КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 19-11-00086

НазваниеОператорные методы в задачах квантовой информатики

РуководительХолево Александр Семенович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2023 г.

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности Российского научного фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами» (35).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-212 - Квантовые методы обработки информации

Ключевые слованекоммутативная теория вероятностей, квантовая теория информации, вполне положительное отображение, динамическая полугруппа, положительная операторно-значная мера, канал связи квантовый, бозонный гауссовский канал, пропускная способность, квантовая сцепленность, энтропийные характеристики, энергетическое ограничение, норма полной ограниченности

Код ГРНТИ27.47.17

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Квантовая теория информации является источником целого круга трудных математических задач, имеющих глубокую физическую мотивировку и потенциально важных для развития и применения передовых технологий. В настоящем Проекте, который является естественным продолжением Проекта 2019, планируется исследование и решение широкого комплекса взаимосвязанных актуальных задач теории квантовых информационных систем произвольной (в т.ч. бесконечной) размерности, по следующим основным направлениям: 1) Исследование свойств важнейших энтропийных характеристик конечномерных и бесконечномерных квантовых систем, включая пропускные способности квантовых каналов, как при использовании дополнительных коммуникационных ресурсов, типа сцепленности (entanglement), так и ограничений энергетического типа. Разработка новых общих методов аппроксимации для широкого класса характеристик квантовых систем и каналов бесконечной размерности: 2) Построение и изучение моделей квантовых информационных систем с точки зрения новых типов деградируемости/антидеградируемости и их влияния на аддитивность когерентной информации. Обобщение соотношения деградируемости и построение частичного упорядочения квантовых каналов на основе такого соотношения. Исследование характеристик каналов, таких как пропускные способности и другие энтропийные характеристики: 3) Количественные оценки сцепленности и более тонких свойств нелокальности состояний многочастичных квантовых систем произвольной размерности. По направлению 1: В этом проекте мы планируем подойти к проблеме классической пропускной способности для квантовых гауссовых измерительных каналов в возможно наиболее общей постановке, что позволит охватить новые практически важные ситуации. В частности, в рамках квантовых коммуникаций это означает, что как (шумные) гетеродинные, так и (шумные/бесшумные) гомодинные измерения рассматриваются с общей точки зрения. Предполагается исследовать структуру оптимального ансамбля в целом и рассмотреть гипотезу гауссовых максимизаторов относительно ансамбля. В квантовой теории информации существует направление исследований в схеме передачи, где фиксирован не только канал, но и приемник, и оптимизация выполняется по определенному набору входных ансамблей. Наши рассмотрения и выводы имеют отношение к такой ситуации, когда канал и приемник являются гауссовскими, и объединение канала и приемника можно рассматривать как один квантовый гауссовский измерительный канал. Такие исследования практически важны ввиду большой сложности оптимального приемника в квантовой теореме кодирования (Холево-Шумахера-Вестморленда). Наши усилия в этом проекте направлены на дальнейшее ослабление ограничений при установлении гауссовости оптимального ансамбля (принимаемой обычно в качестве ключевой гипотезы) в таких схемах. В Проекте 2019, продолжением которого является настоящий проект, это было доказано только при дополнительных ограничениях, таких как калибровочная инвариантность и пороговое условие. Важной математической проблемой при исследовании квантовых систем и каналов бесконечной размерности является сингулярное поведение основных энтропийных и информационных характеристик (неопределенные или бесконечные значения, отсутствие непрерывности и т.п.), а также некомпактность множеств квантовых состояний и каналов. Одним из основных методов решения данной проблемы является метод аппроксимации бесконечномерных квантовых состояний (соответственно, каналов) сходящимися последовательностями конечномерных состояний (соответственно, каналов). Ключевым при этом является вопрос о сходимости (равномерной сходимости) исследуемых характеристик для заданной аппроксимирующей последовательности. Получение простых и легко проверяемых условий сходимости дает возможность переносить на случай бесконечномерных квантовых систем и каналов результаты, доказанные для квантовых систем и каналов конечной размерности. Актуальность данной задачи связана также с тем, что метод аппроксимации позволяет получать достаточные условия локальной непрерывности информационных характеристик квантовых систем и каналов бесконечной размерности, которая определяет устойчивость этих характеристик по отношению к возмущениям квантовых состояний (каналов), неизбежных в реальных физических экспериментах. Ранее аппроксимативные методы использовались разными авторами для решения конкретных задач, однако универсального подхода до сих пор разработано не было. Полученные в рамках Проекта 2019 результаты дают основу для разработки новых общих методов аппроксимация для широкого класса характеристик квантовых систем и каналов бесконечной размерности. В рамках осуществления проекта мы планируем разработать методы вычисления различных информационных характеристик (включая классическую пропускную способность) квантовых каналов для тех случаев, когда использование сцепленных состояний не даёт выигрыша при кодировании. Планируется продолжение исследования некоммутативных операторнозначных мер, ковариантных относительно проективных унитарных представлений групп симметрий. Целью данного исследования является изучение информационных характеристик измерительных квантовых каналов, построенных по таким мерам, а также каналов, комплементарных к измерительным. Одной из важных задач является нахождение квантовых кодов, исправляющих ошибки, а также сравнительный анализ количества информации для пары, состоящей из измерительного канала и комплементарного к нему. Другим приложением ковариантных операторнозначных мер является построение возмущений квантовых динамических полугрупп, которые строятся как решения уравнений с интегрированием по операторнозначной мере. Планируется построение моделей таких возмущений для операторнозначных мер на положительной полуоси, как абсолютно непрерывных относительно меры Лебега, так и содержащих сингулярную составляющую. По направлению 2: В рамках Проекта 2019 были исследованы свойства деградируемости / антидеградируемости на выходе для обобщенного стирающего квантового канала, описывающего поляризационно-зависимые потери в квантовых линиях связи. В Проекте 2022 планируется исследование деградируемости / антидеградируемости на входе и их влияние на аддитивность когерентной информации и предельную скорость надежной передачи квантовой информации при использовании блочного кодирования. Ставятся задачи обобщения двух типов деградируемости (на входе, на выходе) в виде обобщенного соотношения деградируемости и построения частичного упорядочения квантовых каналов на основе такого соотношения. Анализ этих задач позволит ранжировать квантовые каналы по величине их классической / квантовой пропускной способности. Данные применения открывают возможность практического использования ожидаемых результатов проекта для усовершенствования существующих и разработки новых протоколов квантовой коммуникации. По направлению 3: В силу важности для практических приложений проблема определения степени нелокальности произвольного сцепленного состояния рассматривается в литературе, начиная с основополагающей работы Белла в 1964. Однако известные в литературе общие оценки нелокальности произвольного сцепленного состояния применимы только в конечномерном случае и не могут быть использованы для оценки нелокальности произвольного бесконечномерного сцепленного состояния. В Проекте 2022, в продолжение результатов, полученных при выполнении Проекта 2019, планируется получить новую верхнюю оценку для степени нелокальности произвольного сцепленного чистого состояния, в том числе бесконечномерного, и применить ожидаемый результат к исследованию нелокальности чистых двухчастичных когерентных состояний. Решение данной проблемы актуально как с теоретической точки зрения, так и для широкого круга приложений, основанных на нелокальности сцепленных двухчастичных когерентных состояний. Для создания квантовых коммуникаций между многими участниками важное значение имеет разработка сценариев различения N ≥ 2 участниками произвольного числа квантовых состояний, заданных с любыми априорными вероятностями. В 2013 году Bergou, Feldman [Phys. Rev. Lett. 111, 100501] впервые предложили сценарий «безошибочного» последовательного различения квантовых состояний, и к настоящему моменту многочисленные теоретические и экспериментальные схемы последовательного различения квантовых состояний рассматривались именно в рамках сценария такого типа. Однако, «безошибочное» различение выполнимо только в случае чистых квантовых состояний с линейно независимыми векторами и в случае смешанных состояний с неперекрывающимися носителями. В Проекте 2022 планируется разработка и математическая формализация сценариев последовательного различения N ≥ 2 участниками r ≥ 2 произвольных квантовых состояний, чистых и смешанных, заданных с любыми априорными вероятностями, включая случаи обмена данными через зашумленные квантовые каналы. При создании полномасштабных квантовых процессоров проблема оптимального проектирования квантовых гейтов имеет большое первостепенное значение. Известные в литературе теоретические результаты по решению этой проблеме относятся, в основном, к оптимальному проектированию однокубитных гейтов (N=1). В Проекте 2022 планируется исследовать проблему оптимального проектирования N-кубитных квантовых гейтов на основе нового общего формализма векторов Блоха, развитого при выполнении Проекта 2019.

