит от (A(0),...,A(n-1),B(0),...,B(n-1)). Показано, что асимптотика вероятностей анализируемых больших уклонений последовательности logY(n) совпадает с точностью до мультипликативной константы с асимптотикой вероятностей больших уклонений случайного блуждания с шагами logA(n). Доказана теорема о больших уклонениях ветвящегося процесса Z(n), эволюционирующего в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных производящих функций f(s), f_1(s),f_2(s),… . В предположениях, что шаги сопровождающего случайного блуждания S(n)= log f’_1(1)+ log f’_2(1) +…+ log f’_n(1) ветвящегося процесса в случайной среде (ВПСС) удовлетворяют условию Крамера, а количество потомков одной частицы имеет конечный момент порядка h>1, найдена асимптотика вероятностей больших уклонений в интегро-локальной форме P(x<log Z(n)<x+a(n)), где a(n) стремится к нулю достаточно медленно. При этом предполагается, что в надкритическом, критическом, слабо докритическом и умеренно докритическом случаях отношение x/n принадлежит компакту, находящемуся внутри открытого интервала (max(0,Elog f’(1)), m+), где m+ – супремум математических ожиданий шагов по всем допустимым (по условию Крамера) случайным блужданиям, сопряженным к исходному сопровождающему блужданию, а в строго докритическом случае отношение x/n принадлежит компакту, находящемуся внутри открытого сегмента (γ,m+), где γ –положительная константа. 3) Для ВПСС с иммиграцией Z*(n) в предположениях предыдущего раздела и при дополнительных моментных ограничениях на иммиграцию найдена асимптотика вероятностей больших уклонений в интегро-локальной форме P(x<log Z*(n)<x+a(n)), где последовательность a(n) стремится к нулю достаточно медленно. При этом предполагается, что в надкритическом и критическом случаях отношение x/n принадлежит компакту, находящемуся внутри открытого сегмента (Elog f’(1), m+), а в докритическом случае отношение x/n принадлежит компакту, находящемуся внутри открытого сегмента (γ*,m+), где γ* – положительная константа. 4) Доказана теорема о вероятностях больших уклонений обрывающегося обобщенного процесса восстановления, порождаемого последовательностью независимых одинаково распределенных случайных векторов (X(i),Y(i)), где Y(1) - неотрицательная несобственная случайная величина, принимающая значение плюс бесконечность с вероятностью из интервала (0,1), а вектор Х(1) размерности d имеет собственное распределение. Предполагалось, что вектор (X(1),Y(1)) при условии конечности Y(1) удовлетворяет условию Крамера. Рассматривался обобщенный процесс восстановления Z(t) = X(1) + ... + X(N(t)), построенный по обрывающемуся процессу восстановления N(t) = sup{k: Y(1)+...+Y(k)<t}. При t→∞ исследовалась асимптотика вероятности P(Z(t) = t x) (если распределение X(1) решетчато) и вероятности P(Z(t) ∈ l(t x)), где l(t x) – куб, содержащий точку tx, объем которого стремится к нулю с ростом t (если распределение X(1) нерешетчато). Найдены асимптотические представления для указанных выше вероятностей, равномерные по векторам x, лежащим в некотором компакте D. Показано, что имеется два качественно различных варианта достижения процессом Z уровня t x. Один из этих вариантов аналогичен случаю собственного (не обрывающегося) процесса восстановления и предполагает, что последнее восстановление происходит в момент близкий к t. Второй связан с тем, что процесс восстановления N(t) обрывается в некоторый момент, существенно более ранний, чем t. Получены оценки для вероятностей малых уклонений ветвящихся процессов в случайной среде с геометрическим распределением (при фиксированной среде) числа непосредственных потомков одной частицы. Доказана предельная теорема, описывающая распределение членов вариационного ряда, построенного в порядке убывания объемов связных компонент случайного A-отображения n-элементного множества в себя, т.е. отображения, длина цикла каждой связной компоненты которого принадлежит множеству A, имеющему положительную плотность во множестве натуральных чисел. На множестве G(n,A) таких n-элементных отображений задано параметрическое распределение, приписывающее связной компоненте отображения вес, зависящий от ее объема, а самому отображению вес, равный произведению весов всех его связных компонент. Предполагается, что при росте объемов компонент к бесконечности часть определяющих веса параметров стремится к положительному числу, а часть – к нулю. Исследовались условия на весовые компоненты и множество A, при выполнении которых распределение размера m-й по объему связной компоненты случайного A-отображения, выбранного из множества G(n,A) с вероятностью, равной ее весу, деленному на совокупный вес всех отображений, принадлежащих G(n,A), имеет при n→∞ предельное распределение.