Аннотация результатов, полученных в 2019 году
Исследовалась задача об обнаружении разладки, где после момента разладки появляется снос порядка квадратного корня. Продолжающаяся работа была нацелена на разработку современных статистических методов выявления причинно-следственных нелинейных связей между компонентами сложных стохастических систем. Особое внимание было уделено анализу переноса энтропии, что существенно, например, в нейробиологии, сопоставлении потоков информации между финансовыми рынками, а также для развития искусственного интеллекта. При широких условиях установлены асимптотическая несмещенность и $L^2$-состоятельность оценок переноса энтропии, основанных на статистиках $k$-ближайших соседей. Для модели страховой компании, сочетающей два различных вида страхования и инвестирующей резерв в рисковый актив, получена асимптотика вероятности разорения с использованием редукции задачи к анализу асимптотического поведедения решений обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка. В 90-х годах прошлого века было установлено, что при достаточно быстром убывании к нулю функции p=p(n) хроматическое число случайного графа в биномиальной модели G(n,p) сконцентрировано в двух неизвестных значениях. В рамках исследований по гранту нами найдены явные значения концентрации для почти всех p=p(n) вплоть до некоторой границы. Изучена связь между хорошо известным условием Карлемана, гарантирующим единственность определения вероятностного распределения своими моментами, и одним найденным недавно и легко проверяемым условием, связанным со скоростью роста моментов. С использованием методов асимптотической теории интегралов и привлечением свойств W-функции Ламберта показано, что квадратичная скорость роста отношений последовательных моментов, как достаточное условие однозначной определенности, более ограничительна, чем условие Карлемана. Выведен ряд следствий, одно из которых утверждает, что из условия Карлемана не вытекает условие Харди, хотя обратная импликация верна Вычислены точные асимптотические нижние оценки для минимальных собственных чисел выборочных ковариационных матриц, отвечающих распределениям с единичной ковариационной матрицей и размерностью, сравнимой с объемом выборки, при условии слабой концентрации (вокруг своего среднего с некоторым фиксированным случайным множетелем) квадратичных форм случайных векторов-наблюдений в выборке, а также равномерной интегрируемости квадратов одномерных ортогональных проекций данных распределений. В число указанных распределений, в частности, входят многомерные распределения, допускающие аппроксимацию сферическими распределениями. Предложен метод оценивания параметра хвоста распределения, не зависящий от выполнения условий теоремы Гнеденко, а также модификация данного метода, инвариантная относительно параметра масштаба распределения. Предложен критерий различения разделимых классов хвостов произвольных распределений и доказана его состоятельность.

Аннотация результатов, полученных в 2020 году
Получено полное решение задачи об обнаружении множественных разладок (или "задачи слежения") для коэффициента сноса броуновского движения в симметричном случае. Предложена новая постановка задачи последовательной проверки гипотез для броуновского движения с возможностью изменения решения, и она решена в байесовской постановке для двух простых гипотез. Было доказано, что совпадают множества совместных распределений терминальных значений случайного процесса и его максимума для трех классов процессов: 1) макс-непрерывных локальных субмартингалов; 2) макс-непрерывных субмартингалов специального вида (в частности, с одним скачком); 3) броуновского движения, остановленного в конечные моменты остановки. Доказано, что свойства процессов из первого класса быть замкнутым субмартингалом или замкнутым супермартингалом зависят только от совместного распределения процесса и его максимума в терминальный момент. Получено описание множества распределений максимума для всех макс-непрерывных локальных субмартингалов, которые являются мартингалами после замены времени, порожденной текущим максимумом процесса. В рамках исследований по проекту статистического оценивания энтропийных характеристик, для смешанных моделей построены новые оценки взаимной информации. Для этих оценок, а также оценок, предложенных F.Coelho et al. (2016), доказана асимптотическая несмещенность и L2-состоятельность. Также для моделей логистической регрессии проведены компьютерные симуляции. Они продемонстрировали определенные преимущества введенных оценок. Объектом изучения явилась модель надкритического ветвящегося случайного блуждания на многомерной решетке с непрерывным временем без ограничений на дисперсию скачков случайного блуждания. Для конечного числа источников генерации частиц в ветвящемся случайном блуждании, при котором расстояния между ними попарно стремятся к бесконечности, выявлен эффект ``предельного слипания'' собственных значений. При этом установлено, как расположение источников генерации частиц на решетке влияет на порядок появления положительных собственных значений. Доказано, что в некоторых условиях функция распределения максимума зависимых случайных величин в схеме серий асимптотически эквивалентна функции распределения максимума независимых случайных величин с теми же маргинальными распределениями. Получены асимптотические доверительные интервалы для мер сходства Ружички и Брея-Кертиса на основе одноименных коэффициентов сходства.

