Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Для узлов из следующего списка и их зеркальных образов подтверждены все гипотезы из атласа лежандровых узлов Chongchitmate–Ng и, таким образом, классифицированы все лежандровы типы с максимальными числами Торстона–Беннекена: 7_5, 7_7, 8_21, 9_47, 9_49, 11n_19, 11n_38, 11n_95, 11n_118. Построен пример представления тугого слоения глубины два в дополнении к нерасслоенному узлу с помощью прямоугольной диаграммы. Доказана теорема, существенно обобщающая теорему Артина об изотопности замкнутых кос (теорема Артина утверждает, что замкнутые косы в полнотории изотопны если и только если они представляют один и тот же класс сопряженности группы кос). Полученное обобщение формулируется следующим образом. Назовем подмногообразие расслоенного многообразия вертикально-горизонтальным (ВГ), если каждая из его компонент либо трансверсальна слоям во всех своих точках (вертикальна), либо лежит в слое (горизонтальна). Тогда в произвольном компактном ориентируемом трехмерном многообразии, локально тривиально расслоенном над окружностью со слоем компактная поверхность, ВГ-зацепления объемлемо изотопны если и только если они изотопны в классе ВГ. http://www.pdmi.ras.ru/preprint/2022/22-06.html Построены две бесконечные серии идеальных триангуляций многообразий с непустым краем, число тетраэдров в которых на единицу превышает первое число Бетти многообразия с коэффициентами в Z/2Z. Доказана минимальность построенных триангуляций. Для положительных диаграмм узлов и зацеплений установлен критерий достижимости равенства в неравенстве Мортона-Фрэнкса-Уильямса, связывающем сложность диаграммы с размером её многочлена HOMFLY-PT, который формулируется в терминах несложно описываемых преобразований трёх типов. Результат позволяет относительно легко конструировать диаграммы, минимизирующие число перекрёстков, минимизирующие количество окружностей Зейферта и максимизирующие коэффициент самозацепления (среди всех диаграмм соответствующего узла или зацепления). https://arxiv.org/abs/2211.16434 Доказана следующая теорема: любое классическое (т.е. лежащее в прямом произведении диска на отрезок) струнное зацепление с произвольным числом компонент может быть представлено в виде произведения примарных струнных зацеплений, причем набор сомножителей в этом представлении однозначно определен.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
Разработано понятие прямоугольной диаграммы тугого слоения в дополнении к зацеплению. Доказано, что любое тугое слоение конечной глубины допускает представление прямоугольной диаграммой. Для узлов 7_4, 9_48 и 10_136 в терминах элементарных движений прямоугольных диаграмм найдены образующие группы симметрий узлов и подтверждены все гипотезы из атласа лежандроых узлов Chongchitmate и Ng. Завершена классификация лежандровых узлов, представимых прямоугольными диаграммами сложности 9. Завершено доказательство серии теорем о достаточных условиях принадлежности к классу Бирман–Хильдена для пространств, расслоенных над окружностью. Доказано, что в произвольном компактном ориентируемом трехмерном многообразии, локально тривиально расслоенном над окружностью со слоем компактная поверхность, почти-вертикально-горизонтальные зацепления объемлемо изотопны если и только если они изотопны в классе почти-вертикально-горизонтальных. Доказано, что для любого струнного зацепления с произвольным числом компонент, лежащего в утолщении ориентируемой поверхности, отличной от двумерной сферы, существует разложение в произведение примарных сомножителей, причем набор сомножителей в таком представлении однозначно определен. Доказано, что геометрическая реализация минимальных триангуляций многообразий, на которых достигается нижняя оценка триангуляционной сложности, выраженная через первое число Бетти с коэффициентами в группе Z/2Z, совпадает с разбиением Коджимы этих многообразий. Как следствие, минимальные триангуляции этих многообразий единственны. Этот результат позволяет в дальнейшем изучать асимптотику числа многообразий данного класса как функцию от триангуляционной сложности. Получен следующий критерий, обобщающий аналогичный результат Диао, Хэтиея и Лю для альтернированных диаграмм: для любой положительной адекватной или альтернированной относительно окружностей Зейферта диаграммы отсутствие одиноких перекрёстков эквивалентно минимальности по числу окружностей Зейферта. Доказано, что у любого узла K с числом перекрестков большим 10, найдется диаграмма, составленная из двух гладких простых дуг, в которой не более чем 0.31*1.558^cr(K) перекрестков, где cr(K) – число перекрестков узла K.