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Рассматривался слабо надкритический ветвящийся процесс Y(k), k=0,1,2,..., с иммиграцией в случайной среде, в котором иммиграция может происходить лишь до момента n, а после этого момента прекращается. Пусть T(n) - момент вырождения такого процесса с остановленной иммиграцией. При условии T(n)<∞ и определенных ограничениях на распределения чисел потомков частиц различных поколений и распределения чисел иммигрантов, присоединяющихся к каждому поколению, доказана сходимость нормированных некоторым образом конечномерных распределений процесса Y([nt]), 0≤ t≤ 1, к конечномерным распределениям случайного процесса W(t), 0≤ t≤ 1, обладающего следующими свойствами 1) процесс W(t) положителен при 0<t<1 и имеет на этом (открытом) интервале траектории, не изменяющиеся с течением времени; 2) W(t)≥ 0 , причем P(W(1)>0)>0. Для критических, строго докритических, промежуточно докритических и слабо докритических ветвящихся процессов в случайной среде (ВПСС), с ровно одним иммигрантом, присоединяющимся к популяции в моменты времени 1,2,…, доказаны теоремы, описывающие асимптотическое поведение вероятностей выживания к далекому моменту n потомков только одного иммигранта. При этом для каждого класса процессов рассмотрены три случая: интересующее нас семейство порождено иммигрантом, присоединившимся к популяции в фиксированный момент i, в такой момент i, для которого min(i,n-i)→∞, и в момент i, близкий к моменту наблюдения n. Для разложимого ветвящегося процесса с двумя типами частиц, эволюционирующего в смешанной среде, доказана теорема, описывающая асимптотические свойства редуцированного процесса (Z_1(m,n),Z_2(m,n)) при n→∞ и предположении, что log n=o(√m). Доказана теорема описывающая асимптотическое поведении вероятностях больших уклонений строго докритического ВПСС Z(n), эволюционирующего в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных производящих функций f(s), f_1(s),f_2(s),… . В предположениях, что распределение случайных величин log f’(1) удовлетворяет условию Крамера, а количество потомков одной частицы имеет конечный момент порядка h>1, исследована асимптотика вероятностей больших уклонений в интегро-локальной форме P(x<ln Z(n)<x+a(n)), где a(n)→0 достаточно медленно, а 0<x/n<γ, где γ - явно указанная константа. Показано, что в этой зоне уклонений асимптотика принципиально отличается от ситуации x/n> γ. Для докритических ВПСС с иммиграцией Y(n) получены оценки для вероятностей больших уклонений в интегро-локальной форме P(x<ln Y(n)<x+a(n)) при 0<x/n<γ*, где γ* – явно указанная константа. Получены оценки сверху для разности между приращениями ln Z(i)-ln Z(j) ВПСС и приращениями S(i)-S(j) его сопровождающего блуждания, при условии что ВПСС совершил большое уклонение. Для случайных последовательностей W(n), обладающих свойством регенерации, предложен новый способ выражения параметров, описывающих асимптотику вероятностей больших уклонений. Показано, что, исходя из анализа производящей функции Σ Eexp(<h,W(n)>) t^n в окрестности полюса по переменной t, можно описать локальную асимптотику P(W(n)=k) при n→∞ и отношениях k/n, лежащих в некотором компакте. Найдена асимптотика вероятностей малых уклонений в «первой зоне уклонений» ВПСС с геометрическим распределением (при фиксированной среде) числа непосредственных потомков одной частицы. Для слабо и промежуточно надкритических ВПСС найдено асимптотическое представление вероятностей P(Z(n)=k) при 0<log(k)/n<EX, равномерное по любому компакту внутри указанного интервала, где X – шаг сопровождающего блуждания. Для строго надкритических ВПСС (EХexp(-X)>0) аналогичный результат получен для значений отношения log(k)/n, лежащих в интервале (EXexp(-X), EX). Для ВПСС с геометрическим распределением (при фиксированной среде) числа непосредственных потомков одной частицы получены оценки локальных вероятностей P(Z(n)=k) в зоне больших уклонений, задаваемой условием log(k)/n>EX. Доказана предельная теорема, описывающая асимптотическое поведение дисперсии числа циклов случайных А-подстановок, где в качестве множеств А взяты 1) арифметические прогрессии, в которых шаг прогрессии взаимно прост с первым членом прогрессии, а также конечные объединения таких непересекающихся прогрессий; 2) множества, состоящие из таких и только таких чисел m, каждое из которых не делится ни на одно из s заданных взаимно простых чисел. Ссылки на ресурсы, содержащие результаты проекта http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tvp&paperid=5403&option_lang=rus https://arxiv.org/abs/1911.00316 http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dm&paperid=1599&option_lang=rus http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dm&paperid=1618&option_lang=rus http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dm&paperid=1616&option_lang=rus