Аннотация результатов, полученных в 2021 году
Для теории оптимального управления решен в весьма общей постановке вопрос о том, когда оптимальное управление является марковским, что завершает многочисленные исследования разных авторов. В задача об обнаружении однократной разладки, где решение о наступлении разладки можно "отозвать", а затем принять снова, были в явном виде найдены оптимальные решающие правила как моменты пересечения процессом апостериорной вероятности определенных пороговых значений. Доказано потраекторное неравенство для функций от случайного процесса с дискретным временем и его компенсатора, существенно использующее предсказуемость компенсатора и включающее некоторый нелинейный оператор. Исследован класс функций, являющихся неподвижными точками этого оператора, и получена более простая его характеризация в наиболее содержательном случае, когда процессы не убывают, но стартуют из произвольных значений. Получено новое представление для конструкции Перкинса-Кокса-Хобсона в задаче вложения Скорохода с помощью двукратной замены времени в броуновском движении. Исследования в области статистического анализа данных на основе оценок различных информационных характеристик привели к следующим результатам. В статье A.Bulinski, D.Dimitrov (2021) доказаны основные асимптотические свойства статистической оценки дивергенции Кульбака – Лейблера D(X||Y) для случайных векторов X,Y, предложенной в статье Q.Wang et al. (2009). Эта оценка строится на основе набора должных статистик k-ближайших соседей, использующих массив независимых векторов (X1,Y1),…,(Xn,Yn), распределенных так же, как изучаемый вектор (X,Y). В отличие от предшествующих работ, содержавших пробелы в доказательствах предельных переходов при анализе семейств нетривиальных интегралов, берущихся по условным распределениям (об этих пробелах сказано в статье D.Pal et al. (2010)), в статье A.Bulinski, D.Dimitrov (2021) удалось дать корректные доказательства. Для этого применяются обобщения функционалов, введенных в предыдущей статье A.Bulinski, D.Dimitrov (2019), направленной на исследование статистических оценок дифференциальной энтропии Шеннона. Использование этих функционалов (один из них является аналогом знаменитой максимальной функции Харди) позволило получить широкие условия асимптотической несмещенности (Theorem 1) и L2 состоятельности (Theorem 2) оценок дивергенции Кульбака – Лейблера. Развитый подход также дал возможность предложить новые условиях асимптотической несмещенности и L2-сосотоятельности оценок дифференциальной энтропии Шеннона, а также кросс-энтропии (Theorem 3). Впервые доказано (Corollary 4), что данные оценки дивергенции Кульбака – Лейблера являются асимптотически несмещенными и L2-состоятельными для произвольных смесей нормальных законов. Доказательства используют сочетание вероятностной и аналитической техники (вероятностные неравенства, анализ условных распределений, слабая сходимость вероятностных мер, медленно меняющиеся функции, равномерно интегрируемые семейства функций, интегрирование по частям в интеграле Лебега – Стилтьеса и другие). Подчеркнем, что оценки дивергенции Кульбака – Лейблера, представляющей собой меру близости вероятностных распределений, а также взаимной информации, учитывающей отклонение совместного распределения векторов от произведения их маргинальных распределений, используются в медико-биологических исследованиях, включая нейрологию, см., например, S.Cui, C.Luo (2016), A.Charzynska A., A.Gambin (2016), Y.K.Noh et al. (2018), L.Pardo (2019), M.Wang et al. (2020), J.Zhong et al. (2020). Они применяются и в физических исследованиях, см., например, A.Kraskov et al. (2004), N.Huang et al. (2016), C.Granero-Belinchon et al. (2018), J.Suzuki (2021). В статье A.Bulinski, A.Kozhevin (2021) введены новые статистические оценки взаимной информации в рамках смешанной стохастической модели (C.Nair et al. (2007), W.Gao et al. (2017), A.Bulinski, A.Kozhevin (2018), F.Macedo et al. (2019)), когда отклик Y, т.