Ожидаемые результаты
Предполагается рассмотреть вопрос о справедливости гипотезы гауссовского максимизатора в оптимизационных задачах для многомодовых квантовых гауссовских измерительных каналов и о вычислении информационных характеристик измерительных каналов в ситуациях, когда дополнительные ограничения нарушаются в той или иной форме. В этих случаях разность максимальной и минимальной выходной дифференциальной энтропии дает верхнюю, вообще говоря, недостижимую, оценку для информационного количества Холево. Актуальность подобной постановки задачи подчеркивается тем, что она включает в себя как частный случай практически важную ситуацию «псевдоклассического» кодирования, когда сигнал кодируется лишь в одну квадратуру многомодового бозонного поля (тогда как квантовое энергетическое ограничение связывает обе квадратуры). Доказательство общей теоремы о мажорированной сходимости для характеристик квантовых систем и каналов бесконечной размерности, которые являются локально почти аффинными функциями в терминологии работы [Rep. Math. Phys., 81:1 (2018), 81–104]. Важность этой теоремы обусловлена тем, что она дает универсальный метод получения условий сходимости для различных характеристик квантовых систем и каналов (как условий, ранее доказанных другими методами, так и новых условий). В частности, с ее помощью планируется получить новые условия локальной непрерывности квантовой относительной энтропии как функции на декартовом произведении пространств ядерных операторов с топологией следовой нормы, которые необходимы для исследования аналитических свойств относительной энтропии квантового ресурса – важной характеристики, естественно возникшей в рамках активно развивающейся концепции «теории квантовых ресурсов» (см. [Phys. Rev. Lett. 126, 110403 (2021)]). Разработка нового метода аппроксимации характеристик составных квантовых систем бесконечной размерности, основанного на применении полученных в рамках Проекта 2019 оценок модуля непрерывности таких характеристик, при наличии энергетических ограничений. Применение данного метода для доказательства ряда важных свойств (полунепрерывность снизу, достаточные условия сходимости и др. ) основных мер корреляций и сцепленности в составных квантовых системах бесконечной размерности, таких, например, как относительная энтропия сцепленности и ее регуляризация в двухчастичных и многочастичных системах. Вычисление информационных характеристик модели, включающей измерительный канал, порождённый положительной операторнозначной мерой, и канал, комплементарный к нему. В этой модели антиклики для некоммутативного графа, порождённого операторнозначной мерой, будут являться квантовыми кодами, исправляющими ошибки для комплементарного канала. Отдельное внимание будет уделено случаю, когда операторнозначная мера задана на локально-компактной группе, и ковариантна относительно проективного унитарного представления группы в гильбертовом пространстве. Будет исследовано, как изменяются свойства некоммутативных операторных графов, порождённых операторнозначными мерами, относительно некоторой квантовой динамики и при операции взятия тензорного произведения. Данные исследования важны при поиске квантовых состояний для кодирований, устойчивых относительно измерений с использованием и без использования сцепленных состояний. Исследование возмущений квантовых динамических полугрупп, являющихся решениями интегральных уравнений, определяемых операторнозначными мерами. Лредполагается, что если операторнозначная мера не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега, то возмущение будет менять область определения генератора полугруппы. Глобальной целью таких исследований является построение модели квантовой динамической полугруппы в виде возмущения некоторой стандартной полугруппы. Вычисление информационных характеристик квантовых каналов, порождённых различными проективными унитарными представлениями групп, и "классических" (то есть имеющих положительное марковское ядро в представлении Вигнера) конечномерных каналов, имея в виду аналогию с бесконечномерными гауссовыми каналами. Важность этой задачи состоит в предполагаемом выявлении случаев, в которых кодирование информации с использованием сцепленных состояний не даёт никакого выигрыша. Ожидается опровергнуть гипотезу об аддитивности когерентной информации для деградируемых на входе квантовых каналов, т.е. найти блочные кодирования, обеспечивающие более высокую скорость надежной передачи квантовой информации через зашумленные линии связи по сравнению с однобуквенным кодированием. Введение и всестороннее исследование обобщенного соотношения деградируемости, которое объединяет свойства деградируемости на входе, деградируемости на выходе, а также учитывает случайный характер вспомогательных отображений на входе и на выходе и их корреляцию, позволит ввести операцию частичного упорядочивания для квантовых каналов и ранжировать квантовые каналы по величине их классической пропускной способности и квантовой пропускной способности. Данные применения открывают возможность практического использования ожидаемых результатов проекта для усовершенствования существующих и разработки новых протоколов квантовой коммуникации. Нахождение аналитического выражения для степени нелокальности произвольного чистого сцепленного бесконечномерного квантового состояния, применение ожидаемого результата к исследованию нелокальности некоторых чистых сцепленных двухчастичных когерентных состояний. Анализ оптимальных вероятностей успеха различных сценариев последовательного различения N ≥ 2 участниками r ≥ 2 квантовых состояний, чистых и смешанных, заданных с произвольными априорными вероятностями, включая случаи обмена данными через зашумленные квантовые каналы. Анализ проблемы оптимального проектирования N-кубитных квантовых гейтов на основе нового общего формализма векторов Блоха, развитого при выполнении Проекта 2019.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---