КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 19-11-00087

НазваниеСовременные проблемы теории функциональных пространств и приложения

РуководительБесов Олег Владимирович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2023 г.

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности Российского научного фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами» (35).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые словаПространства функций положительной гладкости, пространства Соболева, нерегулярная область, пространства типа Морри, перестановочно-инвариантные пространства, весовые пространства Лоренца и Орлича - Лоренца, геодезические, мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга, ассоциированное пространство, принцип двойственности, интегральный оператор, весовые пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля, следы функций, пространства переменной гладкости, римановы многообразия.

Код ГРНТИ27.25.00

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Функциональные классы (линейные пространства, конусы, решетки и т.д.), и операторы (преобразования), действующие в них или в их подмножествах, являются важными математическими инструментами для решения многих прикладных и теоретических задач. При этом то, как по-разному проявляют себя свойства одного или нескольких преобразований, действуя на элементы, принадлежащие различным множествам, имеет большое значение при выборе классов пространств и типов операторов в процессе построения математических моделей, соответствующих природным и техническим явлениям. Так, например, для PDEs, описывающих движение микроорганизмов растений, животных, а также отдельных клеток под влиянием химических веществ (хемотаксис), хорошо подходят элементы так называемых (супер)критических весовых пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля (более подробно см., например, http://npfsa2017.uni-jena.de/l_notes/triebel.pdf). Смежной и неразрывно связанной проблемой является характеризация операторов, действующих в функциональных классах, т.е. точное описание их свойств в предписанных структурах. С этой целью фиксируются операторы, классы и те свойства, которые необходимо характеризовать. К последним относятся, в главном, непрерывность, компактность, аппроксимация, экстраполирование, поведение характеристических чисел и т.д., но имеются и тонкие вопросы, связанные с зависимостью от устройства границы при исследовании оператора вложения функциональных пространств со свойствами обобщенной гладкости (пространства Соболева, Бесова и др.). Стандартом решения таких задач является нахождение точных критериев выполнения указанных свойств и двусторонних оценок функционалами, которые их обеспечивают. Фундаментальной задачей, на решение которой направлен данный проект, является изучение новых функциональных пространств и поиск точных условий для выполнения тех или иных свойств различных операторов в них. Полученные в процессе такого исследования характеристики должны обладать качествами, позволяющими эффективно использовать их в различных приложениях, например, в математических моделях и соответствующих им дифференциальных (интегральных) уравнениях. Исследования в области функциональных пространств и теории операторов наиболее активно ведутся с середины 20 века, влияя на общее состояние и возможность применения результатов фундаментальных математических исследований в решении задач из смежных и прикладных областей. За последние годы интенсивность этих исследований резко возросла. Наряду с классическими появились новые функциональные пространства (Морри, гранд пространства, Г-конусы Лоренца, слабые пространства Чезаро и Копсона и т.д.) анализ операторов, в которых весьма актуален и далек от завершения. Будут исследованы свойства операторов в весовых функциональных пространствах: дробного интегрирования и дробного дифференцирования, а также связанных с ними сингулярных преобразований. Будут исследованы свойства поточечных и интегральных мажорант на различных конусах функций со свойствами монотонности. Будут установлены новые точные оценки мажорант и в ряде случаев получены явные формулы для их вычисления. Полученные результаты будут применены для описания поточечных и интегральных мажорант для конуса убывающих перестановок обобщенных потенциалов Рисса и Бесселя, а также поточечных и интегральных мажорант для конуса модулей непрерывности потенциалов. Будут исследованы вопросы вложения пространств обобщенной гладкости, таких как пространства Кальдерона, обобщенные потенциалы Рисса и Бесселя в обобщенные пространства типа Морри. Будут доказаны интерполяционные теоремы для нелинейных интегральных операторов типа Урысона для общих пространств типа Морри. Будут получены достаточные, а при некоторых предположениях относительно числовых параметров, необходимые и достаточные условия на функциональные параметры, характеризующие общие локальные пространства типа Морри, обеспечивающие ограниченность общих потенциалов Рисса из одного общего локального пространства типа Морри в другое. Будут исследованы свойства повторных квазинормах для общих пространства типа Морри и их приложения к исследованию регулярности решений дифференциальных уравнений с частными производными. С помощью неравенств для целых функций экспоненциального типа в пространствах Морри будут исследованы свойства пространств Никольского-Бесова-Морри (теоремы вложения и теоремы о следах). Будут изучены весовых пространств функций переменной гладкости (в метрике L_p Лебега), заданных на нерегулярных областях евклидова пространства. Будет доказана плотность гладких функций в анизотропных весовых пространствах типа Соболева. Будут получены новые критерии для следов пространств Соболева первого порядка на плоских спрямляемых кривых. Будет доказана сходимость алгоритма, возвращающего кривую в эпсилон окрестности (в смысле первой вариации) от наикратчайшей кривой.

