КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 19-11-00316

НазваниеКомплексный анализ и его приложения

РуководительСергеев Армен Глебович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2022 г. - 2023 г.

Конкурс Конкурс на продление сроков выполнения проектов, поддержанных грантами Российского научного фонда по приоритетному направлению деятельности Российского научного фонда «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами» (35).

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые словапространства комплексных структур на пространствах петель, пространства петель групп Ли, грассманово многобразие Гильберта-Шмидта, твисторный подход, поля Янга-Миллса, римановы поверхности, многозначные функции, аналитическое продолжение, непрерывные дроби, полиномы Эрмита-Паде, ортогональные многочлены, аналитическая сложность, дифференциально-алгебраические функции

Код ГРНТИ27.27.00

СтатусУспешно завершен

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Предполагается разработка основ математической интерпретации теории топологических диэлектриков. Топологические диэлектрики характеризуются наличием энергетической щели, устойчивой к малым деформациям, что позволяет применять к их исследованию топологические методы. Помимо этого, имеются тесные связи теории топологических диэлектриков с различными математическими дисциплинами, включая теорию клиффордовых алгебр, K-теорию и некоммутативную геометрию. Эти связи будут подробно изучены в ходе выполнения проекта. Ключевую роль в математическом исследовании топологических диэлектриков играет исследование их групп симметрий. Выделяются три основных вида таких симметрий – это симметрия относительно обращения времени, симметрия сохранения числа частиц и симметрия между частицами и дырками. В ходе выполнения проекта предполагается изучить все эти симметрии, однако основное внимание будет уделено диэлектрикам, инвариантным относительно обращения времени. С математической точки зрения исследование таких диэлектриков сводится к изучению инволютивных пространств и кватернионных расслоений над ними в терминах K-теории. В проекте будут рассмотрены возникающие топологические инварианты, а также будут изучены возникающие при описании гомотопических классов торические гомотопические группы. Будет выявлена связь между торическими гомотопическими группами и обычными гомотопическими группами. Предполагается продолжить изучение соответствия между классами калибровочной эквивалентности полей Янга-Миллса на четырехмерном евклидовом пространстве с унитарной калибровочной группой G=U(n) и классами гармонических отображений двумерной сферы в группу петель LG группы G. Изучение свойств данного соответствия позволит более полно описать структуру пространства модулей полей Янга-Миллса, которая к настоящему времени изучена недостаточно, хотя уже давно известны различные полные описания для пространства модулей анти-автодуальных полей Янга-Миллса (инстантонов). Симметричные объекты традиционно находятся в центре внимания геометрии. Такова трехмерная сфера в двумерном комплексном пространстве, которая явилась одним из первых примеров CR-многообразий и с которой, по существу, ведет начало CR-геометрия. Данная поверхность является модельной для всякой Леви-невырожденной поверхности, которая является возмущением сферы более высокого порядка, откуда, в силу конструкции Пуанкаре, следует максимальная симметричность сферы, т.е. ее алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов (данная алгебра образована такими ростками векторных полей, которые порождают однопараметрическую группу локальных биголоморфных отображений ростка многообразия в себя) имеет максимальную размерность. Более того, сфера оказывается самой симметричной в классе гиперповерхностей с конечномерными алгебрами автоморфизмов. Для многообразий произвольной CR-размерности n и коразмерности k существуют аналоги сферы -- невырожденные модельные поверхности. В связи с этим возникла естественная гипотеза о том, что вполне невырожденные модельные поверхности являются самыми симметричными, т.е. при фиксированном CR-типе (n,k) максимум размерности алгебры автоморфизмов достигается на вполне невырожденных модельных поверхностях того же типа (гипотеза о размерности). Предполагается рассмотреть классы ростков многообразий бесконечного типа, обладающие максимальными размерностями симметрий, сравнить полученные значения размерностей с размерностями для случая конечного типа и получить продвижения в доказательстве или опровержении гипотезы о размерности. Предполагается продолжить работу по изотопической классификации вещественных алгебраических и вещественных псевдоголоморфных плоских проективных кривых степени 8 и 9, а также распадающихся кривых степени 7. Ранее в рамках завершенного проекта были описаны разбивающие полугруппы вещественных гиперэллиптических кривых, а также кривых рода 2 и 3. Планируется продолжить изучение разбивающих полугруппвещественных алгебраических кривых. Планируется продолжить исследование классической проблемы комплексного анализа - эффективного продолжения степенного ряда за пределы его круга сходимости. Точнее, в рамках проекта предполагается изучать возможность конструктивного восстановления значений многозначной аналитической функции по ее ростку, заданному своим рядом Тейлора, с помощью подходящих рациональных аппроксимаций. В 1985 году Г. Шталь показал, что для очень широкого класса аналитических функций классические аппроксимации Паде, построенные по данному ростку функции, восстанавливают значения самой функции на одном так называемом «шталевском» листе ее римановой поверхности. Вопрос о восстановлении значений функции на других листах в общем случае до сих пор остается открытым. Как правило, такое восстановление осуществляется с помощью конструкции полиномов Эрмита-Паде и их различных обобщений. При этом доказанные положительные результаты о сходимости относятся к довольно узким классам функций. В рамках выполнение проекта в 2019-2021 гг. был в существенной степени развит подход Дж.Наттолла к данной задаче, предложенный им в 1980-х годах. С помощью этого подхода был получен ряд положительных результатов о конструктивном восстановлении значений алгебраической функции с помощью полиномов Эрмита-Паде и введенной в рассмотрение полиномиальной m-системы Эрмита-Паде на всех наттолловских листах ее римановой поверхности, кроме последнего. В 2022-2023 гг. предполагается дальнейшее развитие указанного подхода для применения его к более широкому классу аналитических функций. Предполагаются также исследования по теории потенциала на компактных римановых поверхностях и применение полученных результатов к задачам теории рациональных аппроксимаций аналитических функций. Планируется дальнейшее развитие нового скалярного подхода к задаче о предельном распределении нулей полиномов Эрмита-Паде для некоторого модельного класса многозначных аналитических функций, порожденных обратной функцией Жуковского.

