КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер 22-72-10122

НазваниеТочные подходы и геометрические методы в квантовой теории поля

РуководительБыков Дмитрий Владимирович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

07.2022 - 06.2025

Конкурс№71 - Конкурс 2022 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 02 - Физика и науки о космосе, 02-602 - Квантовая теория поля, квантовая механика

Ключевые словаСигма-модель, интегрируемая система, уравнение самодуальности, скирмион, TTbar-деформация, теория высших спинов, суперсимметрия, спиновая цепочка, модель Гросса-Неве

Код ГРНТИ29.05.23

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Одной из основных нерешенных задач в теоретической физике является построение квантовой теории поля “из первых принципов” вне рамок теории возмущений. С этим связана одна из “задач тысячелетия”, которая заключается в описании механизма генерации массы в квантовой теории Янга-Миллса. Более простой, но качественно очень похожей, задачей является построение теории двумерных сигма-моделей. Дополнительным преимуществом двумерных теорий является их потенциальная интегрируемость, которая дает надежду на возможность их точного решения (т.е. вычисления спектра, корреляционных функций и т.п.). В последние годы руководителем проекта найдена принципиально новая формулировка подобных моделей, основанная на доказанной эквивалентности с обобщенными моделями Гросса-Неве. Эта формулировка обладает рядом существенных преимуществ по сравнению со стандартной, геометрической. В частности, в новых переменных взаимодействия являются полиномиальными, а зависимость от калибровочных полей – топологической, известные квантовые аномалии в “высших зарядах” являются следствием простых киральных аномалий, суперсимметрия на мировой поверхности оказывается связанной с суперсимметрией в таргет-пространстве и т.д. Данная формулировка открывает целую программу исследований, целью которой является построение точного решения для моделей данного класса, включающих в себя, например, хорошо известную CP^{n-1}-модель. Интегрируемость играет важную роль как в теории струн, так и в математической физике и теории конденсированного состояния вещества. Значительная доля результатов появляется на пересечении этих областей благодаря изучению новых методов голографии и интегрируемых деформаций. Большое внимание здесь привлекает новая интегрируемая TbarT-деформация двумерных теорий поля, которая является исключительным примером нерелевантного оператора, действующего контролируемым образом в области высоких энергий. В частности, деформация спектра теории на цилиндре определяется хорошо изученным дифференциальным уравнением Бюргерса. При этом деформация S-матрицы теории сводится к добавлению КДД фактора. В рамках голографического описания TbarT-CFT с одним знаком параметра деформации соответствует КТП, голографически дуальной пространству AdS с конечным радиальным обрезанием. При другом знаке деформированная теория становится нелокальной, и имеет место хагедорновский рост плотности состояний. Существенная часть проекта связана с исследованием систем подобного типа. В данном контексте оказывается особенно интересной связь между интегрируемостью и конформными теориями поля. Примером нетривиальной связи является соответствие между моделью Калоджеро-Сазерленда и конформными блоками. Существует также нетривиальная связь между фазовым пространством интегрируемых систем частиц и топологическими степенями свободы калибровочных теорий. Простейшим примером является соответствие между системой свободных нерелятивистских фермионов и двумерной теорией Янга-Миллса. Прямая реализация классических и квантовых моделей, исходя из калибровочных теорий, проливает свет на понимание самой природы интегрируемых моделей. Обобщение данных результатов для TbarT-деформированных теорий является многообещающим шагом, на реализацию которого направлены усилия части коллектива данного проекта. Исследование и классификация интегрируемых сигма-моделей – непрерывная программа исследований, приводящая к пониманию того, что существуют широкие классы таких моделей, выходящие за рамки групповых многообразий или симметрических пространств. В последнее время в литературе встречаются два основных подхода к данному вопросу – один из них использует теорию интегрируемых деформаций, а второй опирается на обобщения на несимметрические однородные многообразия. В рамках данного проекта мы планируем уделить внимание каждому из них. Первый подход достаточно хорошо разработан: ясен геометрический смысл деформаций, в целом понятна структура деформированных теорий на квантовом уровне, существуют всевозможные приложения к AdS/CFT и теории струн. При этом подход, связанный с обобщением на несимметрические пространства, изучен существенно меньше. При построении некоторых деформаций (таких как деформации Янга-Бакстера) проще всего исходить из геометрической формулировки сигма-моделей в терминах так называемой обобщенной геометрии (это обобщение римановой геометрии, в котором метрика и другие поля в таргет-пространстве рассматриваются на равных основаниях). Формулировки сигма-моделей, основанные на обобщенной геометрии, могут применяться не только в размерности два. В частности, мы планируем построить сигма-модели в высших размерностях и исследовать их свойства. Еще одна существенная задача в рамках проекта – исследование топологических коллективных возбуждений (топологических солитонов) в сигма-моделях. Топологические солитоны возникают в разных областях физики и играют ключевую роль в понимании непертурбативных явлений. Например, в физике конденсированного состояния они используются при описании упорядоченных фаз. В рамках настоящего проекта нами будут исследованы топологические солитоны в SU(N>2) магнетиках, уже реализованных экспериментально при помощи ультрахолодных атомов и допускающих математическое описание в виде SU(N>2) модели Гейзенберга с дополнительными членами, нарушающими симметрию. В низкоэнергетическом режиме такого рода системы описываются сигма-моделями с SU(N)-симметрией, такими как, например, сигма-модель проективного пространства CP^{N-1} или пространства флагов F_{N-1}, с возможным добавлением потенциальных членов. Солитонные решения в нелинейных сигма-моделях будут построены численно, а также будет исследована фазовая структура SU(N) магнетиков при помощи топологических солитонных решений. Наконец, важный вопрос состоит в понимании того, как вообще в принципе может быть устроена квантовая теория поля. С этой точки зрения принципиально важным является понимание теорий с необычными свойствами, например, таких, о которых известно, что они существуют, но которые не поддаются стандартной формулировке. Интересный пример такого рода – это “неабелева (2,0) конформная теория поля” в шестимерном пространстве. Известно, что существование классического действия для такой теории противоречило бы основным принципам теории поля. Следовательно, необходимо найти обобщение этих принципов, которое позволило бы включить в рассмотрение подобные теории. Другой пример – гравитация с полями высших спинов, для которой также не удалось до сих пор построить классическое действие. В рамках настоящего проекта будет предпринята попытка справиться с подобными трудностями в более простых (двумерных) случаях.

