Аннотация результатов, полученных в 2022 году
Построено новое семейство квантовых интегрируемых спиновых цепочек с дальнодействием. Потенциал взаимодействия спинов эллиптический и анизотропный. Получены явные формулы для квантовых гамильтонианов и доказана их коммутативность в силу некоторого набора тождеств на эллиптические функции. В тригонометрическом пределе полученная модель воспроизводит q-деформацию спиновой цепочки Халдейна-Шастры, предложенную Угловым. Исследована интегрируемая иерархия решетки Тоды со связью типа С. Эта связь состоит в том, что второй разностный оператор Лакса кладется равен сопряженному первому. Иерархия Тоды со связью типа С может рассматриваться как интегрируемая дискретизация С-версии уравнения Кадомцева-Петвиашвили (СKP). Основное внимание было уделено бездисперсионному пределу иерархии Тоды типа С. В явном виде были найдены уравнения на F-функцию, отвечающие бездисперсионному пределу иерархии Тоды типа С. Изучены конечномерные редукции бездисперсионной иерархии Тоды типа С. Получена характеризация конечномерных редукций в терминах уравнений типа Левнера. Показано, что в данном случае однокомпонентные редукции описываются так называемым симметричным уравнением Левнера, решениями которого являются функции, осуществляющие конформные отображения единичного круга с (вообще говоря, криволинейными) разрезами. Изучены также многокомпонентные редукции. Был выяснен геометрический смысл решений бездисперсионной иерархии Тоды со связью типа С для решений общего вида, без наложения редукции. Показано, что они описывают конформные отображения областей, симметричных при отражении относительно вещественной оси. Был также выяснен геометрический смысл F-функции как функции гармонических моментов области. Описана классификация эллиптических релятивистских интегрируемых систем, связанных с группой GL(NM). Классификация включает в себя спиновые обобщения модели Руйсенарса-Шнайдера, спиновые цепочки и модели взаимодействующих волчков. Подробно исследован самый общий случай, отвечающий многополюсному обобщению модели релятивистских взаимодействующих волчков. В общем случае получены уравнения движения и соответствующие пары Лакса. Получены формулы. описывающие квантовое разностное уравнение для пространств Накаджимы в виде произведения стеночных операторов. Найдены явные формулы для стеночных операторов в терминах генераторов квантовой группы. Тем самым, дано полное, и первое известное, описание квантовых разностных уравнений для пространств Накаджимы. Получено явное описание К-теорного предела эллиптической стабильной оболочки для произвольного выбора параметра наклона. Установлено, что в случае, когда наклон лежит на стенке соответствующий К-теорный предел факторизуется в произведение К-теорной стабильной оболочки исходного многообразия и К-теорной стабильной оболочки двойственного пространства. Получено новое топологическое описание стеночных операторов для квантовых разностных уравнений в терминах К-теорных Р-матриц сиплектически двойственного пространства. В результате, так же получено новое описание монодромии квантового дифференциального уравнения в терминах К-теорных стабильных оболочек. Получены комбинаторные формулы вычисляющие вертексные функции с потомками для нульмерных пространств Накаджимы. Показано, что вертексные функции с потомками получаются из голой вертексной функции применением специальных разностных операторов которые образуют коммутативое семейство операторов Макдональда. Была продолжена работа по исследованию формфакторов локальных операторов в XY цепочке Гейзенберга с помощью обобщенного алгебраического анзаца Бете. Для этого были получены системы линейных уравнений, решения которых описывают скалярные произведения векторов Бете, зависящих от различного числа параметров. В случаях, когда матрица системы уравнений является невырожденной, были найдены явные решения системы. В случаях, когда матрица системы уравнений является вырожденной, явные решения системы были найдены с точностью до константы. Полученные результаты позволили вычислить недиагональные формфакторы оператора третьей компоненты локального спина. Рассмотрена интегрируемая система с временами t_1, t_3 и t_5. Построены эволюции решения Йоста по указанным временам и доказана совместность этих эволюций. Таким образом построена новая система интегрируемых уравнений. Показана неоднозначность данной процедуры: на коэффициенты разложения одевающего оператора по обратным степеням спектрального параметра могут быть наложены дополнительные связи, зануляющие некоторые из этих коэффициентов, что дает другие формы уравнений движения. Аналогичный результат мы получаем для всей соответствующей иерархии. Рассмотрена система с временами t_2, x_2 и t_4 где индекс у времени означает степень дифференциального оператора по t_1, а x_2 означает время, получающееся при умножении t_2 на \sigma_3. Мы доказываем совместность всех трех операторов, выводя тем самым новое интегрируемое уравнение. Однако переменную t_1 исключить не удается и решением уравнения становится функция четырех переменных t_1, t_2, x_2 и t_4 плюс нелинейное уравнение связи для производной по t_1. При этом мы показали, что данное уравнение задает систему в 2+1, поскольку при решении прямой задачи достаточно задать начальные данные как функции t_2 и x_2. Уравнение связи по t_1 и динамическое уравнение по t_4 определяют зависимость решения от четырех переменных. Вычислены длины всех слов в аффинной группе Вейля, соответствующих отражениям относительно корней. Вычислен предел Иноземцева двойной аффинной системы уравнений Книжника-Замолодчикова. Получены выражения для собственных функций квантовых аффинных цепочек Тоды в терминах решений уравнений Книжника-Замолодчикова и проекции Мацуо-Чередника.