Ожидаемые результаты
Построение математической интерпретации теории топлогических диэлектриков. В основе этого построения лежат связи этой теории с K-теорией, теорией клиффордовых алгебр, некоммутативной геометрией. Ключевую роль в теории топологических диэлектриков играет изучение их групп симметрий. Основываясь на этом изучении Китаев предложил классификацию топологических объектов в физике твердого тела. С математической точки зрения эта классификация сводится к гомотопической классификации гамильтонианов, квадратичных по операторам рождения и уничтожения, которая подробно рассматривается в проекте. Топологический диэлектрик математически интерпретируется как гильбертово расслоение конечного ранга над зоной Бриллюэна, совпадающей с d-мерным тором. Это позволяет строить топологические инварианты диэлектриков в терминах гомотопических классов непрерывных отображений тора в грассмановы многообразия. В ходе выполнения проекта предполагается подробно изучить получаемые таким образом инварианты. С другой стороны, гильбертово расслоение над зоной Бриллюэна можно интерпретировать как кватернионное расслоение и, тем самым, включить в K-теорию таких расслоений над инволютивными пространствами. Основное внимание в проекте будет уделено топологическим диэлектрикам, инвариантным относительно обращения времени. Благодаря наличию в этом случае эффекта Крамерса, состоящего в двукратном вырождении собственных состояний системы, удается определить топологический индекс Черна двумерных диэлектриков, определенный по модулю 2. В размерности 3 можно ввести аналитический индекс топологического диэлектрика, равный четности числа нулевых мод Майорана. Топологический эквивалент этого инварианта, совпадающий по с аналитическим индексом по теореме Атьи-Зингера об индексе, был введен Кейном и Милом. В ходе выполнения проекта предполагается подробно исследовать эти инварианты и рассмотреть их обобщения на случай высших размерностей. Построение гомотопической классификации топологических диэлектриков с использованием торических гомотопических групп, выразив их через обычные гомотопические группы. Эта классификация важна для физических приложений, в частности для обнаружения и исследования топологических фаз. Математическое описание различных симметрий и псевдосимметрий, возникающих в топологических диэлектриках, с помощью представлений алгебр Клиффорда. Исследование топологических диэлектриков методами К-теории, а также построение с ее помощью классификации топологических диэлектриков. Проведение сравнения классификаций полученных методами гомотопической топологии и К-теории. В задаче о соответствии между полями Янга-Миллса на четырехмерном евклидовом пространстве с унитарной калибровочной группой G=U(n) и гармоническими отображениями двумерной сферы в группу петель LG группы G предполагается изучить свойства соответствия, построенного С.Джарвисом и П. Норбюри и сопоставляющего каждой унитарной связности в заданном расслоении над четырехмерной сферой отображение из двумерной сферы в группу петель LG. Предполагается проверить, что отображение Джарвиса и Норбюри ставит в соответствие связностям, которые являются полями Янга-Миллса, гармонические отображения, причем указанное соответствие сюръективно и одно и то же центрированное гармоническое отображение двумерной сферы в группу петель LG ставится в соответствие двум полям Янга-Миллса в том и только том случае, когда эти поля являются калибровочно эквивалентными, а также изучить свойства гладкости данного отображения (при введении естественных топологий на пространстве модулей полей Янга-Миллса и на пространстве гармонических отображений сферы в группу петель LG). Указанные результаты позволили бы получить полное описание пространства модулей полей Янга-Миллса. Симметричные объекты традиционно находятся в центре внимания геометрии. Такова трехмерная сфера в двумерном комплексном пространстве, которая явилась одним из первых примеров CR-многообразий и с которой, по существу, ведет начало CR-геометрия. Данная поверхность является модельной для всякой Леви-невырожденной поверхности, которая является возмущением сферы более высокого порядка, откуда, в силу конструкции Пуанкаре, следует максимальная симметричность сферы, т.