Ожидаемые результаты
Планируется продолжить поиск новых достаточных и/ или необходимых условий ограниченности индефинитных операторов в весовых пространствах Соболева. В дополнение к известным пространствам Чезаро и Копсона недавно обнаружены новые «слабые» весовые классы того же типа и установлена их ассоциированная связь с весовыми пространствами Соболева первого порядка на полуоси. Это дает начало для развития новой ветви классического анализа в указанных пространствах. Планируется изучение свойств ограниченности интегральных операторов Римана-Лиувилля и операторов дробного дифференцирования лиувиллевского типа, а также связанных с ними сингулярных преобразований (см. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения // Изд-во Ростовского ун-та. — 1984 и Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения // М.: Наука и техника. — 1987). Указанных классы преобразований и их обобщения применяются к интегральным и дифференциальным уравнениям (см. также [1] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение // Москва: ФИЗМАТЛИТ. — 2003. [2] Oldham K.B., Spanier J. Fractional calculus and its applications // Bul. Inst. Politehn. Iasi. Sec. 1. — Vol. 24, Nos 3-4. — 1978. — P. 29-34. [3] Инверсия Абеля и ее обобщения // Сб. статей. — Новосибирск. — 1978 г.).  Аппарат исследуемых типов операторов и связанных с ними преобразований используется в самых разных областях — физике, обработке сигналов, механике, химии и.т.д. (см., например, [4] Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка // Москва, Ижевск: РХД. — 2010 [5] Tretter S. A. Communication System Design Using DSP Algorithms // New York. — 1995. [6] Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. N.Y.; London: Acad. Press, 1974. [7] Летников А.В. Исследования, относящиеся к теории интегралов вида $\int_a^x (x-u)^{p-1} f(u) du$ // Мат. сб. — Т. 7, вып. 1. — 1974. [8] Liouville J. Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nouveau genre de calcui pour resoudre ces questions // J. l'Ecole Roy. Plytechn. — Vol. 13, sect. 21. Задачи, поставленные в проекте, новые. Планируется исследование свойств ограниченности вышеперечисленных классов операторов в весовых пространствах типа Бесова и Соболева.  Указанные функциональные пространства актуальны для приложений в различных развивающихся отраслях современной науки (см., например, PDE models for chemotaxis and hydrodynamics in supercritical function spaces // EMS series of Lectures in Mathematics. — 2017.) Одной из задач, поставленных в проекте, является установление точных по порядку оценок, а в ряде случаев, нахождение новых точных формул вычисления интегральных мажорант на различных конусах функций со свойствами монотонности. Полученные результаты играют важную роль при описании поточечных и интегральных мажорант для конуса убывающих перестановок обобщенных потенциалов Рисса и Бесселя, а также поточечных и интегральных мажорант для конуса модулей непрерывности потенциалов. Постановка таких задач актуальна, поскольку эти оценки и формулы находят применения в теории вложений функциональных пространств, теории приближений, теории интерполяции и их приложений в теории дифференциальных уравнений. Будут получены новые результаты теории обобщенных пространств типа Морри, найдены критерии вложений в пространства Морри для различных пространств обобщенной гладкости, таких как обобщенные потенциалы Рисса и Бесселя, пространства Кальдерона, включающие пространства типа Бесова. Значительная часть исследований будет посвящена развитию теории операторов в общих пространствах типа Морри. Новым направлением является получение интерполяционных теорем для широкого класса нелинейных операторов, в том числе интегральных операторов типа Урысона, для общих пространств типа Морри. Будут получены достаточные, а при некоторых предположениях относительно числовых параметров, необходимые и достаточные условия на функциональные параметры, характеризующие общие локальные пространства типа Морри, обеспечивающие ограниченность общих потенциалов Рисса, действующих из одного общего локального пространства типа Морри в другое. Будут исследованы свойства повторных квазинормах для общих пространства типа Морри и их приложения к исследованию регулярности решений дифференциальных уравнений с частными производными. С помощью неравенств для целых функций экспоненциального типа в пространствах Морри будут исследованы свойства пространств Никольского-Бесова-Морри (теоремы вложения и теоремы о следах). Будут изучены весовые пространства функций переменной гладкости (в метрике L_p Лебега), заданных на нерегулярных областях евклидова пространства. Будет получена теорема вложения таких пространств в весовое пространство Лебега. Эти результаты могут найти применение при изучении решений задач для уравнений с частными производными. Будет получены новые свойства анизотропных весовых пространств типа Соболева: оценки интегральных норм производных, плотность гладких функций. Будут получены новые упрощенные критерии для следов пространств Соболева первого порядка на плоских спрямляемых кривых. Эти результаты будут находится на мировом уровне исследований. Они крайне интересны для специалистов в области теории функций и геометрического анализа. Будет доказана сходимость алгоритма, возвращающего кривую в эпсилон окрестности (в смысле первой вариации) от наикратчайшей кривой. Будет проверена гипотеза о том, что в некоторой окрестности наикратчайшей кривой (в смысле первой вариации) нет других кривых, которые локально минимизируют длину по слабо выпуклому множеству. Эти результаты находятся на уровне мировых исследований в данной области. Исследования в этих направлениях актуальны, они активно ведутся ведущими специалистами в нашей стране и за рубежом. Отметим здесь (в алфавитном порядке) работы таких авторов, как M. Arino, S. Astashkin, C. и G. Bennett, J. Bergh, O. Besov, S. Bloom, Y. Brudnyi, V. Burenkov, M. Carro, A. Cianchi, A. Gogatishvili, M. Goldman, K.-G. Grosse-Erdmann, D. Haroske, H. Heinig, S. Janson, G. Kalyabin, G. Karadzhov, R. Kerman, V. Kolyada, N. Krugljak, A. Kufner, A. Kusraev, L. Maligranda, J. Martin, B. Muckenhoupt, J. Neves, E. Nursultanov, V. Ovchinnikov, R. Oinarov, K. Oskolkov, B. Opic, L.-E. Persson, L. Pick, D. Prokhorov, E. Sawyer, E. M. Semenov, R. Sharpley, W. Sickel, G. Sinnamon, J. Soria, V. Stepanov, S. Tikhonov.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---