Аннотация результатов, полученных в 2023 году
В рамках применения обобщенного алгебраического анзаца Бете к вычислению формфакторов локальных операторов проводилось исследование скалярных произведений векторов Бете в неоднородной XY цепочке Гейзенберга. Были получены явные формулы для всех скалярных произведений, содержащих синглетный on-shell вектор Бете. Было доказано, что такие вектора ортогональны всем векторам, в которых число параметров Бете отличается более чем на единицу. Были полностью зафиксированы неоднозначности, возникающие в вырожденных системах уравнений, описывающих скалярные произведения. Рассмотрена иерархия Тоды со связью типа В. Введена тау-функция иерархии Тоды типа В, исследована ее связь с тау-функцией иерархии двумеризованной цепочки Тоды и получено интегральное билинейное соотношение для нее, а также билинейные соотношения типа Хироты-Мивы. Исследована динамика полюсов сингулярных (в общем случае эллиптических) решений уравнения Тоды типа В. В явном виде получены уравнения движения полюсов по первому времени, которые определяют новую, ранее неизвестную интегрируемую систему многих частиц. Мы назвали эту систему деформированной системой Руйсенарса-Шнайдера, поскольку ее уравнения движения отличаются от уравнений движения системы Руйсенарса-Шнайдера наличием дополнительного члена. Доказана эквивалентность полученных уравнений движения уравнениям движения Руйсенарса-Шнайдера для пар слипшихся частиц. Найдено коммутационное представление этой системы в виде тройки Манакова, исследованы свойства спектральной кривой и в явном виде найдены интегралы движения. В работах А. Смирнова совместно с А. Варченко были получены новые интегральные представления для вертексных функций многообразий Накаджимы. Используя данные интегральные представления, были построены полиномиальные приближения вертексных функций для кокасательного расслоения над грассманнианами. Было доказано, что данные полиномы удовлетворяют соотношениям Дворка. Как следствие данных соотношений, были получены новые представлений вертексных функций c p-адическими коэффициентами в виде бесконечных произведений. Был исследованы вертексные функции кокасательного расслоения к грассманниану в пределе бесконечного веса симплектической формы. Было доказано, что данном пределе вертексные функции имеют вид экcпоненциального интеграла с полиномиальным суперпотенциалом Ландау-Гизбурга. Было установлено, что данный суперпотенциал в точности совпадает с суперпотенциалом полученным ранее Огучи Хори и Ксионга в работах, посвященных квантовым когомологиям грассманнианов. Используя данное наблюдение было доказано, что А-ряд в квантовых когомологиях грассманниана удовлетворяет соотношениям Дворка. Была установлена связь между вертескными функциями нульмерных пространств Накаджимы типа А с векторами Виттекера в тензорных произведениях фундаментальных представлений gl(n) и модулей Верма. Было доказано, что данные функции удовлетворяют динамическим уравнениям связанными с симплектически двойственными многообразиями. Предложена новая интегрируемая динамическая система, обобщающая систему Дэви-Стюартсона, которая не может быть задана в терминах дифференциальных уравнений. Она требует введения дополнительного временного параметра, который должен быть исключен после построения решения. Были описаны соотношения типа IRF-Vertex для рациональной GL(N) значной R-матрицы, обобщающей 11-вершинную деформацию 6-вершинной ХХХ R-матрицы в GL(2) случае. Для этой R-матрицы получены новые явные формулы, а также доказано, что она удовлетворяет ассоциативному уравнению Янга-Бакстера.