е. ее алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов (данная алгебра образована такими ростками векторных полей, которые порождают однопараметрическую группу локальных биголоморфных отображений ростка многообразия в себя) имеет максимальную размерность. Более того, сфера оказывается самой симметричной в классе гиперповерхностей с конечномерными алгебрами автоморфизмов. Для многообразий произвольной CR-размерности n и коразмерности k существуют аналоги сферы -- вполне невырожденные модельные поверхности. Это полиномиальные многообразия конечного типа по Блуму-Грэму, такие что их тип удовлетворяет некоторым условиям. Частным случаем вполне невырожденных многообразий являются гиперквадрики -- квадратичные Леви-невырожденные гиперповерхности. Для вполне невырожденных поверхностей также применима конструкция Пуанкаре, поэтому среди всех поверхностей с одной и той же модельной поверхностью самой богатой алгеброй симметрий обладает сама поверхность. В связи с этим возникла естественная гипотеза о том, что вполне невырожденные модельные поверхности являются самыми симметричными, т.е. при фиксированном CR-типе (n,k) максимум размерности алгебры автоморфизмов достигается на вполне невырожденных модельных поверхностях того же типа (гипотеза о размерности). Оказалось, что в такой формулировке гипотеза неверна: в 2005 году В.К.Белошапкой был построен соответствующий контрпример, который принадлежит к более широкому классу многообразий -- невырожденным многообразиям (голоморфная невырожденность + конечный тип по Блуму-Грэму). Для невырожденных многообразий конструкция Пуанкаре остается в силе, поэтому и здесь ростки полиномиальных невырожденных модельных поверхностей оказываются самыми симметричными в классе ростков с такой модельной поверхностью. Поэтому гипотеза подверглась следующей корректировке: самыми симметричными являются невырожденные модельные поверхности. Отметим, что голоморфная невырожденность является необходимым требованием, поскольку голоморфная вырожденность влечет бесконечномерность алгебры автоморфизмов. Остается неясным, необходимо ли требование конечности типа. Отметим, что если тип по Блуму-Грэму голоморфно невырожденного многообразия CR-типа (n,k) конечен хотя бы в одной точке, то существует зависящая только от n и k равномерная оценка на размерность алгебры автоморфизмов. Точнее, размерность алгебры ограничена размерностью струи с номером n(k+1), которая однозначно определяет автоморфизм. Таким образом, самая симметричная поверхность в указанном классе (невырожденных поверхностей) заведомо существует. При этом для голоморфно невырожденных гиперповерхностей условие конечности типа по Блуму-Грэму выполнено автоматически. В рамках завершенного проекта были изучены многообразия бесконечного типа по Блуму-Грэму и найдены новые неожиданные эффекты. Предполагается рассмотреть классы ростков многообразий бесконечного типа, обладающие максимальными размерностями симметрий, сравнить полученные значения размерностей с размерностями для случая конечного типа и получить продвижения в доказательстве или опровержении гипотезы о размерности. Предполагается найти необходимые и достаточные