е. изучаемая переменная, имеет дискретное распределение, а вектор факторов X, со значениями в пространстве Rp, обладает плотностью по мере Лебега. Точнее говоря, распределение вектора (X,Y) является абсолютно непрерывным относительно произведения меры Лебега и считающей меры. Упомянутые модели включают широко используемую на практике логистическую регрессию (см., например, монографию A.Vidales (2019)). С помощью оценок условной энтропии Шеннона H(Y|X), построенных в предыдущей работе A.Bulinski, A.Kozhevin (2020) по независимым одинаково распределенным векторам (X1,Y1),…,(Xn,Yn), имеющим такое же распределение как (X,Y), вводятся оценки взаимной информации I(X;Y). Доказано, что при весьма широких условиях эти новые оценки являются асимптотически несмещенными (Theorem 3) и L2-состоятельными (Theorem 4). Аналогичные результаты установлены для оценок из статьи F.Coelho et al. (2016) (Theorem 1, Theorem 2), поскольку в указанной работе асимптотические свойства оценок не изучались. Кроме того, проведено компьютерное моделирование для модели логистической регрессии с легкими или тяжелыми хвостами, т.е. когда X имеет многомерное нормальное распределение или многомерное распределение Коши. Результаты моделирования показали даже при сравнительно небольших значениях r и p заметное преимущество новых оценок взаимной информации над оценками работ F.Coelho et al. (2016) и W.Gao et al. (2017). Заметим, что в статье W.Gao et al. (2017) предполагалось, что Y принимает значения в линейном нормированном пространстве, в то время как в статье A.Bulinski, A.Kozhevin (2021) понятие близости значений отклика не требовалось. Это существенно для многих моделей в теории выбора значимых факторов, влияющих на изучаемый отклик (см., например, P.Agrawal et al. (2021), V.Bolon-Candedo, A.Alonso-Betanzos (2018), J.Li et al. (2018), S.Solorio-Fernandez et al. (2021), U.Stanczyk et al., Editors, (2018)). В 2005 была опубликована статья H.Peng, F.Long, C.Ding. Feature selection based on mutual information: criteria of max-dependency, max-relevance, and min-redundancy, IEEE Trans. Pattern. Anal. Mach. Intell. 27(8):1226-38. Авторы предложили новую процедуру отбора значимых факторов из набора X1,…,Xp, влияющих на изучаемый случайный отклик Y. Они ввели алгоритм отбора, основанный на взаимной информации, причем на каждом шаге в целевую функцию добавлялась некоторая вспомогательная усредненная сумма величин попарной информации факторов, которая должна была помочь исключить из формируемого набора факторы, несущие избыточную информацию. Эта известная статья была процитирована 9144 раза. В 2020 году появилась статья P.Bugata, P. Drotar, в которой авторы показали, что (единственная) теорема статьи H.Peng et al. некорректна В статье A.Bulinski. Remark on mRMR Method in Feature Selection (сдана в 2021 году в журнал Statistics and Probability Letters, проходит рецензирование) доказано (Theorem 2), что для любого натурального p, большего двух, и каждого r \in{2,…,p-1} можно построить такую стохастическую модель, что mRMR алгоритм последовательного поиска r факторов, а также алгоритм последовательного поиска набора наиболее информативных факторов (называемый Max-Dependency incremental