Ожидаемые результаты
– Применение недавно обнаруженной эквивалентности между сигма-моделями и моделями Гросса-Неве к решению давно стоящих задач в теории сигма- моделей и квантовой теории поля в целом. Разработка подходов для построения точных решений таких сигма-моделей, исходя из первых принципов (при помощи квантового метода обратной задачи рассеяния). – Построение сигма-моделей с суперсимметрией на мировой поверхности, исходя из моделей с суперсимметрией в таргет-пространстве (в первую очередь для сигма-моделей эрмитовых симметрических пространств групп SO и SP). Анализ однопетлевых бета-функций. – Доказательство того факта, что аномалии в так называемых “высших зарядах”, связанных с интегрируемостью, автоматически сокращаются в случае сокращения киральных аномалий (будут использоваться методы конформной теории поля – операторные разложения киральных токов). – Исследование вопроса о сохранении интегрируемых свойств сигма-моделей на римановых поверхностях высшего рода. До сих пор в основном исследовался случай плоскости либо цилиндра, однако, по всей видимости, рассматриваемые модели Гросса-Неве могут быть каноническим образом помещены на поверхности старшего рода. Мы ожидаем, что исследование подобных систем будет опираться на формализм, близкий к формализму конформной теории поля, используемый в струнных сигма-моделях. – Исследование наиболее общих моделей Гросса-Неве, отвечающих колчанным фазовым пространствам. Построение их тригонометрических деформаций при помощи классических r-матриц. Явное решение уравнений потока Риччи, выяснение геометрических следствий (существование обобщенных эйнштейновых метрик и т.д.). – Доказательство гипотезы о том, что размерная редукция четырехмерной гравитации с полями материи естественным образом приводит к двумерным моделям Гросса-Неве Предполагается, что прообразами фундаментальных полей модели Гросса-Неве являются переменные Аштекара в гравитации. – Исследование эффектов, связанных с топологическими (тета)-углами в сигма-моделях. Согласно гипотезам Халдейна, фазовая структура бозонных сигма-моделей принципиальным образом зависит от значений тета-углов. В частности, при некоторых значениях может наблюдаться нетривиальная IR конформная точка, описываемая моделями WZNW. Ожидается, что анализ дискретных аномалий ‘т Хоофта в рассматриваемых моделях поможет прояснить данные вопросы. Результаты в данном направлении могут оказаться полезными для исследования физических свойств спиновых цепочек с расширенными симметриями. – Изучение свойств недавно обнаруженного фазового перехода первого рода в TbarT деформированной теории Янга-Миллса. – Обнаружение связи между конформными блоками и собственными векторами гамильтониана TbarT-деформированной системы Калоджеро-Сазерленда. – Формулировка соответствия между статсуммой деформированной теории Янга-Миллса с топологическими струнами и статсуммой экстремальной черной дыры. – Геометрическая интерпретация новой TbarT-подобной деформации одномерных нерелятивистских систем частиц. – Исследование сигма-моделей с Z_N-симметрическими однородными таргет-пространствами, которые могут быть полезны с точки зрения AdS-компактификаций и AdS/CFT соответствия в целом – Поиск единой формулировки для сигма-моделей распределенных объектов в теории струн и M-теории с использованием методов обобщенной геометрии и исключительной теории поля. Это важно для понимания дуальностей и связей между различными сигма-моделями (как в одной размерности, так и в разных). Кроме того, это даcт возможности поиска новых интегрируемых сигма-моделей. – Построение всевозможных топологических солитонов в сигма-моделях с SU(N>2)-симметрией. Предполагается, что такого рода топологические солитоны могут наблюдаться в экзотических магнетиках, т.к. фазовая структура последних весьма богата. Построение подобных солитонов и понимание их свойств важно не только непосредственно с точки зрения SU(N) магнетиков, но и в целом с точки зрения физики конденсированного состояния, особенно ввиду возрастающего количества потенциальных возможностей промышленного применения. – Построение симметричных относительно S-дуальности взаимодействующих теорий поля при помощи разработанного недавно для нелинейной электродинамики “демократичного” формализма – Обобщение “демократичной” формулировки электродинамики на неабелев случай, а также на случай гравитации и высших спинов. – Построение первых примеров взаимодействующих теорий (раскрашенной) гравитации с полями высших спинов в трехмерном пространстве-времени. Данные теории предполагаются голографически двойственными двумерным сигма-моделям.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---