условия жесткости плоских шарнирных конструкций, отвечающих двудольным графам. Разработать методы решения некоторых комбинаторных задач на нахождение асимптотик, основанные на применении теории уравнений Фредгольма к интегралам Коши от производящих функций. В задаче конструктивного восстановления значений многозначной аналитической функции по ее ростку, заданному своим рядом Тейлора, предполагается продолжить развитие подхода Дж. Наттолла, основанного на использовании полиномов Эрмита-Паде и их обобщений. Неформально говоря, общая гипотеза Наттолла говорит, что за асимптотическое поведение полиномов Эрмита-Паде, построенных по набору из m+1 ростков функций, должна отвечать специальная (m+1)-листная компактная риманова поверхность, так называемая поверхность Наттолла. При этом исходный росток должен аналитически продолжаться на первые m листов разбиения Наттолла этой поверхности. Для восстановления значений функции f по ее ростку f_0 рассматриваются полиномы Эрмита-Паде, построенные по последовательным степеням ростка f_0, то есть по набору [1, f_0, f_0^2…,f_0^m]. Сам Дж. Наттолл в 1984 году показал, что в случае, когда f – алгебраическая функция порядка m+1, отношения полиномов Эрмита-Паде 2-го типа, построенных по указанному набору ростков, сходятся к значению f на нулевом листе разбиения Наттолла ее римановой поверхности, а отношения полиномов Эрмита-Паде 1-го типа - к сумме значений f на первых m наттолловских листах. Отметим, что полное обоснование указанной сходимости было дано лишь в 2017 году в работе А.В.Комлова, Р.В.Пальвелева, С.П.Суетина и Е.М.Чирки. Подчеркнем, что главная причина того, что такую сходимость удалось обосновать, заключается в том, что в этом случае поверхность Наттолла совпадает с римановой поверхностью функции f, то есть она заранее известна. В рамках выполнения проекта в 2022-2023 году предполагается отказаться от условия, что f – алгебраическая функция порядка m+1 в простейшем случае полиномов Эрмита-Паде для m=2, то есть построенных по набору [1, f_0, f_0^2]. Прежде всего, для некоторых классов n-значных аналитических функций f, где n>3, предполагается найти конструктивное описание соответствующей трехлистной поверхности Наттолла, которая должна отвечать за асимптотическое поведение полиномов Эрмита-Паде, построенных по набору ростков [1, f_0, f_0^2], где f_0 – росток f, в терминах самого ростка f_0. Далее планируется получить результаты об асимптотическом поведении таких полиномов Эрмита-Паде в терминах этой поверхности. Предполагается распространение нового подхода к описанию предельного распределения нулей полиномов Эрмита-Паде 1-го типа, основанного на принципе максимума для субгармонических функций, на модельный класс многозначных аналитических функций, порожденных обратной функцией Жуковского. Планируется рассмотреть соответствующий набор функций [1,f,f^2] и применить для этого случая вышеуказанный подход без использования соотношений ортогональности. В первую предполагается изучить случай, когда геометрическая составляющая задачи тривиальна. А именно, когда обе пластины E и F так называемого конденсатора Наттолла, естественным образом связанного с парой функций f,f^2, состоят из конечного числа вещественных отрезкоа. Но при это аналитическая составляющая задачи уже не тривиальна. А именно, функция f уже не является вещественно значной на вещественной прямой. В этом случае классический векторный теоретико-потенциальный метод, предложенный А.А.Гончаром и Е.А.Рахмановым в 1981 года, оказывается не применим, поскольку он основан на вытекающих непосредственно из соотношений ортогональности условий «свободной» интерполяции.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---