КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 21-11-00355

НазваниеСовременные геометрические методы и их приложения

Руководитель Фоменко Анатолий Тимофеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №55 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-104 - Геометрия

Ключевые слова Слоение Лиувилля, динамика твердого тела, биллиард, граф, узел, инвариант, метрическая геометрия, расстояние Хаусдорфа, расстояние Громова-Хаусдорфа, кратчайшие и локально-кратчайшие кривые, кратчайшие и локально-кратчайшие сети, компьютерная геометрия, цифровое зрение, распознавание изображений

Код ГРНТИ27.21.21

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Развитие современной науки и технологий делает актуальными все более сложные задачи, имеющие, к тому же, как правило, междисциплинарный характер. Геометрия издавна зарекомендовала себя как одна из наиболее универсальных и эффективных областей математики. В последнее время методы метрической геометрии, геометрической теории меры, маломерной топологии, теории Морса, геометрии расстояний, алгебраической топологии, комбинаторики находят все новые и новые применения как в фундаментальной математике и механике, так и в приложениях, таких как обработка больших данных, сравнение и распознавание образов, изучение динамики биополимеров, проектирование сотовых сетей, исследование космоса, лингвистика, экономическое, финансовое, социологическое моделирование. Цель данного проекта — развитие и создание новых эффективных геометрических методов решения фундаментальных задач теории динамических систем, теории узлов, теории графов, дискретной и комбинаторной оптимизации, а также актуальных прикладных задач, возникающих в современной науке и технике. Роль геометрии в современной математике трудно переоценить. Геометрия активно развивается не только сама по себе, но и проникает во многие другие области фундаментальной математики, такие как алгебра, дифференциальные уравнения, дискретная математика, статистика, функциональный анализ. Метрическая геометрия, геометрическая теория меры, теория узлов, маломерная топология, геометрическая оптимизация — области современной геометрии, в которых в последнее время был получен ряд прорывных результатов, и которые находят все новее новые приложения как в смежных математических дисциплинах, так и в других науках. Так например расстояние Громова-Хаусдорфа между метрическими пространствами нашло применение не только в так называемой “глобальной геометрии”, но и в теории групп, и таких приложениях как сравнение образов. Еще пример - теория гомологий Хованова, которая имеет многочисленные приложения в трехмерной и четырехмерной топологии. Следующий пример - атомы, введенные А.Т.Фоменко для классификации интегрируемых гамильтоновых систем малой сложности, преобразили несколько направлений математики. Они оказались тесно связаны с классическими и виртуальными узлами и их инвариантами (гомологии Хованова), трехмерными многообразиями. Значение геометрии регулярно отмечается, в том числе, Филдсовскими медалями (в 21 веке на каждом конгрессе не менее одной филдсовской премии присуждалось за работы в области геометрии). Развитие науки на рубеже XX-XXI веков демонстрирует неуклонный рост значения наук о человеке, таких как биология, медицина и социология. На этом фоне возрастает роль прикладных математических исследований, разработка новых методов и подходов решения возникающих здесь задач. И здесь особую роль играют геометрические методы. Например, изучение биополимеров требует моделирования их пространственной структуры. Обработка экспериментальных данных требует развития методов геометрии расстояний, а для сравнение нескольких уже известных геометрических структур используется метрическая геометрия. Другой пример - работа с большими массивами данных, представленных в виде множества векторов в многомерном пространстве. Так называемая гипотеза о многообразии, неформально говоря, утверждает, что такие “неслучайные” массивы имеют структуру стратифицированного многообразия существенно меньшей размерности, восстановление структуры которого существенно ускоряет работу алгоритмов. Также еще в 80-е годы прошлого века были найдены применения теории узлов в биологии, химии и физике, так, скажем, геометрия циклической дуплексной ДНК может быть смоделирована в виде ленточного графа в трехмерном пространстве. В настоящее время распознавание цифровых изображений основано на ограниченном числе методов, разработанных за последние 40 лет, таких, как оператор Кэнни (Canny) для обнаружения границ, SIFT, SURF и различные модификации SIFT-метода. Несмотря на то, что за последние десятилетия были потрачены большие усилия на усовершенствование подобных методов, они по-прежнему представляются недостаточно эффективными, особенно если учесть, что наш мозг обрабатывает визуальную информацию, полученную с сетчатки глаз, намного быстрее и лучше. Трудно предположить, что громоздкий и весьма искусственный градиентный локальный анализ изображений действительно может быть реализован нейронами мозга. По-видимому, мозг использует совсем другие алгоритмы. Все вышесказанное подтверждает важность и актуальность современных геометрических методов, на развитие которых направлен проект. В рамках проекта планируется развивать методы и подходы в следующих областях математики: (1) метрической геометрии, в частности, геометрии гиперпространств, и геометрической оптимизации. В рамках проекта планируется развивать оригинальные методы, основанные на понятии замкнутого неприводимого соответствия для изучения геометрических свойств гиперпространств, кратчайших криых в гиперпространствах и, более общо, минимальных сетей в гиперпространствах. Также планируется изучить связи между весом минимального заполнения конечного метрического пространства и геометрией многогранников бинарных деревьев. (2) классической теории узлов, теории граф-зацеплений и маломерной топологии, В рамках проекта планируется построение новых инвариантов, обобщение уже известных и мощных инвариантов. Также планируется уделить внимание теории минимальных запрещенных миноров для некоторых задач 4-валентных графов с крестовой структурой (вложение, реализуемость). (3) теории интегрируемых динамических систем, В рамках этого направления в проекте будет изучен ряд динамических систем на стыке задач механики, дифференциальной геометрии, топологии и теории интегрируемых систем. Ожидается, что их решение позволит достаточно серьезно распространить имеющиеся фундаментальные методы по работе с интегрируемыми системами, в том числе развиваемые школой А.Т. Фоменко и другими ведущими коллективами. Мы планируем сосредоточиться на трех основных вопросах: (3.1) изучении интегрируемых задач динамики твердого тела в пространствах, чья геометрия отличается от евклидовой (в первую очередь, это аналоги известных систем Эйлера и Лагранжа в случае псевдоевклидового пространства), (3.2) изучении систем Бертрана в псевдо-римановом случае с возможностью наличия экваторов (3.3) изучении нового класса эволюционных биллиардов и возможности его применения к моделированию интегрируемых систем динамики на четырехмерных симплектических многообразиях, и интегрируемым геодезическим потокам на сфере. (4) компьютерной геометрии и ее применении к обработке изображений Нами предлагается развивать более геометрический подход к проблеме обработки изображений. Цветное плоское изображение без потери информации кодируется с помощью специальной двумерной поверхности в трехмерном пространстве, после чего анализ изображения производится не классическими средствами математического анализа, а методами дифференциальной геометрии на основе метрических деформаций и кривизн кодирующей поверхности. Геометрическое кодирование, предложенное участником проекта, Г.В.Носовским, является новым и эффективным методом распознавания контуров цифровых изображений. Быстрые алгоритмы геометрического кодирования, реализованные с помощью современной архитектуры параллельных вычислений CUDA, делают этот метод превосходящим по скорости традиционные алгоритмы распознавания контуров, при том же или существенно более высоком качестве. Метод имеет большой потенциал развития и обширные применения в компьютерном зрении, автоматической обработке и распознавании образов на цифровых изображениях (особенно в сложных обстоятельствах и в задачах, требующих быстрых вычислений), построении трехмерных оболочек по их двумерным проекциям, робототехнике, искусственном зрении, вызывает интерес у индустриальных партнеров.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---