search) с вероятностью 1- r/Сpr-1, близкой к единице, не позволяют идентифицировать оптимальный набор r факторов. Упомянутый оптимальный набор находится с помощью максимизации взаимной информации I(XS;Y) по всем подмножествам S\in{1,…,p}, где для S=(i1,…,ir) вектор XS=(Xi1,…,Xir). Для этого построена новая модель (см. Theorem 1), отражающая эффект эпистаза в генетике, когда отдельные «поломки» генома человека не увеличивают риск сложного заболевания, а их определенная комбинация может привести к существенному увеличению этого риска (см., например, P.M.Visscher et al. (2017), V.Tam et al. (2019), T.Tsunoda et al. (2019)). Отметим, что в примере P.Bugata и P. Drotar (2020) рассматривались лишь пары факторов и явление эпистаза не возникало. Отметим, что в теореме 1 работы A.Bulinski (сдана в журнал в 2021) фигурирует произвольное r\in{2,…,p-1}. Важность теоремы 2 этой работы для приложений к анализу генетических данных заключается в выводе о нецелесообразность применения алгоритма mRMR при возможном эффекте эпистаза. Алгоритм mRMR использовался при обработке генетических данных в статьях M.Phogat, D.Kumar (2021), M.Piles et al. (2021), M.Radovic (2017), Q.Zou et al. (2018) и многих других. Заметим, что даже при сравнительно небольших r и p величина P0(r,p):= r/Сpr-1 весьма мала, например, P0(4,50)=0,0002…, а при больших p и умеренных r она становится пренебрежимо малой. В упомянутой работе A.Bulinski (сдана в журнал в 2021) также затронут вопрос о статистических выводах на основе оценок взаимной информации. В рамках исследований по проекту подготовлена и 26 ноября 2021 успешно защищена (единогласно) в диссертационном совете 01.07 МГУ имени М.В.Ломоносова кандидатская диссертация А.А.Кожевина «Вероятностные методы отбора значимых факторов» (научный руководитель профессор А.В.Булинский). Кроме того, в рамках исследований по проекту подготовлена кандидатская диссертация А.С.Ракитько «Идентификация значимых факторов с помощью функционала ошибки» » (научный руководитель профессор А.В.Булинский) и ведется подготовка диссертации аспирантом Д.В.Димитровым «Статистические оценки дифференциальной энтропии Шеннона и дивергенции Кульбака – Лейблера» (научный руководитель профессор А.В.Булинский). Защита этих двух диссертаций планируется в 2022 году. Исследования А.В.Булинского в 2021 году отмечены премией имени А.Н.Колмогорова РАН. Построен состоятельный критерий различения разделимых классов хвостов распределений, не обязательно являющихся непрерывными. Найдена асимптотика распределения максимума нормы гауссовского нестационарного векторного процесса с независимыми одинаково распределенными компонентами. Вычислен предел (п.н.) минимальных собственных чисел выборочных ковариационных матриц для выборок из распределений сферического типа с размерностью, растущей пропорционально объему выборок, при слабых моментных ограничениях – условии равномерной интегрируемости квадратов одномерных проекций случайных векторов, отвечающих данным распределениям. Под сферическими распределениями понимаются распределения случайных векторов, квадраты норм ортогональных проекций которых близки к рангам соответствующих проекторов с точностью до случайного множителя (независящего от проекторов и объема выборки) и ошибки, малой (по вероятности) по сравнению с размерностью векторов. Наш результат существенно расширяет ряд известных результатов в теории случайных матриц, в частности, результат К. Тихомирова (2015, Advances of Mathematics) о пределе минимального сингулярного числа матриц с н.о.р. центрированными элементами, имеющими конечный второй момент.