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Рассматривался сильно надкритический ветвящийся процесс с иммиграцией {Y(i,n), i=0,1,2,.…}, эволюционирующий в случайной среде, и иммиграция в котором останавливается в момент n→∞. В предположении, что момент вырождения T(n) процесса конечен, установлены следующие результаты в предположении, что производящие функции чисел потомков частиц всех поколений дробно-линейны : 1) доказана сходимость в смысле конечномерных распределений случайного процесса {Y(nt,n), 0≤ t≤ 1} к случайному процессу, сечения которого отличны от тождественного нуля и независимы при 0< t≤ 1 , а при 0<t<1 одинаково распределены; 2) установлена сходимость по распределению при n→∞ последовательности {Y(n+k,n), k=1,2,...} к случайной последовательности, сечения которой отличны от тождественного нуля; 3) доказана сходимость по распределению при n→∞ случайной величины T(n)-n к случайной величине, имеющей собственное распределение. Для критического ВПСС, к популяции которого в моменты времени 1,2,…, присоединяется ровно один иммигрант, доказаны условные предельные теоремы, описывающие асимптотическое поведение числа частиц в таком процессе при условии осуществления события A(i,n), состоящего в том, что все частицы процесса, живущие в момент n (без учета иммигранта, присоединившегося к популяции в этот момент), являются потомками иммигранта, присоединившегося к популяции в момент i<n. Проанализированы случаи i=const, min(i,n-i)→∞, n-i=const. Для промежуточно докритического ветвящегося процесса {Z(n), n=0,1,...} в случайной среде доказана условная предельная теорема, описывающая распределение числа потомков в таком процессе в момент m, при условии, что процесс не выродился к моменту n, и предположении m=o(n). Исследована асимптотика вероятностей больших уклонений P(x<log Z(n)≤x+∆(n)) строго докритических ветвящихся процессов в случайной среде при достаточно общих предположениях о распределении числа непосредственных потомков частиц, когда отношение x/n принадлежит интервалу (0,γ) для некоторой константы γ, а ∆(n) достаточно медленно стремится к нулю при n→∞. Для строго докритических ветвящихся процессов с иммиграцией найдена асимптотика вероятностей того, что для всех достаточно медленно стремящихся к нулю последовательностей Δ(n) значение Y(n) лежит в диапазоне [exp(x), exp(x+Δ(n))] при n→∞ и x/n из любого компакта внутри (0,γ*), где γ* – известная константа. Найдено также распределение момента достижения минимума сопровождающим случайным блужданием при условии совершения траекторией ветвящегося процесса большого уклонения. Исследованы свойства так называемых обобщенных процессов регенерации S(n). Найден новый способ для вычисления функций, фигурирующих в точных асимптотиках вероятностей больших уклонений P(S(n)=x), равномерных по отношениям x/n, лежащим в некотором компакте, а также предложены более удобные эквивалентные условия для справедливости упомянутых выше результатов. Доказана теорема об асимптотике локальных вероятностей в зоне больших уклонений надкритического ВПСС, в котором число непосредственных потомков одной частицы имеет при фиксированной среде геометрическое распределение. Пусть X – множество, состоящее из n элементов, а S_n(A) – множество отображений из X в X, объемы всех связных компонент которых принадлежат подмножеству A множества натуральных чисел. Пусть ζ(n) – число связных компонент случайного отображения σ(n), равномерно распределенного на множестве S_n(A). Показано, что если множество A является либо конечным объединением непересекающихся арифметических прогрессий, в которых шаг прогрессии взаимно прост с первым членом прогрессии, либо состоит из таких натуральных чисел, каждое из которых не делится ни на одно из s заданных взаимно простых чисел, то Eζ(n) ~ Dζ(n) ~ (r ln n)/2 при n→∞. Здесь r>0 есть асимптотическая плотность множества A во множестве натуральных чисел. Получены также асимптотические формулы для величин Eζ(n) и Dζ(n) со степенными понижениями остатков.